6.2.2 组合及组合数（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修三

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.2.2组合及组合数（精讲）考点一组合概念的理解【例1-1】（2022湖南）下列问题中，组合问题的个数是（

）①从全班50人中选出5人组成班委会；②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.所以组合问题的个数是2个.故选：B.【例1-2】（2022河北）以下四个问题，属于组合问题的是（

）A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【答案】C【解析】只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A,B,D均与顺序有关.故选：C.【一隅三反】1．（2023湖南）以下5个命题，属于组合问题的有（

）①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数；③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；④5个人规定相互通话一次，通电话的次数；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】①当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，所以此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题；②取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题；③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题；④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题；⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题，综上，属于组合问题的有3个.故选：B．2．（2022北京）给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法？②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？其中是组合问题的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【解析】①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，与顺序无关，所以为组合问题.②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数只需选出3个数字，选出后顺序固定，不需要排序，所以为组合问题.③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，因为两人之间只握手一次即可，所以该问题与顺序无关，是组合问题.所以①②③均与顺序无关，所以都是组合问题.故选：D3．（2023重庆）给出下列问题：①从甲､乙､丙名同学中选出名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有张电影票，要在人中确定人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击枪，击中枪，且命中的枪均为枪连中，则不同的结果有多少种？其中属于组合问题的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于①，选出名同学后，分配到两个乡镇涉及到顺序问题，是排列问题；对于②，选出人观看不涉及顺序问题，是组合问题；对于③，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题.故选：C.考点二组合数的计算【例2-1】（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选:B.【例2-2】（2022辽宁）已知，则x=（）A．3或10 B．3 C．17 D．3或17【答案】A【解析】因为，故或，即或故选：A【例2-3】（2022春·安徽滁州·高二校联考期中）计算得到结果为（

）A．210 B．165 C．126 D．120【答案】A【解析】．故选：A．【例2-4】（2022·全国·高二专题练习）使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，为正整数，，在中，为正整数，，因为，则有，即，解得，因此有，为正整数，所以的取值可以是或或．故选：D．【例2-5】（2022秋·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）关于排列组合数，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，故A正确；，故B正确；，而，故C错误，D正确；故选：C.【一隅三反】1．（2022春·河北·高二阶段练习）（多选）下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由组合数性质可得，故A正确；由组合数性质可知，故B正确；，故，故C正确；，所以，故D错误，故选：ABC2．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）（多选）（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】.故选：CD．3．（2022春·江苏盐城·高二滨海县五汛中学校考期中）下列四个命题中，假命题为（

）A． B．C． D．【答案】D【【解析】，A为真命题；，B为真命题；，C为真命题；，D为假命题.故选：D4．（2023·高二课时练习）计算：______．【答案】16【解析】故答案为：16.5．（2022·云南）若，则正整数x的值是________．【答案】1或4【解析】∵，∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．经检验，x＝1或x＝4满足题意.故答案为：1或4．6．（2022·高二课时练习）若，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可得，即，解得，故答案为：.7．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知，则m=___________.【答案】4或14【解析】因为，，所以或，又，解得或，故答案为：4或14.考点三组合的实际应用【例3】（2023甘肃）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；（2）甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；（3）在9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种，则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；（4）由题意，分3中情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，由分类计数原理，可得种不同的选法.【一隅三反】1．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（

）A．51 B．42 C．39 D．36【答案】D【解析】先进行单循环赛，有场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，最后3个班再进行单循环赛，由场.所以共打了场.故选：D.2．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）在含有3件次品的50件产品中，任取3件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先取一件次品是，再取2件正品是，根据乘法原理得：故选：B3．（2022·陕西渭南·高二校考期中）为了强化安全意识，某校拟在周一至周四的4天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的两天恰好是间隔1天的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意四天随机选两天，共有种取法，两天恰好是间隔1天的取法为（一，三）（二，四）共2种，∴选择的两天恰好是间隔1天的概率是，故选：C.4．（2022秋·福建莆田·高二校考期末）已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有（

）A．9种 B．18种 C．27种 D．36种【答案】C【解析】甲、乙各取1个红球，有种方法；乙取两个红球，有种方法；共有18+9＝27种方法.故选：C.5．（2023·高二课时练习）在100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？【答案】(1)种(2)种(3)种【解析】（1）根据题意，抽取的4件都不是次品，即4件都为合格品，故有种；（2）根据题意，抽取的4件里面至少有1件次品，可以先考虑对立情况，即4件都为合格品，共有（种），总共有（种），则至少有1件次品有（种）.（3）根据题意，抽取的4件不都是次品，可以先考虑对立情况，即4件都是次品，共有（种），则不都是次品的取法有（种）.考点四分组分配问题【例4-1】（2023·山东）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法剩余的就是2本书，有种分配方法所以总共有种分配方法．（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有种．（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；剩余的就是2本书，有种分配方法;所以有种分配方法．但是，该过程有重复．假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是．则所有情况为，，，，，．所以分配方式共有种（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为种（5）从6本书中选4本书的方法有种从剩余2本书中选1本书有种因为在最后两本书选择中发生重复了所以总共有种（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即种．【例4-2】．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）2022年9月3日某市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织5名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（

）A．240 B．120 C．80 D．180【答案】C【解析】5人可分为“”和“”，型：先将5人分组，然后把一人组先安排，剩下的2组全排列：型：先将5人分组，然后最多的3人分给高二，剩下的全排列：综上所述：故选：C【例4-3】（2023新疆）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【解析】（1）每个小球有4种方法，共有种放法；（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法；（3）9个空中插入3个板即可，种放法；（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法.【一隅三反】1．（2022秋·四川南充）从今年8月开始，南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，彰显师者先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工作，现从8名教师自愿者中，选派5人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工作，要求每项工作都有自愿者参加不同的选派方法共有（

）种A． B． C． D．【答案】D【解析】选派5人中有三人担任同一项工作，不同的选派方法有种，选派5人中有两人担任同一项工作，另两人担任另外同一项工作，不同的选派方法有种，根据分类加法计数原理，不同的选派方法共有种.故选：D.2．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A．25种

B．50种

C．300种

D．150种【答案】D【解析】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.综上，选法共有.故选:D.3．（2022秋·湖北·高三校联考期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（

）A．1176 B．2352 C．1