6.2.1 排列及排列数（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修三

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.2.1排列及排列数（精讲）考点一排列概念的理解【例1-1】（2022·高二课时练习）（多选）下列问题中，属于排列问题的有（

）A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法C．平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数【答案】AD【解析】对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确；对于B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误；对于C，五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，C错误；对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确．故选：AD【例1-2】（2022·广西）（多选）从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（

）.A．相加可得多少个不同的和B．相除可得多少个不同的商C．作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点为x轴上的椭圆方程D．作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程【答案】BD【解析】对于A：因为加法满足交换律，所以A不是排列问题；故A错误；对于B：因为除法不满足交换律，如，所以B是排列问题；对于C：若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定.所以C不是排列问题；对于D：在双曲线中不管a＞b还是a＜b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故D是排列问题.故选：BD.【一隅三反】1（2022·云南）(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（

）A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法【答案】BD【解析】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.2．（2022·高二单元测试）（多选）下列问题属于排列问题的是（

）A．从10个人中选2人分别去种树和扫地B．从10个人中选2人去扫地C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算【答案】AD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．故选AD.3．（2022·高二课时练习）（多选）下列问题中，属于排列问题的是（

）A．有10个车站，共有多少种不同的车票B．有10个车站，共有多少种不同的票价C．平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段D．从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法【答案】ACD【解析】A：有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；B：有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题；C：平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；D：从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题．故选：ACD．考点二排列数的计算【例2-1】（1）（2022春·江苏徐州·高二统考期中）（

）A． B． C． D．（2）（2022春·吉林延边·高二延边二中校考期中）（，）可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）B【解析】（1）由排列数的定义可得：故选：C（2）已知式中有8个连续正整数相等，最大的是，因此可表示为．故选：B．【例2-2】（1）（2023山东）（多选）（

）． B． C． D．（2）（2023山西）已知，则（

）．A．B．C．D．（3）（2022吉林）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】（1）ABD（2）C（3）D【解析】（1），B正确，C不正确；而，即，A正确，D正确.故选：ABD（2）则，约分得：解得：，经检验满足题意．故选：C．（3）因为，所以，所以，所以，又，，所以，所以不等式的解集为，故选：D.【例2-3】（2022秋·吉林四平）（多选）下列等式正确的是（）A． B．C．！ D．【答案】ACD【解析】对于A，，选项A正确；对于B，，所以选项B错误；对于C，，选项C正确；对于D，•，选项D正确．故选：ACD．【一隅三反】1．（2022山西大同·高二校考阶段练习）若，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因且，表示81个连续正整数的乘积，其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为，所以.故选：D2．（2022·高二课时练习）已知自然数满足，则（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为，所以，由是自然数且，整理得，解得（舍）或，所以．故选：C．3．（2022·高二课时练习）（多选）满足不等式的的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】BC【解析】,,,原不等式可化为，,解得,,即或，故选：BC4．（2022·全国·高三专题练习）_________．【答案】0【解析】根据排列数的计算公式，可得.故答案为：.5（2022春·河北石家庄·高二校考阶段练习）的值为________．【答案】696【解析】由已知可得，解得，所以.故答案为：696.6．（2022·全国·高二专题练习）求证：(1)；(2)．（3）证明：.【答案】证明见解析【解析】（1）证明：.（2）证明：.（3,.考点三排列问题之排队【例3】（2023·湛江）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．(1)选5名同学排成一排；(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(5)全体站成一排，男生排在一起；(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；（2）先安排甲乙在中间有种，再安排余下的5人有种，共有排法有种；（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；（4）把男生看成一个整体共有种，再把女生看成一个整体有种，再把这两个整体全排列，共有种排法；（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；（9）分步完成共有种排法；（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.【一隅三反】1．（2022春·黑龙江鸡西·高二鸡东县第二中学校考阶段练习）某诗词大会共设有十场比赛，每场比赛都有一首特别设计的开场诗词.若将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（

）A．144种 B．48种 C．36种 D．72种【答案】C【解析】由题意得：分两步进行分析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列有种排法；再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一个空外的3个空里，有种排法，则后六场开场诗词的排法有（种）.故选：C2．（2022·高二课时练习）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（

）A．若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种C．甲、乙不相邻的排法有82种D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABD【解析】】对于A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,把甲、乙看作一个人，两人只有一种排法，然后与其他人全排列，排法共有（种），A正确；对于B，甲在最左端时，排法有（种），乙在最左端时，排法有（种），排法共有（种），B正确；对于C，先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排进三人中间及两端的4个位置中，排法共有（种），C错误；对于D，先从5个位置中选2个位置安排丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的3个位置中，排法共有（种），D正确．故选：ABD．3．（2023广东）4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？【答案】(1)720(2)1440(3)144(4)960(5)840【解析】（1）3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共有（种）不同的排法；（2）先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；（3）3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；（4）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．故总共有（种）不同的排法；（5）从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．4．（2023·全国·高二专题练习）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，女生必须站在一起；（4）全体排成一排，男生互不相邻；（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720【解析】（1）从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2520(种).（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5040(种).（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种).（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1440(种).（5）法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3600(种).（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有＋＝3720.法二：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有－2＋＝3720(种).考点四排列问题之排数【例4】（2022·高二课时练习）用0、1、2、3、4五个数字．(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？(5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？【答案】(1)2500(2)96(3)20(4)36(5)88【解析】(1)各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，故采用分步乘法计数原理，有个．(2)考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列，故共有个．(3)构成3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数，则由和，以及组成三位数，由和组成的三位数有个，由以及组成三位数有个，故共有个；(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为，故共有个．(5)本小问的本质就是不大于42130的数有多少．按分类加法计数原理，当万位数字为1、2、3时均满足，共有三个数，当万位数字为4，千位数为0、1时均满足，共有个数，当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1时均满足，共有个，所以42130是第个数．【一隅三反】1．（2022春·重庆北碚·高二重庆市朝阳中学校考期中）（多选）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（

）A．偶数有48个 B．比300大的奇数有48个C．个位和百位数字之和为7的有24个 D．能被3整除的数有48个【答案】CD【解析】对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有种情况，则有3×20＝60个三位偶数，A错误；对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24＝40个，B错误；对于C，个位和百位数字之和为7有（1，6），（2，5），（3，4），共3种情况，则符合题意的三位数有个，故C正确；对于D，能把3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有（1，2，3），（1，2，6），（1，3，5），（1，5，6），（2，3，4），（2，4，6），（3，4，5），（4，5，6）八种选择，故能被3整除的数有个，故D正确；故选：CD.2．（2022·上海）用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数：按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．【答案】(1)1440(2)576(3)720(