4.1 数列的概念（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.1数列的概念（精讲）考点一数列的有关概念和分类【例1-1】（2022秋·吉林白山）现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【例1-2】（2023春·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2017，2018，2019，2020，2021；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)9，9，9，9，9，9.【答案】答案见解析【解析】（1）因数列（1）只有5项，且依次增大，故（1）为有穷数列，且为递增数列.（2）因数列（2）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，也增大，故为递增数列.（3）因数列（3）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，减小，故为递减数列.（4）因数列（4）有无限项，所以不是有穷数列，因数列正负交替，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.（5）因数列（5）有无限项，所以不是有穷数列，因数列为1，0，-1，0循环，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.（6）因数列（6）只有5项，故（1）为有穷数列，且各项均为9，故为常数数列.【一隅三反】1．（2023·全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.2．（2023北京）下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，，与数列，，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列【答案】D【解析】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.3．（2023云南）（多选）下列结论正确的是（

）A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．D．若数列的前n项和为，则对任意，都有.【答案】ACD【解析】由数列的定义可知选项A正确；一个数列可以是常数列，因此选项B错误；根据数列的图象特征可知选项C正确；由的意义可知选项D正确，故选：ACD4．（2022·全国·高二专题练习）下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？（1）{0，1，2，3，4}；

（2）0，1，2，3，4；（3）所有无理数；

（4）1，－1，1，－1，1，－1，…；（5）6，6，6，6，6【答案】答案见解析【解析】数列是按照一定次序排列的一列数.（1）是集合，不是数列.（3）不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.（2）（4）（5）是数列，其中（4）中项数有无穷多，故是无穷数列，（2）（5）中项数是有限的，故是有穷数列.考点二数列的前几项和数列的通项公式互化【例2-1】（2023·全国·高二随堂练习）观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：(1)2，4，______，8，10，12；(2)2，4，______，16，32，______，128，______；(3)______，4，3，2，1，______，，______；(4)______，4，9，16，25，______，49.【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【解析】（1）根据数列的规律可知其是偶数数列，于是空格填，符合的通项为；（2）根据数列的规律发现后一个数是前一个数的倍，故三个空分别填，符合的通项为；（3）根据数列的规律发现后一个数比前一个数少，故三个空分别填，符合的通项为；（4）根据数列的规律可知其是每个正整数的平方，故两个空分别填，符合的通项为.【例2-2】（2023·安徽）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（）A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25【答案】B【解析】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15．正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数．故选:B．【例2-3】（2023春·广东佛山）是数列的（

）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【答案】A【解析】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项，故选：A【一隅三反】1．（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知数列，则该数列的第项为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知：该数列的通项公式为，.故选：A.2.（2023·山东）数列的第8项是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】观察可看为分母是，分子为，故第8项为，故选：A.3．（2023·福建）若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式不可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，.对于A，由得符合条件，故A正确；对于B，由得符合条件，故B正确；对于C，由得符合条件，故C正确；对于D，由得，，不符合条件，故D错误.故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，第个图形由第边形“扩展”而来的.记第个图形的顶点数为，则.

【答案】【解析】由图易知：，，，，从而易知，所以.故答案为：5．（2023秋·高二课时练习）观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式．(1)（

），7，12，（

），22，27，…；(2)，，（

），，，，（

），…；(3)1，，（

），2，，（

），，…；(4)，，（

），，…．【答案】(1)2，17，(2)，，(3)，，(4)，【解析】（1）因为，，原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5，故.（2）由，原数列可化为，，，，，，，…，可得.（3）由，，原数列可化为，，，，，，，得.（4）因为原数列可化为，，，，…，所以.考点三由递推公式求数列的指定项【例3-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，.故选：C【例3-2】（2023·湖南）在数列中，，，则（）A． B．1C． D．2【答案】D【解析】，，，，可得数列是以3为周期的周期数列，.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·新疆喀什）已知首项为1的数列{}中，，...，则=（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因为，故正确.故选：.2．（2022秋·甘肃天水·高二统考期中）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】在数列中，由，得，于是，因此数列是以4为周期的周期数列，所以.故选：A3．（2023秋·高二课时练习）写出下列数列的前5项：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)，，，，(2)，，，，(3)，，，，【解析】（1）由题意,，，，，.（2）由题意,，，，，.（3）由题意，，，，，.考点四数列的单调性及应用【例4-1】（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】若为递增数列，则，则有，对于恒成立．，对于恒成立，．故选：A．【例4-2】（2023春·北京怀柔·高二统考期末）数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为数列的通项公式为，且是递增数列，所以对于都成立，所以对于都成立，即对于都成立，所以对于都成立，所以，即的取值范围是，故选：D【一隅三反】1．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，若对于，数列为递增数列，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为数列为递增数列，所以，即，整理得：，因为当时，单调递减，，所以.故选：C.2．（2023·河北）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（）A．1， B．0， C．， D．1，【答案】A【解析】因为，所以当时，，且单调递减；当时，，且单调递减，且，所以最小项为，最大项为.故选：A.3．（2023·湖南）已知函数，设数列的通项公式为，则下列选项错误的是（

）A．的值域是R；B．的最小值为；C．；D．数列是单调递增数列.【答案】A【解析】由于，故A选项错误；，，，是递增数列，又，，，即，即的最小值为，故B,C,D选项正确：故选：A.4．（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得，时，，而要满足，故要单调递减，所以，从而，还需满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：C考点五由递推公式求通项公式【例5-1】（2023春·高二单元测试）已知数列满足，则.【答案】【解析】因为，，所以，所以为常数数列，且，所以.故答案为：.【例5-2】（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式．【答案】【解析】由题知，，则，，又，符合上式，所以.故答案为：【一隅三反】1．（2022春·吉林长春·高二东北师大附