吉林省白城市通榆县第一中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案

通榆一中2024届高三上学期期中考试数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、数列、统计、计数原理、随机变量及分布．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.某学校共人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（）A.人 B.人 C.人 D.人4.设，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.6.设某批产品产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（）A.7万件 B.8万件 C.9万件 D.10万件7.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（）A.3 B.6 C.2 D.48.已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（）A.甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等B.甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等C.甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大D.乙旅游景区日均气温的极差为10.已知实数满足，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.11.已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（）A.的图象关于对称 B.C.奇函数 D.与关于原点对称12.已知数列满足，，且，则下列说法正确的是（）A.，B.是递增数列C.D.，，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则__________.14.某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有______种．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是______.16.已知函数若，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列的各项均为正数，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18.随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》，为选拔和培养科技创新型人才做好准备．某调研机构调查了、两个参加国内学科竞赛的中学，从、两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，统计结果如下：未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次中学116中学349（1）依据的独立性检验，能否认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？（2）用分层随机抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，记所选的3人中有人来自中学，求的分布列及数学期望．附：，其中．19.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．20.已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.（1）求，的解析式；（2）若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.21.某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．（1）若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；（2）若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？22.已知函数，记的导函数为（1）讨论的单调性；（2）若有三个不同的极值点，其中①求的取值范围；②证明：23.已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．（1）求与的解析式；（2）令，求方程在区间内所有实数解的和．通榆一中2024届高三上学期期中考试数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、数列、统计、计数原理、随机变量及分布．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可得，然后利用交集的概念即得.【详解】由可得，即，所以．故选：C．2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】掌握存在量词的命题的否定需要改变量词和结论的判断词即可.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题，的否定是，．故选:D．3.某学校共人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（）A.人 B.人 C.人 D.人【答案】C【解析】【分析】根据正态密度曲线的对称性求出的值，再乘以可得结果.【详解】由已知可得，，所以．又，则，估计成绩不及格（在分以下）的学生人数为（人）．故选：C．4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别证明充分性和必要性，即可得到本题答案.【详解】①当时，满足“”，但不满足“”，所以“”不能推出“”，故充分性不成立；②由，解得，因“”可以推出“”，故必要性成立.综上，可知“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别判断即可，利用导数即可判断函数在的单调性.【详解】对于A，的定义域为，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，，定义域为，因为，所以为奇函数，不符合题意；对于C，，所以，所以为偶函数，又，令，则，所以在上单调递增，所以，即，故函数在上单调递增，符合题意；对于D，，令，在上单调递增，而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，不符合题意．故选：C．6.设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（）A.7万件 B.8万件 C.9万件 D.10万件【答案】B【解析】【分析】表达出总利润关于的关系式，变形后利用基本不等式求出最值，得到答案.【详解】总利润，当且仅当，即时，最大，故总利润最大时的产量为8万件．故选：B．7.定义“等方差数列”：如果一个数列各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（）A.3 B.6 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根据数列是等方差数列，且公方差为3，得到，再利用等差数列通项公式求得，从而得到求解.【详解】解：因为数列是等方差数列，且公方差为3，所以，又，所以，又数列的各项均为正数，所以，所以，，所以，，故选：A．8.已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出在两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围.【详解】根据题意可知的定义域为，所以，易得，由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为,同理可得，点处切线斜率为；又因为两条切线与直线平行，可得，即所以是关于方程的两根，所以，即，又可得；所以，由可得即，所以的取值范围是.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数的几何意义和两直线平行的位置关系得出关于的等量关系，再根据函数定义域和韦达定理即可求得表达式的取值范围.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（）A.甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等B.甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等C.甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大D.乙旅游景区日均气温的极差为【答案】ABC【解析】【分析】对于选项A，分别计算甲和乙旅游景区的气温平均数，从而判断A的正误；对于选项B，分别计算甲和乙旅游景区的气温中位数，从而判断B的正误；对于选项C，根据折线图判断哪个城市的日均气温波动大，进而判断C的正误；对于选项D，根据折线图找到乙地气温的最大值和最小值，从而得到乙的日均气温极差，进而判断C的正误.【详解】对于A，B项，甲旅游景区的日均气温分别为；乙旅游景区的日均气温分别为.因为甲旅游景区日均气温的中位数为，平均数为，乙旅游景区日均气温的中位数为，平均数为，故A，B正确；对于C项，根据折线图知甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大，故C正确；对于项，因为乙旅游景区日均气温的极差为，故D错误.故选：ABC10.已知实数满足，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，得到，结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性质，可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确.【详解】由不等式，可得且，即，对于A中，由，所以，所以A正确；对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以等号不成立，即1，所以C正确；对于D中，由，可得，则，所以，所以D错误.故选：ABC.11.已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（）A.的图象关于对称 B.C.是奇函数 D.与关于原点对称【答案】ABC【解析】【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的周期性可判断B选项；利用奇函数的定义可判断C选项；利用对称性定义可判断D选项.【详解】对于选项A，因为是奇函数，所以，即，整理得2，所以图象关于对称，故A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以，所以，所以，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误.故选：ABC.12.已知数列满足，，且，则下列说法正确的是（）A.，B.是递增数列C.D.，，【答案】ACD【解析】【分析】根据递推关系得，进而得到与同号判断A；由即可判断B；由，再用累加法判断C；由C分析得，进而，应用累加、裂项相消判断D.【详解】由已知，数列满足，，且，所以，所以，由，有，，故与同号，因为，则，，…，以此类推可知，对任意的，，故A正确；因，所以，又，所以，则是递减数列，故B错误；因为，所以，，…，，累加得，故C正确；因为，又，，所以，所以，则，所以当，时，，所以当，时，，所以，故D正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于D，利用递推关系得到，结合放缩、累加、裂项相消证不等式.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质，且，从而得解.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，又当时，，所以，所以.

故答案为：14.某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有______种．【答案】84【解析】【分析】考虑前2个节目都是语言类节目和前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类两种情况，根据分步乘法原理以及分类加法原理，即可求得答案.【详解】若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况；若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况．综上，有种不同的排法，故答案为：8415.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是______.【答案】##【解析】【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解.【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，将代入可得，.故答案为：.16.已知函数若，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由题意求出，函数恰有三个不同的零点，转化为函数与图象有三个交点，结合图象，即可得出答案.【详解】依题意，，可得，函数恰有三个不同的零点，即恰有三个解，转化为函数与图象有三个交点，函数的图象如图所示．结合图象，，解得，即实数的取值范围为．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列的各项均为正数，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式直接列方程计算；（2）利用分组求和的方法求得.【小问1详解】设等比数列的公比为，则，即，所以，所以，解得，所以【小问2详解】由（1）得，则，所以.18.随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》，为选拔和培养科技创新型人才做好准备．某调研机构调查了、两个参加国内学科竞赛的中学，从、两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，统计结果如下：未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次中学116中学349（1）依据的独立性检验，能否认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？（2）用分层随机抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，记所选的3人中有人来自中学，求的分布列及数学期望．附：，其中．【答案】（1）获得区前三名及以上名次与所在的学校无关；（2）分布列见解析，期望为.【解析】【分析】（1）利用卡方公式求卡方值，应用独立检验的基本思想即可得结论；（2）由分层抽样等比性质确定、中学各抽取的人数，进而得到的可能取值并求出对应概率，写出分布列，最后求期望.【小问1详解】补全列联表如下：未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次总计中学11617中学34943总计451560零假设为：获得区前三名及以上名次与所在学校无关．所以，故依据的独立性检验，没有充分的证明推断不成立，所以认为成立，即获得区前三名及以上名次与所在的学校无关．【小问2详解】由题意，用分层随机抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，来自中学的有3人，故的可能取值有0，1，2，则，，，所以的分布列为012所以．19.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用（）化简题中条件，可得列是以1为首项，1为公差的等差数列，求得，再根据（），即可求解；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】当时，，即，解得．因为（），所以（），又（，），，所以（），又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为．【小问2详解】由（1）知，所以，所以，所以，所以．20.已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.（1）求，解析式；（2）若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用奇偶性求，通过解方程组法可得；（2）利用对数函数性质化简方程（去对数号），再换元设，转化为关于的方程（*）只有一个大于0的根，然后分类讨论可得参数范围．【小问1详解】因为，①所以，又因为函数为上的偶函数，为上的奇函数，所以，②由①②得，.【小问2详解】由，得，化简得，令，则，即关于的方程（*）只有一个大于0的根.①当时，，满足条件；②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，所以；③当方程（*）有两个相等的正根时，则，解得或，当时，，满足条件.当时，，舍去．综上所述，或，即的取值范围为.21.某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．（1）若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；（2）若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】（1）分布列见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出及的可能值，再求出各个值的概率，列出分布列；（2）求出都选择方案A，都选择方案B投篮得分之和的均值，再比较大小即可作答.【小问1详解】依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，于是得，解得.的所有可能值为0，2，3，5，，，，，所以的分布列为：0235【小问2详解】设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，都选择方案B投篮得分和的均值为，因为，，则，，若，即，解得，若，即，解得，若，即，解得，所以，当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大；当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案