高考总复习理数（北师大版）课件第6章第2节等差数列及其前n项和

数列第六章第二节等差数列及其前n项和考点高考试题考查内容核心素养等差数列的通项公式，前n项和公式2017·全国卷Ⅰ·T4·5分等差数列前n项和公式及等差数列的公差数学运算2016·全国卷Ⅰ·T3·5分等差数列的通项公式，前n项和公式数学运算命题分析本节内容是高考的热点，尤其是等差数列的通项公式及性质，前n项和公式为考查重点，试题难度不大，分值约5分.02课堂·考点突破03课后·高效演练栏目导航01课前·回顾教材01课前·回顾教材1．等差数列的有关概念(1)定义一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与前一项的差是____________，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N＋，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)．(2)等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么________叫作a与b的等差中项．2同一个常数dA3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋___________(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(p，q，m，n∈N＋)，则______________.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为________的等差数列．a1＋(n－1)d

(n－m)d

am＋an＝ap＋aq

2dmd

提醒：辨明三个易误点(1)要注意等差数列概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．(3)求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2．(教材习题改编)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(

)A．－1

B．0C．1 D．6B

解析：∵{an}为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0.3．已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为(

)A．1 B．2C．3 D．4B

4．(2018·临沂模拟)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是(

)A．2

B．3C．4 D．5B

[明技法]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．02课堂·考点突破等差数列的基本运算[提能力]【典例】

(1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(

)A．1

B．2C．4 D．8C

B

C

2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.答案：－72[明技法]等差数列和的性质在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．②S2n－1＝(2n－1)an.③当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．等差数列的性质及应用[提能力]【典例】

(1)等差数列{an}中，a1＋a7＝26，a3＋a9＝18，则数列{an}的前9项和为(

)A．66 B．99C．144 D．297B

答案：20(2)已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝__________.[刷好题]1．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(

)A．5 B．7C．9 D．11A

2．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝__________.答案：5等差数列的判断与证明[明技法]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N＋)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列[刷好题]1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(

)A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列C

解析：∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．等差数列