高考总复习理数（北师大版）第9章第4节直线与圆圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考点高考试题考查内容核心素养直线与圆的位置关系2016·全国卷Ⅱ·T4·5分圆与直线的位置关系数学运算2017·全国卷Ⅱ·T9·5分双曲线的渐近线与圆相交数学运算2017·全国卷Ⅲ·T10·5分以椭圆顶点的线段为直径的圆与直线相切数学运算2015·全国卷Ⅱ·T7·5分求过三点的圆与y轴所交弦长数学运算命题分析直线与圆的位置关系是高中数学的基础也是最重要的知识之一，是高考的热点，一般以选择填空形式出现，主要考查直线与圆位置关系的判断或根据位置关系求参数的值.1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离.(2)两种研究方法：①eq\x(代数法)eq\o(→,\s\up7(联立方程组消去xy),\s\do5(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ<0⇔相离))②eq\x(几何法)eq\o(→,\s\up7(圆心到直线的距离为d),\s\do5(半径为r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<r⇔相交，弦长l＝2\r(r2－d2),d＝r⇔相切,d>r⇔相离))(3)圆的切线方程常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解提醒：1．辨明两个易误点(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2－d2.(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(5)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析：选C因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C．3．(教材习题改编)直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()A．相切 B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交 D．相离解析：选Bd＝eq\f(|－1－0＋1|,\r(12＋－12))＝0＜1＝r.直线过圆心．4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：选B两圆的圆心距离为eq\r(17)，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<eq\r(17)<5，所以两圆相交．直线与圆的位置关系[明技法]判断直线与圆的位置关系常用的方法eq\x(几何法)→eq\x(利用d与r的关系)eq\x(代数法)→eq\x(联立方程后利用Δ判断)eq\x(\a\al(点与圆的位置关系法))→eq\x(\a\al(若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交))注意：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[提能力]【典例】(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定解析：选A方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋y－12＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l方法二由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，故直线l与圆相交．方法三直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．(2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________.解析：方法一将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．方法二圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即eq\f(2,\r(k2＋1))>1，解得k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．答案：k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))[刷好题]1．(2018·永州模拟)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若m＝0，则圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心(1,1)到直线x＋y＝0的距离为eq\r(2)，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，则圆心到直线的距离为eq\f(|1＋1－m|,\r(2))＝eq\r(2)，解得m＝0或4，故必要性不成立．2．(2018·黄山月考)若曲线x2＋y2－6x＝0(y＞0)与直线y＝k(x＋2)有公共点，则k的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))解析：选C∵x2＋y2－6x＝0(y＞0)可化为(x－3)2＋y2＝9(y＞0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆，它与直线y＝k(x＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3,0)到直线y＝k(x＋2)的距离d≤3，且k＞0，∴eq\f(|3k－0＋2k|,\r(k2＋1))≤3，且k＞0，解得0＜k≤eq\f(3,4).故选C．圆与圆位置关系[析考情]圆与圆位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判定位置关系、公切线的条数，求参数的范围、公共弦长等，以选择题、填空题为主，属中档题．[提能力]【典例】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)解析：选C由圆C1与圆C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立．故选C．[母题变式1]把本例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．解析：由C1与C2内切得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为eq\f(1,4).[母题变式2]把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．解：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程[母题变式3]将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条切线，故两圆外离，故eq\r(a＋b2＋－2＋22)>3.∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))>1，∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．[悟技法]1．判断两圆位置关系的方法eq\x(方法)→eq\x(\a\al(常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径,和与差的绝对值的关系，一般不用代数法))2．两圆公共弦长的求法eq\x(求法)→eq\x(\a\al(两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，,半弦长的eq\f(1,2)，半径r所在线段构成直角三角形，,利用勾股定理求解))[刷好题]1．(2018·太原一模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．从而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5，由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2即1＋eq\r(25－m)＝5，m＝9.故选C．2．(2018·湖南联考)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋5－a2＝0与圆C2：x2＋y2－(2b－10)x－2by－10b＋16＝0相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，则b＝()A．eq\f(5,3) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)解析：选A两圆公共弦AB所在的直线方程为(2b－14)x＋(2＋2b)y＋5－a2＋10b－16＝0，圆C1的圆心C1(2，－1)，因为xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，所以|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，故OC1⊥AB，kOC1·kAB＝－1，得eq\f(－1,2)×eq\f(14－2b,2＋2b)＝－1，得b＝eq\f(5,3).选A．直线与圆位置关系的综合[析考情]直线与圆的综合问题，特别是直线与圆相交的有关问题，是高考中的一个命题热点，以选择、填空题的形式出现，有时也以解答题的形式考查，难度中低．[提能力]命题点1：直线与圆相切问题【典例1】(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)解析：选D圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3).如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与已知圆相切，∴eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋－12))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3).命题点2：直线与圆相交问题【典例2】(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由题设可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.命题点3：求弦长问题【典例3】(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________.解析：设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2eq\r(3)，|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),