6.2 等比数列（精讲）（教师版）

6.2等比数列（精讲）一．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.二．等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1，通项公式的推广：an＝amqn－m.三．等比数列的前n项和公式首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))四．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.3.若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m，S2m－S3m，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．4.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增．若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减．5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝q．等比数列基本量的运算等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.二．等比数列的三种常用判定方法定义法若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列考法一等比数列的基本量的运算【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．21 B．81 C．243 D．729【答案】C【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，因为，则，由已知可得，可得，，则，因此，.故选：B.【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列满足，，若，，则的值为______.【答案】或【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，，得，，所以.当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或【一隅三反】1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.2．（2023春·北京）已知各项均为正数的等比数列满足，，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由已知条件可得，解得，因此，.故选：C.3．（2022·河南安阳）已知为等比数列，，则_________．【答案】【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，若，则，，则；若，则，，则.故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为A． B．2 C． D．3【答案】2【解析】设数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，故.考法二等比数列的判断与证明【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列中，，，求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；【答案】证明见解析；；【解析】，当时，，数列是首项为，公比为的等比数列，，；【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．(1)证明：为等比数列．(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由题意知，所以为等比数列．其首项，．（2）由（1）可知，又，所以．2．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数的首项，且满足，求证为等比数列，并求．【答案】证明见解析，【解析】因为，，所以，所以，所以.又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以.3．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足，证明：和都是等比数列；【答案】证明见解析【解析】因为，，所以，，又由，得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列．考法三等比数列的中项性质【例3-1】（2023春·江西）在等比数列中，若，，则（

）A． B．9 C．15 D．7【答案】A【解析】.故选：A.【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（

）A．或 B．2或 C． D．【答案】C【解析】因为，是方程的两根，所以，，且，都是负数，又因为为等比数列，所以，所以，且，所以.故选：C【例3-3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程的两个根，则_________.【答案】5【解析】因为与是方程的两个根，所以，因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.【一隅三反】1．（2023春·辽宁鞍山）若五个数、、、、成等比数列，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】设等比数列、、、、的公比为，则，由等比中项的性质可得，所以，，.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，故，则，，故，则，所以.故选：A3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知，向量与向量垂直，，，2成等比数列，则与的等差中项为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因为与垂直，所以，得到，又因为，，2成等比数列，所以，又，联立方程和，得到，，所以，的等差中项为．故选：A．4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若，，成等比数列，则（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【解析】，，，，又，，成等比数列，，，解得．故选：D．考法四等比数列的前n项和【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A【例4-3】（2023广东深圳）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.【一隅三反】1．（2023福建福州）已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（

）A．64 B．66 C． D．【答案】C【解析】由等比数列前项和的性质，可得构成等比数列，即成等比数列，可得，解得.故选：C.2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．41 B．45 C．36 D．43【答案】D【解析】设，则，因为为等比数列，根据等比数列的性质，可得仍成等比数列.因为，所以，所以，故.故选：D.3．（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列的前n项和为，则__________.【答案】【解析】由题意可得，，，故有.故答案为：4．（2023·江苏宿迁）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．【答案】【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，，又，则，因此，.故答案为：.考法五等比数列的最值【例5-1】（2023春·辽宁鞍山）等比数列的前n项积为，且满足，，，则使得成立的最大自然数n的值为（

）A．102 B．203C．204 D．205【答案】C【解析】由，即，则有，即。所以等比数列各项为正数，由，即，可得：，所以，，故使得成立的最大自然数n的值为204，故选：C【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为【答案】AD【解析】因为，，，所以，，所以，故A正确.，故B错误；因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；又，，所以的最大值为，故D正确.故选：AD【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．的最大值为

D．的最大值为【答案】B【解析】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，，所以单调递增，故C错误；因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A．B．C．是数列中的最大值D．若，则n最大为4038．【答案】ABD【解析】对A，∵，，，且数列为等比数列，∴，，∴，因为，∴，故A正确；对B，∵，∴，故B正确；对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．故选：ABD．3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（

）A． B．当且仅当时，取得最大值C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以，故A正确；又，即，解得，故C正确；由知等比数列为递减数列，且，故取得最大值为，故B错误；因为，所以成立，故D正确.故选：ACD考法六等比数列在实际生活中的运用【例6】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设该马第天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，该马七天所走的里程为，解得.故该马第五天行走的里程数为.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（

）元（参考数据：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000【答案】D【解析】设2022年6月底小王手中有现款为元，设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴，即，年所得收入为元.故选：D.2．（2023·贵州遵义·校考模拟预