6.2 等比数列（精练）（教师版）

6.2等比数列（精练）1．（2023春·广东佛山）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】B【解析】因为且，由数列为等比数列，可得，又由，所以.故选：B.2．（2023春·江西南昌）已知1，a，b，c，5五个数成等比数列，则b的值为A． B． C． D．3【答案】A【解析】因为1，a，b，c，5五个数成等比数列，所以也成等比数列，等比数列奇数项的符号一致，，.故选A.3．（2023春·上海普陀）已知，，，四个实数成等差数列，4，，1三个正实数成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，四个实数所成等差数列的公差为，则由题意可得，又为正实数，故.故选：A4．（2023春·云南）已知为等比数列，若、是方程的两根，则（

）.A． B． C． D．以上都不对【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，，则、、同号，、是方程的两根，，，和均为负数，由等比数列的性质可得，又、同号，.故选：C.5．（2023春·山东德州）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（

）A．85 B．64 C．84 D．21【答案】A【解析】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，，所以.故选：A6．（2023春·湖北）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（

）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【解析】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因为，所以有，解得.7．（2023春·江西）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【解析】根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，则S6﹣S3＝18﹣2＝16，根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，故，即S9﹣S6＝128，故S9＝S6+128＝146，故选：C．8．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，对任意，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.9．（2023春·北京）已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（

）A．63 B．31 C．15 D．7【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由题意，，解得，于是，故.故选：D10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列满足，则的最小值是（

）A．4 B．9 C．6 D．8【答案】D【解析】由，得，即，则，当且仅当即时取等号.故选：D11．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．不存在【答案】A【解析】由等差数列的前项和为，公差不为0，若满足，，成等比数列，可得，即，整理得，因为，所以，又由.故选：A.12．（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）已知成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】依题意，当1和4为两项时，则，解得或，取，当1和4为两项时，为正数，大于，当1和4为任意连续的两项时，等比数列的公比，必为正数，大于，当1和4为两项时，由于与同号，必为正数，大于，所以的最小值为.故选：C13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有3个不同的零点分别为，且成等比数列，则实数a的值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【解析】设，则常数项为：，因为成等比数列，所以，所以，即，解得，把代入，所以，解得．故选：D.14．（2023·江西）若，是函数（，）的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】∵∴，，所以为两个不等的负数，不妨设，则必有，2成等差数列，，2，成等比数列，故有，，解得，，可得，，.故选：A.14．（2023·全国·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】设共有只猴子，第只猴子取栗子的个数为，则第只猴子取栗子后，所剩栗子的个数为，故，，故，又，所以，得，由题意得即，即，即，易知当且仅当时，符合题意.故选：A15．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】设等比数列的公比为，有，由函数单调递增，且，可得.有，由数列单调递减，所以取得最大值时的值为9，故选：B.16．（2022秋·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，数列不一定为递增数列，如数列，公比，而此数列为递减数列，当为递增数列时，，则或，所以当为递增数列时，成立，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，故选：B.17．（2023·山东聊城·统考三模）若为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，是方程的两根，所以，，所以，又因为，则，又因为，所以，即充分性成立；反之，当时，不成立，则，不是方程的两根，即必要性不成立；所以“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件.故选：A18．（2023·云南昆明·统考模拟预测）（多选）已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（

）A．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列D．若a，b，c成等差数列，则，，成等比数列【答案】AD【解析】A.若a，b，c成等比数列，则，则，所以，，成等比数列，故A正确；B.数列1，2，3是等差数列，但数列，，不是等差数列，故B错误；C.若a2，b2，c2成等比数列，则，或，若，则a，b，c不成等比数列，故C错误；D.若a，b，c成等差数列，则，则成立，所以，，成等比数列，故D正确.故选：AD19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则__________．【答案】【解析】因为数列的前项和，所以，；又，因为数列为等比数列，则也满足，即，解得.故答案为20．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）等比数列的公比为，其前n项和为，且，．若仍为等比数列，则______．【答案】【解析】由得：，则，所以，又，所以，又，所以，所以，因为，，，所以，解得：，当时，是等比数列.故答案为：.21．（2023春·广东佛山）已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为________.【答案】【解析】由是与的等比中项，得，即，即，又，所以，所以，所以，所以当或时，取得最大值.故答案为：.22．（2023·河南·校联考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则__________.【答案】【解析】依题意，有，解得，故.因为，，成等比数列，所以，即，解得，故.故答案为：23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________.【答案】【解析】因为在数列中，，，则，所以，，所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，因为、是函数的两个零点，由韦达定理可得，因为，可得，所以，，由等比中项的性质可得，因此，.故答案为：.24．（2023·全国·高三对口高考）已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为__________.【答案】40【解析】因为，，所以，，则等比数列的公比，所以，，也是等比数列，所以，，也是等比数列，所以，即，解得或，又，所以.故答案为：40.25．（2023春·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期中）数列满足，，，求证：是等比数列；【答案】证明见解析【解析】，，∵，∴，∴，又因为．∴，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．26．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知数列满足，且，证明：数列是等比数列，并求出的通项公式.【答案】证明见解析，【解析】，，，数列是首项为，公比为3的等比数列，，当时，即，又也满足上式，数列的通项公式为；1．（2023春·山西）在数列中，，，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题意得，，，即，所以当为奇数时，；当为偶数时，；设的前n项和为，则，.若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意；当为偶数，则，即，所以.故选：B2．（2023春·安徽阜阳）如果数列是等比数列，那么（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】C【解析】对于C，设等比数列的公比为，则，所以为非零常数，则数列是等比数列，故C正确；对于ABD，取，则，数列是等比数列，则，，，故，，，所以，则数列不是等比数列，故A错误.而，，，显然，所以数列不是等比数列，故B错误.而，，，则，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：C.3．（2023·全国·高三对口高考）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件：，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】对于①：，，，，．又，，且，，故①正确；对于②：，故②错误；对于③：，故③正确；对于④：，，故④正确．故选：D．4．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】设方程的四个根由小到大依次为，，，，不妨设的一根为1，则另一根为27，所以，由等比数列的性质可知，所以，，所以等比数列，，，的公比为，所以，，由韦达定理得，可得.故选：C.5．（2023·全国·高三专题练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】B【解析】当时，则，不合乎题意；当时，对任意的，，且有，可得，可得，此时，与题干不符，不合乎题意；故，故A错误；对任意的，，且有，可得，此时，数列为单调递减数列，则，结合可得，结合数列的单调性可得故，，∴，故B正确；是数列中的最大值,故CD错误故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A．

B．C．是数列中的最大值

D．数列无最大值【答案】A【解析】根据题意，等比数列中，，则有，有，又由0，即，必有，由此分析选项：对于A，，故，A正确；对于B，等比数列中，，，则，则，即，B错误；对于C，，则是数列中的最大项，C错误；对于D，由C的结论，D错误；故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（

）A．q>1B．C．D．是数列中的最大项【答案】A【解析】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误；，则B正确；，则C正确；因为，所以是数列中的最大项，则D正确.故选：A.8．（2023河南省濮阳市）（多选）学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是，如此反复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择B套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．【答案】ABD【解析】由于每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，所以，所以正确，依题意，，则，又时，，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，当时，，所以，所以ABD正确，C错误，故选：ABD.9．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列【答案】ABC【解析】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；对于C，设等差数列的公差为，首项是，，，因此，则，成等差数列，C正确；对于D，若等比数列的公比，则不成等比数列，D错误.故选：ABC10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(

)A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)D．若最初有个桃子,则必有的倍数【答案】ABD【解析】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,所以,即,故A正确;由A，,则,即是等比数列,若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,所以是以为公比的等比数列,故B正确.由B知,是等比数列,所以,即,若最初有个桃子,即,所以,故C错误;根据题意:,因为以为公比的等比数列,所以,化简得,因为,且为正整数,所以,即必有的倍数,故D正确.故选:ABD.11．（2023春·河南郑州）在等比数列中，，是函数的极值点，则＝__________.【答案】【解析】由函数，则其导数，由，是函数的极值点，则，