5.2 三角函数的公式及应用（精练）（教师版）

5.2三角函数的公式及应用（精练）1．（2023·河南郑州）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以，所以.故选：D.3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，则（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，则，且，则，可得，即，解得或（舍去）.故选：A.4．（2023·广东广州·统考三模）若，则（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故选：A.5．（2023·陕西咸阳）已知为第二象限角，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】为第二象限角，，原式..故选：B.6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：由题意可知，（为锐角），∴，法二：由题意可知，（为锐角）∴，．故选：B．7．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在斜三角形ABC中，，且，则角A的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，则，得，即，又，所以，即，又，则，故选：A.8．（2023·广西南宁·统考二模）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，化简得：，解得或，因为，所以...故选：B.9．（2023·山西阳泉·统考二模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以.因为，所以，所以.因为，所以.故选：B.10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，两边平方得，则，故．故选：C.11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若，，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，，又，所以，即，所以.故选：C12．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故选：D13．（2023·全国·模拟预测）若为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，即，解得或（舍去），因为为第二象限角，所以，，所以.故选：C.14．（2023·四川凉山·三模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若点是角终边上一点，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，所以，，因为.故选：C.15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角，满足，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，即，即，所以.故选：C16．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若分别是与的等差中项和等比中项，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意可得，，且，所以，即，解得又因为，所以，所以故选:A17．（2023·全国·高三对口高考）已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以.故选：D.18．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，即，所以，即，所以，故选：C．19．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，角与的顶点在原点，终边构成一条直线，所以，，所以，又，所以,故选：C20．（2023·山东威海·统考二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C21．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，而，因此，则，所以.故选：B22．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，则，所以，则，所以.故选：D23．（2023·河南开封·校考模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，即，因为，所以，，则，所以，所以，所以，所以，所以.故选：B24．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C.25．（2023·全国·统考高考真题）“”是“”的（

）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，是成立的必要不充分条件.故选：B26．（2023·宁夏银川·校联考二模）化简（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B27．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图：过D作于E，则．，所以，.故选：D．28．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以所以，解得，所以由题意可知，，所以.故选：B.29．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知，则（

）A．为第二象限角 B．C． D．【答案】BC【解析】因为，所以有，所以得到，又，所以，可得且为第一象限角，故，故A不正确，B正确；又，故，所以，，故C正确；由，，知，故D不正确．故选：BC.30．（2023·山东烟台·统考二模）已知，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以.故答案为：31．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，，则______．【答案】【解析】由可得，则，又，则，则，故．故答案为：．32．（2023·全国·高三专题练习）______【答案】【解析】．故答案为：.33．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，则___________．【答案】【解析】由平方得，结合得，所以，由于，所以,所以，故答案为：34．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，则_____．【答案】【解析】又，则故答案为：35．（2023·山东泰安·统考二模）已知，则_______.【答案】【解析】因为，故可得，则故答案为：.36．（2023·新疆·校联考二模）若，则________．【答案】【解析】依题意，.故答案为：1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知角，满足，，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由得，进而，则所以，则.故选：A.2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，因为，所以，所以，即，所以.故选：B3．（2023·河北·校联考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因为，可得，可得，解得，因为，所以，所以，所以.故选：C.4．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）若，则（

）A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】因为，所以，即，则所以则，即.故选：B.5．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则.故选：D6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，且，则，整理得，则，整理得，所以.故选：D.7．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，，则直线所对的倾斜角为，，即，则，则，，，，又因为，，则，结合，解得，故选：B.8．（2023·山东烟台·统考三模）已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，即，显然，两边同除得：，，即，易知，则，故选：A.9．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为锐角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，又为锐角，，所以，解得，因为为锐角，所以，又所以.故选：A.10．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

11．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【解析】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B12．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由，得，①化简①式，得，又，所以，即，因为，，所以，且在上单调递增，所以，所以，则，所以.故选：B．13．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得所以.因为，所以，所以，所以，所以，，所以.故选：A14．（2023·全国·校联考模拟预测）我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为，车轮转过的角度为，点的初始位置为，设车轮的中心为，当时，作，垂足为，如下图所示，则，到铁轨表面的距离为；当时，，作，垂足为，如下图所示，则，到铁轨表面的距离为；当时，，作，垂足为，如下图所示，则，到铁轨表面的距离为；当时，作，垂足为，如下图所示，则，到铁轨表面的距离为；当或或或时，到铁轨表面的距离满足；当时，点到铁轨表面的距离为，，综上所述：点到铁轨表面的距离为.故选：C.15．（2023·全国·模拟预测）若且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，得，则，因为，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故，所以，所以的最小值是，故选：B16．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知为坐标原点，点，，，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，，A正确；对于B，，，，因此，B正确；对于C，由选项B知，C正确；对于D，，显然与不恒等，即不恒成立，D错误.故选：ABC17．（2023·安徽黄山·统考二模）（多选）若，则的值可能是（

）A． B． C．2 D．3【答案】CD【解析】由余弦的二倍角公式知，得到，即，解得或，当时，，当时，所以，当时，或，当时，或，故选：CD.18．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．【答案】【解析】，故，由，所以，因为，，所以，的符号相反，所以，所以，因为，故，则，，故答案为：.19．（2023·北京海淀·校考三模）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的______.【答案】（答案不唯一）【解析】因为点与点关于轴对称，则，由可得，则，所以，由，可得，则，所以，因此，取.故答案为：（答案不唯一）20．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）_________．【答案】【解析】法1：.法2：.法3：余弦定理，根据正弦定理，，取三角形三个内角分别，则．故答案为：.21．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．