专题9.7 求轨迹方程（解析版）

专题9.7求轨迹方程题型一直接法题型二定义法题型三相关点法题型四交轨法题型五参数法题型六点差法题型七利用韦达定理求轨迹方程题型一 直接法例1．（2022秋·高三课时练习）若动点到定点和直线：的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．线段 B．直线 C．椭圆 D．抛物线【答案】B【分析】设动点的坐标为，由条件列方程化简可得点的轨迹方程，由方程确定轨迹.【详解】设动点的坐标为，则．化简得．故动点P的轨迹是直线．故选：B.例2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．

(1)求点的轨迹的方程；【答案】(1)【分析】（1）根据提意思，设，得到，结合，利用距离公式化简，即可求解曲线的方程；【详解】（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作，可得，设，则，因为，可得，即，整理得.练习1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.【答案】【分析】设出，由题意列出方程组，化简即可得到点的轨迹方程；【详解】设，由题意可得，整理得，故动点的运动轨迹方程为，如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部，所以，当且仅当在线段上时等号成立，所以的最小值为，故答案为：；练习2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）点到定点的距离与到的距离之比为，则点的轨迹方程为____，与连线的斜率分别为，，则的最小值为____.【答案】【分析】设出点坐标，依据题意列出方程，化简即可得出答案；利用两点的斜率公式写出，再利用的轨迹方程进行化简，最后利用重要不等式求出的最小值.【详解】设点的坐标为,由题意可知，到的距离为，由题意得，化简得，所以的轨迹方程为.又由题意，，则，又因为P在曲线上，所以，化简得，代入得，.又因为，所以的最小值为.故答案为：，练习3．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．(1)求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；【答案】(1)点的轨迹方程为，曲线的方程为.【分析】（1）由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得，通过基本不等式，求得的最大值.【详解】（1）设点为轨迹上任意一点，由题意得，则，，，故点的轨迹方程为，

所以点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程为.练习4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；【答案】(1)【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，故.练习5．（2022秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：.(1)求点M的轨迹C的方程;【答案】(1)【分析】（1）设出，表达出AM与BM的斜率，得到方程，求出轨迹方程；【详解】（1）设，又，则，整理得，可得点M满足方程，则M的轨迹C的方程为.题型二 定义法例3．（2023秋·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为__________．【答案】【分析】由的三边a，b，c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出椭圆方程，再结合和B、A、C三点构成，可得顶点B的轨迹是此椭圆的部分，可得其轨迹方程.【详解】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为，所以，即，所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为，因为，所以，所以，又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以，所以顶点B的轨迹方程为.故答案为：例4．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.(1)求点的轨迹的方程；【答案】(1)【分析】（1）抓住内切圆的性质找到等量关系，再由定义法即可求结果；【详解】（1）解：据题意，，从而可得，由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆，所以所求的椭圆的方程为.练习6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程【答案】【分析】根据圆C与圆A、圆B外切，得到，再利用双曲线的定义求解.【详解】因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以，所以点的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为.练习7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；【答案】(1)【分析】（1）利用椭圆定义即可求得动点的轨迹的方程；【详解】（1）由题意：，动点是以为焦点，长轴长为的椭圆.设椭圆标准方程为，则，动点的轨迹的方程为.练习8．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点满足，则__________.【答案】【分析】根据双曲线和圆的定义，求出所在曲线的的方程，联立方程组，求出的横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】以中点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，则，因为，，所以点､分别在以，为焦点的双曲线的右支和左支上，且，，所以，，所以双曲线方程为；因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，即点在圆上，因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，即点在圆上，联立，因为，可求，联立，因为，可求，因为，，故.故答案为：.

练习9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设，圆（为圆心），为圆上任意一点，线段的中点为，过点作线段的垂线与直线相交于点．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（

）A．曲线的方程为 B．当点在圆上时，点的横坐标为C．曲线的方程为 D．与无公共点【答案】ABC【分析】对于A，连接OQ，则可得，从而可得曲线的方程；对于B，圆B的方程与曲线的方程联立求解即可；对于C，连接AR，则可得，从而可得点R的轨迹为双曲线；对于D，求出曲线的方程，然后判断.【详解】如图1、图2，连接OQ．因为点Q为线段AP的中点，O为线段AB的中点，所以，所以点Q的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，即曲线的方程为，故A正确；当点Q在圆B上时，圆B的方程与曲线的方程联立，可得，故B正确；连接AR，由于直线QR为线段AP的中垂线，所以，所以，所以点R的轨迹为以为焦点，2为实轴的双曲线，所以曲线的方程为，故C正确；由选项C可知，所以曲线的方程为，所以与有两个公共点，故D错误．故选：ABC．

练习10．（2023·河南驻马店·统考二模）已知直线轴，垂足为轴负半轴上的点，点关于坐标原点的对称点为，且，直线，垂足为，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程．【答案】(1)【分析】（1）根据垂直平分线性质，结合抛物线定义可解；【详解】（1）由题意可得，即点到点的距离等于点到直线的距离．因为，所以的方程为，，则点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故点的轨迹的方程为．

题型三 相关点法例5．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为．(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出值；（2）设,，利用点差法结合中点公式即可得到，化简即可.【详解】（1）联立,得，直线被双曲线截得的弦长为,,设直线与双曲线交于,则,由弦长公式得,解得.（2）设,，则，，上式作差得，当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知，当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知，当直线的斜率存在时，且时，，，，化简得，其中，而点，适合上述方程，则线段的中点的轨迹方程是.

例6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为______．【答案】【分析】根据已知求出点的轨迹方程，根据两点间的距离公式，利用二次函数求出的最小值.【详解】设点坐标为，则，，又因为，所以，由，得，所以，是抛物线上的点，设，则,因为，所以当时，取最小值，此时．故答案为：.练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足,求动点的轨迹的方程；【答案】【分析】设，则，根据，求得，代入圆的方程，即可求解.【详解】解：设，则，可得，由，所以，化简得，因为，代入可得，即，即为的轨迹的方程为.练习12．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；【答案】【分析】设，，由为线段的中点列关系式，根据两点距离公式表示，从而转化为关于的方程即可得的轨迹方程.【详解】设，线段的中点，因为为线段的中点，，，，即，得.所以点的轨迹方程是．练习13．（2022秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系数法即得；（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则，解之得，所以圆C的标准方程为；（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，解得,又点E在圆C：上，所以有，化简得：,故所求的轨迹方程为．练习14．（2022秋·高二校考课时练习）设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______.【答案】【分析】设，P（x0，y0），利用中点坐标公式得出，然后结合点在圆上即可求解.【详解】圆可化为，则，设，P（x0，y0），所以整理得,即，将点代入圆的方程得，即为.故答案为：.练习15．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相关点法即可求得动点P的轨迹方程.【详解】设，不妨令，正方形ABCD的面积为16，则，则，由，可得，即，则，整理得故选：B题型四 交轨法例7．（2022秋·高三课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【答案】【分析】首先判断点是的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点的轨迹方程.【详解】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，由重心坐标公式得，则代入，整理得故所求轨迹方程为.例8．（2023·湖南·校联考二模）已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．(1)求该双曲线的标准方程；(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用双曲线的定义可得，然后利用两边之和大于第三边以及可得，即可求得方程；（2）设，则，得到直线，的方程，两条方程与可得到，然后算出的范围即可【详解】（1）设双曲线的焦距为，由及双曲线的定义，得，解得，由可得，又恒成立，所以，解得．因为该双曲线离心率小于等于，所以，即，解得，所以，则，所以双曲线的标准方程为．（2）因为，所以点只能在双曲线的右支上，

设，则，因为在双曲线上，所以，易得，所以直线的斜率为，直线的方程为①，同理可求得直线的方程为②，由①×②得③，将代入③得，化简得，令①=②即，化简得，因为，所以，即点的轨迹方程为．【点睛】关键点点睛：这道题的关键之处是得到直线，的方程，与相结合，通过消元的方法得到轨迹方程练习16．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．(1)证明：；(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，，利用三点共线，解得，再利用向量数量积的坐标表示即可求解；（2）设，，，根据题意可得，由此解出与，与的关系，进而得到直线与直线的方程，联立即可求解.【详解】（1）设，，因为三点共线，所以,所以，整理可得，所以，所以．（2）设，，，由题意，，因为，，所以，又因为，，所以，整理得．因为在轴同侧，所以，同理可得，所以直线的方程为，同理的方程为，两式联立代入，可得，由题意可知交点不能在x轴上，所以交点的轨迹方程为．练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为_______．【答案】（）．【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案.【详解】设，因为椭圆的长轴端点为，设直线和的交点为，因为三点共线，所以，，因为三点共线，所以，两式相乘得，（）,因为，所以，即，所以，整理得（），所以直线和的交点的轨迹方程（）.故答案为：（）.练习18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点.(1)求椭圆的方程；(2)若过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，求直线与直线的交点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先设椭圆方程，代入椭圆上的点的坐标，即可求解；（2）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求直线与直线的交点坐标，即可求解交点的轨迹方程.【详解】（1）设椭圆方程E：+=1由AC两点可知：，解得=16，=12，所以椭圆方程为；（2）设，M（，）N（，）联立（3+12my-36=0直线AM：=直线BN：=消去：，因斜率不为0，该直线方程：.练习19．（2023·吉林·统考模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为(1)求双曲线的标准方程；(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ii）求直线和交点的轨迹方程.【答案】(1)(2)（i）存在，；（ii）【分析】（1）注意到直线与双曲线有且仅有一个公共点时，l平行于渐近线可解；（2）利用韦达定理结合即可求得，再根据和的直线方程消去斜率即可得交点的轨迹方程.【详解】（1）故当直线过与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行设直线，即，则点到直线的距离为即双曲线的标准方程为：.（2）（i）由题可知，直线斜率不为0设直线由得：成立.所以存在实数，使得成立.（ii）直线，直线联立得：所以直线和交点的轨迹方程为：练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________.【答案】或【分析】由题可得抛物线方程，利用切线几何意义可得切线斜率，即可表示出切线方程求出交点坐标，再将抛物线与直线联立，结合韦达定理可得轨迹方程.【详解】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.由可得，故，故在处的切线方程为，即，同理在点处的切线方程为，联立，即.联立直线与抛物线方程：，消去得，由题或.由韦达定理，，得，其中或，故点的轨迹方程为：或.故答案为：或题型五 参数法例9．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．【答案】【分析】根据题意将动点的坐标设出，垂直转化为对应的向量数量积为0，再转化平行条件从而得到动点的轨迹方程.【详解】设、、，则，，，由，得，且点、均不在轴上，故，且，．由，得，即．由，得，即．∴，∴动点的轨迹的方程为：.例10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.【答案】（）或（）【分析】求出外心坐标，外接圆半径同，得顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H的轨迹方程．【详解】设的外心为，半径为R，则有，又，所以，即，或，当坐标为时．设，，有，即有（），由，则有，由，则有，所以有，，则，则有（），所以垂心H的轨迹方程为（）.同理当当坐标为时．H的轨迹方程为（）.综上H的轨迹方程为（）或（）．练习21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线，定点，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．【答案】详见解析【分析】设，根据，利用分点公式得到，再根据点B在抛物线上求解.【详解】解：设，因为，所以，解得，因为点B在抛物线上，所以，即，所以轨迹是抛物线.练习22．（2021·贵州·统考二模）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为，进而待定系数求解即可得答案；（Ⅱ）设直线的斜率为，进而得直线的方程，与椭圆联立得点的坐标，同理，用替换点的坐标得点的坐标，进而得点的坐标，消去参数即可得点的轨迹方程.【详解】解：（Ⅰ）根据题意，设椭圆的方程为，因为点和点为椭圆上两点，所以，解得，所以椭圆的标准方程（Ⅱ）设直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以与椭圆联立方程得，即，所以点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，因为直线与的斜率之和为，所以直线的斜率为，同理，用替换点的坐标得点的坐标，所以点的坐标为所以点的参数方程为：（为参数）消去参数得点的轨迹方程，由解得，所以，所以点的轨迹方程.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设直线的斜率为，进而结合题意，与椭圆联立方程求得点坐标，进而消参数即可得答案.练习23．（2011秋·辽宁·高二统考期中）如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标⑵求弦AB中点M的轨迹方程【答案】⑴A（，），B（，）．⑵，即为M点轨迹的普通方程．【详解】试题分析：⑴．∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0∴设直线OA的方程为（）∴联立方程解得；以代上式中的，解方程组解得∴A（，），B（，）．6分⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得消去参数k，得，即为M点轨迹的普通方程．12考点：直线与抛物线的位置关系，“参数法”求轨迹方程．点评：中档题，研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往通过建立方程组，应用韦达定理，简化解题过程．“参数法”是求曲线方程的常见方法，通过引入适当的“中间变量”，将动点的坐标相互联系起来．练习24．（2021秋·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．（1）若直线过焦点，且，求的值；（2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）（除掉点）.【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可直接求得结果；（2）设，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式，代入中整理可求得，验证取值后得到所过定点；由知，知点的轨迹是以为直径的圆，确定圆心和半径后即可得到轨迹方程，验证可知轨迹中的不符合题意，由此得到最终结果.【详解】（1）由抛物线方程知：，准线方程为：．，，.（2）依题意可设直线，由得：，则，…①，…②由①②化简整理可得：，则有，解得：或．当时，，解得：或，此时过定点，不符合题意；当时，对于恒成立，直线过定点，.，，且四点共线，，则点的轨迹是以为直径的圆．设，的中点坐标为，，则点的轨迹方程为．当的坐标为时，的方程为，不符合题意，的轨迹方程为（除掉点）．【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据，利用韦达定理构造出关于变量的方程，确定直线所过的定点坐标，进而根据垂直关系确定轨迹为圆.练习25．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的中心作两条互相垂直的射线，交双曲线于、两点，试求：（1）弦的中点的轨迹方程；【答案】（1）见解析；【详解】（1）设、、，则有，①..②.由得.③.②①得，④.②①得.⑤.由式③、④解得，代入式⑤得，其中.上式即为所求轨迹方程.题型六 点差法例11．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果.【详解】设，且，由得：，即，为中点，，，，直线方程为：，即；由得：，则，满足题意；直线的方程为：.故选：A.例12．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为_______________．【答案】【分析】根据向量垂直可得圆的切线方程为，进而在椭圆中，根据点差法可得，根据中点弦的斜率即可代入求解.【详解】取中点，连接,由于,所以,进而,设，设直线上任意一点，由于是圆的切线，所以,所以，令则，所以，由中点坐标公式可得，设,则，两式相减可得，所以,又，,所以，解得，进而故直线l的方程为，即，故答案为：练习26．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点差法求解.【详解】解：设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A练习27．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______．【答案】【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围.【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．由题意知，则，∴点的轨迹方程为．又点在椭圆内，∴，解得：，故答案为：.练习28．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用点差法及中点坐标求出直线AB的斜率，再根据点斜式求解即可.【详解】解：设，，由题意可知，则，两式相减，得，因为是弦AB的中点，所以，，所以，即，直线AB的斜率为2，所以弦AB所在直线的方程为，即，故选：C.练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标满足的方程是________.【答案】【分析】根据点差法及直线的斜率可得出中点M的轨迹方程.【详解】设，，则两式相减，得.因为，的坐标为，所以，又直线的斜率为，所以，即.故答案为：练习30．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是___.【答案】【分析】利用点差法即可求得过点且被点P平分的弦所在直线的方程.【详解】设该直线与椭圆的两个交点分别为，则又，，两式相减得则，则，则所求直线方程为，即经检验符合题意.故答案为：题型七 利用韦达定理求轨迹方程例13．（2023秋·高三课时练习）过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.【答案】（或）【分析】设，，，设直线的方程为，与抛物线方程联立利用韦达定理可得、和的范围，根据平行四边形对角线互相平分和消参法可得答案.【详解】设，，，由题意过点的直线的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线方程联立，可得，，且可得且，所以由可得，因为四边形是平行四边形，所以，即，可得，因为，而且，可得或，所以的轨迹方程为（或）.

例14．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．【答案】/【分析】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可.【详解】设斜率为直线方程为：，代入椭圆中，消元整理得：，线段的中点为，设，则，所以，，所以，消去得：，所以线段的中点为的轨迹方程为：，如图所示：的轨迹即为线段，由或，所以，所以的轨迹长度为：，故答案为：.练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，直线过点.若与交于，两点，点在线段上，且，求点的轨迹方程.【答案】，（且）【分析】设，，，令，由已知可得，由，得，求出由韦达定理代入，进而求出点的轨迹方程.【详解】解法一：设，，，不妨令，直线斜率存在，设直线方程为，，即，直线与抛物线有两个交点，故，故，且，，.由，得，即，故，即，，且，故，且，故点的轨迹方程为（，且）.解法二：设，，，不妨令，直线斜率存在，设直线方程为，，即，直线与抛物线有两个交点，故，，且，，.点在线段上，设，则，，故，，，故.，且，故，且，故点的轨迹方程为（，且）.