专题9.7 求轨迹方程（原卷版）

专题9.7求轨迹方程题型一直接法题型二定义法题型三相关点法题型四交轨法题型五参数法题型六点差法题型七利用韦达定理求轨迹方程题型一 直接法例1．（2022秋·高三课时练习）若动点到定点和直线：的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．线段 B．直线 C．椭圆 D．抛物线例2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．

(1)求点的轨迹的方程；练习1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.练习2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）点到定点的距离与到的距离之比为，则点的轨迹方程为____，与连线的斜率分别为，，则的最小值为____.练习3．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．(1)求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；练习4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；练习5．（2022秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：.(1)求点M的轨迹C的方程;题型二 定义法例3．（2023秋·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为__________．例4．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.(1)求点的轨迹的方程；练习6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程练习7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程；练习8．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点满足，则__________.练习9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设，圆（为圆心），为圆上任意一点，线段的中点为，过点作线段的垂线与直线相交于点．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（

）A．曲线的方程为 B．当点在圆上时，点的横坐标为C．曲线的方程为 D．与无公共点练习10．（2023·河南驻马店·统考二模）已知直线轴，垂足为轴负半轴上的点，点关于坐标原点的对称点为，且，直线，垂足为，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程．题型三 相关点法例5．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为．(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．例6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为______．练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足,求动点的轨迹的方程；练习12．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；练习13．（2022秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.练习14．（2022秋·高二校考课时练习）设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______.练习15．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A． B． C． D．题型四 交轨法例7．（2022秋·高三课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

例8．（2023·湖南·校联考二模）已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．(1)求该双曲线的标准方程；(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．练习16．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．(1)证明：；(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为_______．练习18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点.(1)求椭圆的方程；(2)若过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，求直线与直线的交点的轨迹方程.练习19．（2023·吉林·统考模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为(1)求双曲线的标准方程；(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ii）求直线和交点的轨迹方程.练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________.题型五 参数法例9．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．例10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.练习21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线，定点，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．练习22．（2021·贵州·统考二模）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.练习23．（2011秋·辽宁·高二统考期中）如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标⑵求弦AB中点M的轨迹方程练习24．（2021秋·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．（1）若直线过焦点，且，求的值；（2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．练习25．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的中心作两条互相垂直的射线，交双曲线于、两点，试求：（1）弦的中点的轨迹方程；题型六 点差法例11．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．例12．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为_______________．练习26．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．练习27．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______．练习28．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为（

）A． B．C． D．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标满足的方程是________.练习30．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是___.题型七 利用韦达定理求轨迹方程例13．（2023秋·高三课时练习）过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.例14．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，直线过点.若与交于，两点，点在线段上，且，求点的轨迹方程.练习32．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.练习33．（2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.练习34．（2022春·黑