专题9.1 直线的方程（原卷版）

专题9.1直线的方程题型一倾斜角与斜率题型二直线与线段的相交关系求斜率范围题型三求直线的方程题型四直线的定点问题题型五直线与坐标轴围成的三角形问题题型六直线平行或垂直题型七距离公式的应用题型八对称问题题型一 倾斜角与斜率例1．（2023春·湖北荆州·高三统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（

）A．0 B． C． D．例2．（2023春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．练习1．（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（

）A． B． C． D．练习2．（2023秋·高三课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4练习3．（2023秋·高三课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．练习4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.练习5．（2022秋·高三课时练习）（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（

）A． B． C． D．题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围例3．（2023·全国·高三专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______例4．（2023秋·高三课时练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．练习6．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．练习7．（2023秋·高三课时练习）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

练习8．（2023·全国·高三对口高考）已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为_________．练习9．（2022·全国·高二专题练习）已知,，点是线段AB上的动点，则的取值范围是______.练习10．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）（多选）若直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则直线l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．题型三 求直线的方程例5．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点；(2)经过点，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是；(4)经过两点；(5)在x轴上的截距是，倾斜角是；(6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3．例6．（2023·高三课时练习）已知直线l的倾斜角为，，且这条直线经过点，求直线l的一般式方程．练习11．（2023秋·高三课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（

）A． B． C． D．练习12．（2022秋·高三校考课时练习）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（

）A．

B．

C．

D．

练习13．（2022秋·高三校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A． B．C． D．练习14．（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．练习15．（2023春·上海徐汇·高三上海中学校考期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（

）A． B．C． D．题型四 直线的定点问题例7．（2022·全国·高三专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A． B． C． D．例8．（2023·全国·高二对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（

）A．直线一定不经过原点B．直线一定不经过第三象限C．直线一定经过第二象限D．直线可表示经过点的所有直线练习16．（2023·全国·高三专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（

）A． B． C． D．练习17．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．练习18．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）直线（）必过点________.练习19．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知实数成等差数列，则直线必过定点______.练习20．（2023春·湖南·高三临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考期中）已知直线的方程为．(1)求直线过的定点P的坐标；(2)直线与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A，B，当面积最小时，求直线的方程；例10．（2023秋·高三课时练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．练习21．（2022秋·高三校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.练习22．（2023·上海·高三专题练习）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．练习23．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为__________.练习24．（2023春·四川内江·高三四川省资中县第二中学校考开学考试）已知直线，.(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程.练习25．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若直线与直线平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大，求直线的方程.题型六 直线平行或垂直例11．（2022秋·高二校考课时练习）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A． B．C． D．例12．（2023·高三课时练习）已知直线和，若，则___________．练习26．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．练习27．（2022秋·四川泸州·高三统考期末）点与点关于直线l对称，则l的方程是（

）A． B． C． D．练习28．（2023·全国·高三对口高考）直线和，当________时，；当________时，；当________时，与相交．练习29．（2023秋·高三课时练习）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为__________和__________．练习30．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知直线，若且，则的值为（

）A． B．5 C． D．7题型七 距离公式的应用例13．（2022秋·广东揭阳·高三校考期中）直线过点.求分别满足下列条件的直线方程.(1)若直线与直线平行；(2)若点到直线的距离为1.例14．（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．练习31．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（

）A． B． C． D．练习32．（2022秋·高三单元测试）已知直线过点，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和练习33．（2022秋·高三校考课时练习）若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为________________.练习34．（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．练习35．（2023秋·高三课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程.题型八 对称问题例15．（2022秋·高三校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2例16．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线的方程为.（1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程__________；（2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程__________.练习36．（2023秋·上海奉贤·高三校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎