专题8.5 球的外接和内切（原卷版）

专题8.5球的外接和内切题型一长（正）方体的外接球题型二线面垂直模型题型三对棱相等模型题型四共斜边模型题型五球心在外心正上方模型题型六面面垂直模型题型七折叠模型题型八外接球的最值问题题型九内切球题型一 长（正）方体的外接球例1．（2023·河南·校联考模拟预测）棱长为2的正方体的外接球的球心为O，则四棱锥的体积为（

）A． B． C．2 D．例2．（2023·江苏·高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（

）A． B． C． D．练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体外接球的面积是（

）A． B． C． D．练习2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为___________练习3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为__________.练习4．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为，则正方体的体积为______，正方体的外接球的表面积为______.

题型二 线面垂直模型例3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在直三棱柱中，已知，，，则该三棱柱外接球的表面积为_______________．例4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，则二面角的大小为______，此时，四面体的外接球的表面积为______．

练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）在矩形中，平面，则与平面所成的角是_____．四棱锥的外接球的表面积为____．练习7．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．练习8．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，，现将沿折起，使异面直线与所成角为，且为锐角，则折后三棱锥外接球的表面积为_________．练习9．（2023春·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．练习10．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知三棱锥的体积为6，且.则该三棱锥外接球的表面积为______.题型三 对棱相等模型例5．（2022春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为______.例6．（2022春·山西朔州·高二朔州市朔城区第一中学校校考期末）已知四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________．练习11．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.练习12．（2023·全国·高三专题练习）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．练习13．（2023·全国·高三专题练习）四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为_____．练习14．（2022秋·天津和平·高三天津二十中校考期中）已知、、、四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是______．练习15．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，则的最大值为_________．题型四 共斜边模型例7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（

）

A． B． C． D．例8．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）已知三棱锥，在底面中，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．练习16．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知为球的表面的四个点，平面，，则球的表面积等于__________.练习17．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（

）A． B． C． D．练习18．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，边长为3的正方形所在平面与矩形所在的平面垂直，．为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．练习19．（2022·全国·高三校联考专题练习）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于A． B． C． D．练习20．（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（

）A． B． C． D．题型五 球心在外心正上方模型例9．（2023·全国·校联考二模）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为__________.例10．（2023春·高一课时练习）正四面体内接于半径为的球，求正四面体的棱长.练习21．（2022春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为_________．练习22．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________．（注：球壳厚度不计）.练习23．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）正三棱锥的底面边长为3，高为，则下列结论正确的是（

）A．B．三棱锥的表面积为C．三棱锥的外接球的表面积为D．三棱锥的内切球的表面积为练习24．（2023·海南海口·统考模拟预测）在正三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为______.练习25．（2023·全国·校联考模拟预测）在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若，且，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型六 面面垂直模型例11．（2023春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）三棱锥中，，平面平面，．若三棱锥的外接球体积的取值范围是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为_______.练习26．（2023·山东烟台·统考二模）（多选）三棱锥中，底面、侧面均是边长为2的等边三角形，面面，P为的中点，则（

）．A．B．与所成角的余弦值为C．点P到的距离为D．三棱锥外接球的表面积为练习27．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．练习28．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知长方体的体积为16，，与相交于点E，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．练习29．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．练习30．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且．若与平面所成的角为，则四棱锥外接球的表面积为______．

题型七 折叠模型例13．（2023·全国·高一专题练习）已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，且二面角为，则三棱锥外接球的半径为____________例14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）在三棱锥中，是边长为6的等边三角形，，三棱锥体积的最大值是__________；当二面角为时，三棱锥外接球的表面积是__________.练习31．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为______．练习32．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形的边长为2，且，沿把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.练习33．（2023·四川成都·统考一模）已知边长为的菱形中，，沿对角线把折起，使二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．练习34．（2023·全国·高三专题练习）在边长为的菱形中，，将绕直线旋转到，使得四面体外接球的表面积为，则此时二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．练习35．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形的边长为，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角的平面角的余弦值为，则此时三棱锥的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（

）A． B． C． D．题型八 外接球的最值问题例15．（2023·江西新余·统考二模）表面积为的球内有一内接四面体PABC，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（

）A． B． C． D．例16．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为___________.练习36．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．练习37．（2023·广东潮州·统考模拟预测）已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为，则的最小值为_____________．练习38．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知正三棱柱所有顶点都在球O上，若球O的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为________.练习39．（2023春·安徽·高三安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（

）

A． B． C． D．练习40．（2023·浙江宁波·镇海中