第03讲 6.2.3组合+6.2.4组合数 （原卷版）

第03讲6.2.3组合+6.2.4组合数课程标准学习目标①了解组合、组合数的意义。②掌握常见的组合处理方法。③会用组合的相关方法解决简单的组合问题。④熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题。⑤在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题。1.掌握组合、组合数的意义；2.能解决简单的组合问题；3.并能解决简单的排列组合综合问题；知识点01：组合（1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”.不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.知识点02：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.（2）组合数公式或：（，）.规定：【即学即练1】（2023上·高二课时练习）计算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)455(2)21(3)19900【详解】（1）；（2）；（3）知识点03：组合数的性质（1）性质1：（2）性质2：【即学即练2】（2022下·广东梅州·高二校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由组合数性质知，，所以，所以，得.故选：A.【即学即练3】（多选）（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）满足方程的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【详解】因为，所以或解得：或或或，当时，，故舍去；当时，，故舍去；当时，；当时，；故选:AB题型01组合的概念【典例1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【典例2】（多选）（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）下列问题是组合问题的是（

）A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本B．从7本不同的书中取出5本给某个同学C．10个人相互发一微信，共发几次微信D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话【典例3】（多选）（2023下·高二单元测试）下列是组合问题的是（

）A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？【典例4】（2022·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？(3)从7本不同的书中取出5本给某同学；(4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？【变式1】（2022下·黑龙江齐齐哈尔·高二龙江县第一中学校考阶段练习）下面问题中，是排列问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合【变式2】（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．【变式3】（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．题型02组合数的计算、化简与证明【典例1】（2024·全国·高三专题练习）（

）A．74 B．98 C．124 D．148【典例2】（多选）（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）（1）计算：；（2）证明：.【变式1】（多选）（2023下·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列等式中，正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）（1）计算：；（2）求值：.【变式3】（2023上·高二课时练习）m是自然数，n为正整数，且，求证：．题型03组合数方程与不等式【典例1】（2023上·河南驻马店·高二统考期末）关于的方程的解为（

）A． B． C．且 D．或【典例2】（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．（2）求等式中的n值．【典例3】（2024·全国·高三专题练习）（1）解不等式．（2）若，求正整数n．【变式1】（2023上·高二课时练习）不等式的解为．【变式2】（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）若，求m.【变式3】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）（1）已知，计算：；（2）解方程：．题型04组合数的性质及其应用【典例1】（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）（

）A．84 B．120 C．126 D．210【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）若，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．3或6【典例3】（多选）（2023下·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若，则正整数的值是（

）A． B． C． D．【典例4】（2023下·河北邢台·高二邢台一中校考阶段练习）若（），则.【变式1】（2023下·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）若，则的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【变式2】（多选）（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式3】（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）若，则的值为.题型05有限制条件的组合问题【典例1】（2024·全国·高三专题练习）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（

）A．8个 B．12个 C．18个 D．24个【典例2】（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有个.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为．【变式1】（2024上·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．180种 D．240种【变式2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（

）A．60 B．66 C．72 D．80【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求，则满足条件的四位数的个数为.题型06排列、组合的综合应用【典例1】（2024·全国·高三专题练习）将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（

）A． B． C．216 D．【典例2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（

）A．450种 B．72种 C．90种 D．360种【典例3】（2024·全国·高三专题练习）2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为．【典例4】（2024·全国·高三专题练习）2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有种.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（

）A．36种 B．30种 C．24种 D．12种【变式2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（

）A．306 B．198 C．268 D．378【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有种不同的选法.（用数字作答）【变式4】（2024·全国·高三专题练习）从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有种.题型07与几何图形有关的组合问题【典例1】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（

）A．18 B．24 C．30 D．32【典例2】（2023下·云南楚雄·高二统考期中）如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（

）

A．25条 B．48条 C．150条 D．512条【典例3】（多选）（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（

）

A．不同的路径共有31条B．不同的路径共有41条C．若甲途经地，则不同的路径共有18条D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条【变式1】（2023上·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（

）A．90种 B．105种 C．260种 D．315种【变式2】（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有种不同的涂色方法.【变式3】（2023·全国·高二随堂练习）如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有多少种不同的方案？

题型08分组、分配问题【典例1】（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（

）A．420 B．460 C．480 D．520【典例2】（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.(1)一共有多少不同的分组方案？(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【典例3】（2023下·河南郑州·高二校考期中）已知从左到右有5个空格.(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？(2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？【典例4】（2022下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？【典例5】（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．【变式1】（2024·河南郑州·统考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种．（用数字作答）【变式2】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．【变式3】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）【变式4】（2023下·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【变式5】（2023下·河北石家庄·高二校联考期中）现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．5402．（2023·全国·高三专题练习）满足，且的有序数组共有（

）个.A． B． C． D．3．（2024·全国·高三专题练习）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A．4种 B．10种 C．18种 D．20种4．（2024上·辽宁锦州·高二统考期末）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（

）A．240 B．300 C．420 D．5405．（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（

）A．18 B．150 C．36 D．546．（2024·全国·模拟预测）“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（

）A．24种 B．20种 C．12种 D．22种7．（2024·吉林白山·统考一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（

）A．300 B．432 C．600 D．8648．（2024·全国·模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（

）A．20 B．40 C．66 D．80二、多选题9．（2024·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（

）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三