1.2 集合间的基本关系-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

1.2集合间的基本关系【考点梳理】【考点梳理】考点一子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B考点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．【题型归纳】题型一：子集、真子集的个数问题1．（2022·河南洛阳·高一期末）集合的真子集的个数是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）集合，，则集合的真子集的个数为（

）A．8 B．6 C．7 D．153．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，则集合A的子集个数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64题型二：根据集合包含关系求参数4．（2022·江苏·高一）设集合，，则（

）A． B．C． D．5．（2022·江苏·高一）设集合，集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高一专题练习）集合，，则M、P之间的关系为（

）A． B． C． D．题型三：根据集合相等关系求参数7．（2022·江苏·高一）下列集合中表示同一集合的是（

）．A．，B．，C．，D．，8．（2021·福建·内厝中学高一阶段练习）若A＝{－1，2}，B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则有（

）A． B．C． D．9．（2021·湖南·长郡中学高一期中）设a，，P={1，a}，Q={，}，若P=Q，则(

)A． B． C．0 D．1题型四：与空集有的集合问题10．（2021·全国·高一）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．611．（2020·山西·高一期中）若集合，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2020·浙江·台州市双语高级中学高一阶段练习）设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（

）A． B．C． D．题型五：集合的基本关系的综合13．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)；(2)恰有一个元素.14．（2022·全国·高一专题练习）设集合，，且．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数．15．（2021·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）已知(1)若求实数a的取值范围(2)若，求实数的取值范围【双基达标】一、单选题16．（2022·江苏·高一）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}17．（2022·江苏·高一）已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（

）A． B． C． D．18．（2022·全国·高一专题练习）已知，，若，则的值为(

)A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．19．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）下列关系中正确的是（

）A．

B． C． D．20．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．21．（2022·全国·高一）集合，则的值为（

）A．0 B．1 C．－1 D．±122．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知集合，，且，则的值为（

）A．或 B．或C．或 D．或或23．（2021·河南·高一阶段练习）规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【高分突破】一：单选题24．（2021·江苏常州·高一期中）已知集合，若则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．25．（2022·江苏·高一单元测试）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．26．（2021·湖北·孝感市孝南区第二高级中学高一期中）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．427．（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）下列六个写法：①；②；③；④Ø；⑤Ø；⑥Ø⫋{0}，其中错误写法的个数为（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个28．（2021·河南南阳·高一阶段练习）若集合，，则、、的关系是（

）A． B． C． D．二、多选题29．（2022·全国·高一开学考试）已知集合，，若，则实数a的值可能是（

）A．−1 B．1 C．−2 D．230．（2021·河北·高一阶段练习）下列集合中，与相等的是（

）A． B． C． D．31．（2020·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）下列集合是空集的是（

）A． B．C． D．32．（2021·河北·石家庄市第四十一中学高一期中）已知集合，那么下列关系正确的是（

）A． B．C． D．33．（2021·全国·高一课时练习）已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（

）A． B． C． D．34．（2021·江苏省天一中学高一期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（

）A．0 B．1 C． D．-1三、填空题35．（2022·安徽·高一期中）设集合，则集合的子集个数为________36．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数a的值为___________.37．（2022·江苏·高一）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．38．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥.39．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数的取值集合为___________.40．（2021·江苏省海头高级中学高一阶段练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则=___________．四、解答题41．（2022·全国·高一专题练习）判断下列每对集合之间的关系：(1)，；(2)，{是的约数}；(3)，.42．（2022·全国·高一专题练习）已知.(1)若是的子集，求实数的值；(2)若是的子集，求实数的取值范围.43．（2021·重庆·高一阶段练习）已知集合．(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；(2)若，且，求实数的取值集合．44．（2021·全国·高一课时练习）设集合，．(1)当时，求A的非空真子集个数；(2)当时，求m的取值范围．45．（2021·上海市奉贤中学高一期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；(1)求集合的生成集B；(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；(3)若集合，A的生成集为B，求证.46．（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知集合（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围.47．（2021·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知集合.(1)若，，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得，？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案详解】1．B【详解】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.2．C【详解】，集合的真子集的个数为个.故选：C.3．B【详解】∵，∴，解得，∵，∴，则集合的子集个数为.故选：B.4．A【详解】由且，即，而，所以为的子集，则.故选：A5．D【详解】由可得.故选：D.6．C【解析】【分析】用列举法表示集合、，即可判断两集合的关系；【详解】解：因为，，所以，故选：C7．B【详解】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．故选：B8．D【解析】【分析】根据，可得和是方程的两个根，利用一元二次方程的根与系数之间的关系，即可求得的值.【详解】由题意，，因为，可得和是方程的两个根.可得，解得.故选：D.9．C【解析】【分析】利用相等集合的概念求出和即可求解.【详解】由于，所以，，从而，.故选:C．10．C【解析】【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集合的关系可判定⑥.【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，所以不成立.④错误，表示空集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，．故选：C.11．A【解析】先假设集合为空集，得到不等式恒成立，求出范围，再求其补集，即可得出结果.【详解】若集合，则不等式恒成立，当时，不等式可化为，则，不满足题意；当时，为使不等式恒成立，只需，解得，综上集合时，；又集合，所以.故选：A.12．D【解析】集合：，集合：，集合的分子代表偶数，集合的分子代表奇数，即可判断选项.【详解】对于集合：，对于集合：，集合的分子代表偶数，集合的分子代表奇数，则集合和集合没有交集.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的运算.属于较易题.13．(1)(2)【解析】【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．(1)若，则关于x的方程没有实数解，则，且，所以，实数m的取值范围是；(2)若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：当时，，满足题意；当时，，所以．综上所述，m的取值范围为．14．(1){或}(2)【解析】【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．(1)当即时，，符合题意；当时，有，解得．综上实数的取值范围是或；(2)当时，，所以集合的子集个数为个．15．(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题可得，即得；（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．(1)∵，∴，即，∴实数a的取值范围为；(2)∵，，∴，解得，故实数的取值范围为.16．C【解析】【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C17．C【解析】【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.【详解】由于，所以，所以实数m的取值集合为.故选：C18．A【解析】【分析】A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒【详解】，，若，则＝1或－1，故a＝1或－1．故选：A．19．B【解析】【分析】明确和的含义，可判断A,B;说明是数集，而是点集，判断C;当在时不成立，判断D;【详解】对于A,是单元素集合，元素为0，而是空集，二者不相等，故A错误；对于B，空集为任何一个集合的子集，故正确；对于C，的元素为0,1，而的元素为点，二者没有包含关系，故错误；对于D,当表示不同的点，故在时不相等，故错误，故选：B20．A【解析】【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【详解】当时，即当时，，合乎题意；当时，即当时，由可得，解得，此时.综上所述，.故选：A.21．B【解析】【分析】根据两个集合相等，那么两个集合中的元素完全一致，求出的值，进而计算的值.【详解】因为，且，所以，即，所以，，又因为，所以，所以，故选B.22．D【解析】【分析】讨论当与时，根据可得的值．【详解】当时，，符合题意；当时，，因为，则或，得或；综上所述：的值为或或故选：D．23．C【解析】【分析】根据“家族”的定义逐一判断四个选项即可得正确答案.【详解】对于①：因为，所以，故①正确；对于②：因为，所以，故②错误；对于③：若a与b属于同一“家族”，则，，（其中），故③正确；对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论．故选：C．24．C【解析】【分析】由知，然后对讨论可得.【详解】当时，集合B为空集，显然满足题意，故排除A、B；当时，集合，集合，则有，或，即或.故选：C25．D【解析】【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.【详解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范围为故选：D26．B【解析】【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；②是整数，故可判断②正确；③通过解方程，可得出，故可判断③；④根据为正整数集可判断④；⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.【详解】①，故①错误；②是整数，所以，故②正确；③由，得或，所以，所以正确；④为正整数集，所以错误；⑤由，得，所以，所以错误.所以正确的个数有2个.故选：B.27．B【解析】【分析】根据集合与集合、集合与元素及空集的性质判断各项的正误，即可确定错误写法的个数.【详解】①两个集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②0.3是有理数，即，故错误；③所含元素相同，正确；④空集没有任何元素，故错误；⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误；⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确.故错误的有①②④⑤.故选：B.28．A【解析】【分析】分析出集合、为奇数集，可得出，再讨论集合、的包含关系，即可得解.【详解】由已知可知，集合、为奇数集，则，，故.故选：A.29．ABC【解析】【分析】由题意可得，从而可求出的范围，进而可求得答案【详解】因为，所以，，则，解得.故选：ABC30．AC【解析】【分析】根据集合相等的定义即可得出结果.【详解】A，，可选；B，，与不相等，不选；C，，可选；D，，与不相等，不选.故选：AC31．AB【解析】【分析】根据各选项集合的描述直接判断是否为空集即可.【详解】A：由上恒成立，故；B：方程无解，故；C：，不为空集；D：，不为空集.故选：AB32．ACD【解析】【分析】根据子集、真子集、属于的定义进行判断即可.【详解】因为，所以选项A正确、选项B错误，，因为集合不是空集，所以选项C正确，而正确，所以选项D正确，故选：ACD33．AC【解析】【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可.【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有，故选：AC34．ACD【解析】【分析】由题意，可得或者两个集合有公共元素，分别讨论求解，即可得答案.【详解】如果，则，解得，如果两个集合有公共元素则，解得，经检验符合，或，解得，经检验符合.故选：ACD.35．16【解析】【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.【详解】解：，故A的子集个数为，故答案为：1636．或或0【解析】【分析】先求得集合A，分情况讨论，满足题意；当时，，因为，故得到或，解出即可.【详解】解：已知集合，，当，满足；当时，，因为，故得到或，解得或；故答案为：或或0.37．或【解析】【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使，只需或，解得或．所以实数的取值范围或.故答案为：或38．①③⑥【解析】【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确；对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形}，故②不正确；对于③，由，解得，则{x|x2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确；对于⑥，，故⑥正确.故答案为：①③⑥.39．【解析】【分析】讨论和两种情况，根据包含关系得出实数的取值集合.【详解】当时，，满足；当时，，因为，所以或，解得或即实数的取值集合为.故答案为：40．【解析】【分析】根据集合相等求得值，然后计算．【详解】由题意，所以，即，所以，，时，与元素互异性矛盾，舍去，时，两个集合为．满足题意．所以．故答案为：．41．(1)BA(2)(3)【解析】【分析】（1）分析A，B集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D，即得解；（3）列举法表示集合E，即得解(1)由题意，任取，有，故且，故BA(2)由于{是的约数}故(3)由于故42．(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）由题得，解即得解；（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.(1)解：由题得.若是的子集，则，所以.(2)解：若是的子集，则.①若为空集，则，解得；②若为单元素集合，则，解得.将代入方程，得，即，符合要求；③若为双元素集合，，则.综上所述