新课标高中数学必修一知识点总结

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集合

(1)元素与集合的关系：属于Q)和不属于(«)

)__*(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性

集合与兀素，

°一'|(3)集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集

[(4)集合的表示方法：列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法

子集：若xeAnxwB,则Au8,即A是砸子集。

1、若集合A中有〃个元素，则集合4的子集有2,个，真子集有(2.-1)个。

一汴'2、任何一个集合是它本身的子集，即AuA

关系jB,且BqC,那么AuC.

|用子集。

集"I真子集：若A=B且Aw长即至少存在r£3但任A),则A是8的真子集。

00

I।僚合臀球册约瓢耀锦｝

集合与集合《I交集)

性质：AcA=d，An0=0fAnB=Br\A,Aq6=4cB=A

定乂：CV/XG

।并集

…IF性质：AuA=A,Au0=A,AuB=B<JA,AuBqA,AuB&B,AcB<=>AuB=/?

运算《Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card,AcB)

f定义：CA={x/xwUNtdA}二A

补集1性质《C'A)CA=0,(CA)UA=U,C(CA)=A,C(AcB)=(CA)5cB),

uuuuuuu

C(AuB)=(CA)c(CB)

Iuuu

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集注意：Aq8有两种可能(1)A是B的T盼，；(2)A与B是同一

集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作理且或上当.

2.“相等”关系:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都泉集合B的元素.

同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B,即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。即AA

②如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或如)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A5B

3.不含任何元素的集合叫做空集.记为更

规定：空集是任何集合的送空集是任何非空集合的真王室.

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合.叫做A.B的交

集.记作AnB(读作"A交B").即APB={xlxeA.且xWBl.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.叫做A,B

的并集。记作：AUB(读作"A并B")，即AUB={xlxGA,或xGB).

3、交集与并集的性质：AHA=&AD。=婷AHB=BAA,AUA=A-

AU,AUB=BUA.

4、全集与补集(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即八S),由S中所有

不属于A的元素组成的集合.叫做S中子集A的补集(或余集)记作：CA

S

即CA={xxS且xA)

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,

这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

(3)性质：⑴C(CA)=A(2)(0A)nA=O(3)(CA)UA=U

UU—uu一

映射定义：设A，3是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x,

镰偿8中p有唯一确定的元素），与之对应，那么就称对应人TB为从集合A到集合8的一个映射

传统定义：如果在某变化中有两个变量x,），，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,

定义按照某个对应关系人.，都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y=f｛x）.

近代定义「函数是从一个数集到另一个数集的映射。

JJ定义域

函数及其表示函数的三要素

I髓法则

J解析法

函数的表示方法列表法

【图象法

;单调性J传统定义：锯粒,同轲（尊僧开影附,帆即即送）上牌卜2穹［是辅麒曲上,川是

彳导致定义:在区间一月上,若/（x）＞0,则/（x）在［a%］上递增，:1是递增区间;如/（x）＜0

则/*）在上递减,。且是的递减区间。

函数＜［最大值：设函数产“X）的定义域为各僻在港臂鼐罂»沅

函数的基本性质j最值评小值：设函数，=｛）的定义域为6嘴赣案曜麟拈取用麟翻豺拼加粉修

［⑴/（-3）=-/（幻，胜定义域。，则/（X）叫做奇函数，其图象关于原点对称。

奇偶性｛（赧L收愫荚郭%//（X）叫做偶函数，其图象关于y轴对称。

周期性：在函数/V）的定义域上恒春〃x+T）=f（x）（7＞0的常数）则〃大）叫做周期函数,

了为周期;

丁的最小正值叫做/"）的最小正周期，简称周期

⑴描点连隼去：列表消购联名单位…=〃刖

平稔弯横向右平移4个单位：＞1=y湛1+a=xny=f（x-a）

向上平移。个单位：x-\=x,yi+b=y=＞y-b=f（x）

向下平移。个单位：刈=.%）】_昆上+户力f（x）

横坐标变换：把各点的横坐标“缩缸（当心1时）或伸长（当0＜卬＜1时）

伸缩变换［纵坐标变换：嬲来胸飒侧靛僦幽标礴力或婚矮仔0号氏行到（喉唳的A倍

函数图象的画法⑵变换法1（横坐标不变）匕即步=以46=->y，=/(v)

,町=2卬斛三2却-攵

F关于直线三.布对称：忡骑唱像）湍监。T）

对称变换!

w关于直线尸“）对称:=>2yo-j^/(x)

|关于直线『对称:严博建?T（y）=2v0-y

附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于

零;4指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y=tanX中

依+］■伏eZ）；余切函数＞=（^。1%中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式,

应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、

直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若/(x),g(M均为某区间上的增(减)函数，则/(x)+g(x)在这个区间上也为

增(减)函数

2、若/(x)为增(减)函数，贝h/(x)为减(增)函数

3、若/(X)与g(x)的单调性相同，则y=/[g(x)]是增函数；若/(x)与g(x)的单

调性不同，则y=/[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作

函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在X=o处有定义，则/(0)=0,如果一个函数y=/(x)既是

奇函数又是偶函数，则/(幻=0(反之不成立)

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数；之积(商)为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

4、两个函数y=/(")和〃=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那

么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数/W的定义域关于原点对称，则/(x)可以表示为

+,该式的特点是：右端为一个奇函数

f(x)=

22

和一个偶函数的和。

I零点：对于函数)，=/如)，我们把使/(*)=0的实数上叫做函数)，=fk)的零点。

J定理：如果函数y=/(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/"(a)•/(8)<(),

零点与根的关系那么，函数y=/(l)在区间［%句内有零点。即存在。e(%人)，使掰(c)=0,这个c也是方

程〃x)=O的根。(反之不成立)

关系：方程/1")=()有实数根o函数y=〃x)有零点o函数y=〃幻的图象与x轴有交点

,<0,给定精确度树

函数与方程⑴确定区间［。，们，验证f(a)f(b)

(2)求区间(a,b)的中点c；

函数的应用

(3)计算/'(c)：

二分法求方程的近似解①若了(c)=0,则c就是函数的零点:

②奇⑷./(c)<0,则令b=c(此时零点E(a,b)):

③利(。)fW<0,则令"i(此时零点为小㈤)；

(4)判断是否达到精确度a即若L-乐£,则得到零点的近似值a(或6)；否则重复2~4c

儿类不同的增长函数模型

函数模型及其应用用已知函数模型解决问题

、建立实际问题的函数模型

分根式数：9:."为根指数，。为被开方数严1,—…—

rs

指数的运算aa"+5(a>0,r,seQ)

rs

指数函数性质(J)，=a(«>0,r.5e(?)

(ah)r=arhs(a>0,b>0,reQ)

定义：一般地把函数>（a>0且0工1）叫做指数函数0

指数函数•

,性质：见表1

对数：J=l8

0aN."为底数，N为其数

基本初等函数loga(M•N)=logaM+logaN;

M_

财

对数的运算logoN=loga-logqN;

性质’

n

对数函数,logaM=nlogaM;(a>0,a*1,A/>0,N>0)

换底公式：logb=i"(a.c>0且a,c=1,b>0)

«loga

定义：•般地把函数），=log〃x（a>0且叫做对数函数

对数函数

性质：见表1

（定义：一般地，函数y=xSU做察函数，x是自变量，a是常数。

鬲函数

［性质：见表2

对数数函数

表4匕姐•？*她y=②（/?>o〃w1）

指数函数，/十人/y=log%(a〉0,aw1)

1a

定

义XERXG(0,-H»)

域

值yG(0,+OO)yeR

域

图

象

过定点(0,1)过定点(1,0)

减函数增函数减函数增函数

性%£（-8,0）时,ye（1,+a）Lre（-oo,O）07t,ye（0,1）%£（0。）时,ye（0,+oo）x£（0,1）时，ye（-00,0）

质X£（0,+CO）时,>£（0,1）x£（0,+oo）时，ye（1,+a）X£（1,+oo）时，yG（-oo,C）X£（1,+8）时，y£（0,+6）

a<ba>ba<ba>b

表2幕函数>=xa（aeR）

a=P_

a<00<a<1a>1a=1

q

P为奇数

q为奇数奇函数

p为奇数

q为偶数

p为偶数

q为奇数偶函数

第一象限

减函数增函数流点(0,1)

性质

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非岸的数集.如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中

的任意一个数X.在集合B中都直睢二确定的数f（x）和它对应，那么就称f：ATB为从集

合A到集合B的一个函数.记作：v=f（x）.xGA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫

做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|x€A｝叫做函

数的值域.

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组

的主要依据是：⑴分式的分母不等于零;⑵偶次方根的被开方数不小于零;（3）对数式

的直数必须大干零:（4）指数、对数式的底必须大干零目不等干1.（5）如果函数是由一些

基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的

集合.（6）指数为零底不可以等壬霎（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意

义.

2.构成函数的三要素：宗义域、对应关系和值域

再注意：（D由于值域是由定义域和对应关系决定的.所以，如果两个函数的定义

域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且

仅当它们的定义域和对应关系完全一致.而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函

数的判断方法：①表达式相圆②定义域两点必须同时具备）

3.区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区

间的数轴表示.

4.映射一般地，设A、B是两个非空的集合.如果按某一个确定的对应法则f,使对于

集合A中的任意一个亓.素x.在集合B中都有雎二确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A-B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A—B”

给定一个集合A到B的映射，如果aGA.bSB,且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b

叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是

确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应

关系一般是不同的；③对于映射f：ATB来说，则应满足：（I）集合A中的每一个元素.

在隼合B中都有象.并目象呈唯一的:（II）隼合A中不同的亓素.在集合B中对应的象可

以泉同T：（III）不尊求集合B中的每一个亓素在隼合A中都有原绘.

5.常用的函数表示法:解析法：图象法；列表法:

6.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

(2)分段函