人教版高中数学选修（2-1）-32《立体几何中的向量方法（第4课时）》教学设计

3.2立体几何中的向量方法

3.2.4利用向量知识求空间角

（名师：蒋力）

一、教学目标

（一）核心素养

通过这节课学习，掌握利用空间向量求空间角的方法.

（二）学习目标

1.利用直线方向向量求空间中的异面直线所成的角；

2.利用直线方向向量和平面的法向量求空间中的线面角；

3.利用平面的法向量求出二面角.

（三）学习重点

1.利用直线方向向量求空间中的异面直线所成的角

2.利用直线方向向量和平面的法向量求空间中的线面角

3.利用平面的法向量求出二面角

（四）学习难点

1.对向量法求空间角的理解.

2.对各种证明方法的熟练掌握.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）填空：

1.两条异面直线的夹角

（1）定义：设小匕是两条异面直线，在直线。上任取一点作直线"〃江则"与。的夹角叫做。

与匕的夹角.

（2）范围：两异面直线夹角。的取值范围是（0,匹］.

2

（3）向量求法：设直线a,Z?的方向向量为。和其夹角为8，则有cos®=|cos。|=

2.直线与平面的夹角

(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.

(2)范围：直线和平面夹角。的取值范围是[0,-].

2

⑶向量求法：设直线/的方向向量为3,平面的法向量为3,直线与平面所成的角为仇£与G

的夹角为(p,则有sin®=|cosol或cos6=sin(p.

3.二面角

(1)二面角的取值范围是小.

(2)二面角的向量求法：

①若AB、CO分别是二面角。一/―6的两个面内与棱/垂直的异面直线，则二面角的大小就是

向量霜与6的夹角(如图①).

③

②设外,々分别是二面角a—I~~P的两个面a,p的法向量，则向量〃与,〃2的夹角(或其补角)

的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③).

2.预习自测

1.已知两平面的法向量分别为加=(0,1,0),n=(0,l,l),则两平面所成的二面角为()

A.45°

B.135°

C.45。或135°

D.90。

答案：C

解析：【知识点】利用法向量求二面角

【解题过程】卜。s<皿〃>|=*1=电

点拨：利用向量的夹角公式求二面角的平面角，注意此时求出的是二面角的余弦值的绝对值.

2.若直线人，,2的方向向量分别为。=(2,4,-4)/=(-6,9,6)则()

A./1Z//2

B./i±/2

C.与，2相交但不垂直

D.以上均不正确

答案：B

解析：【知识点】利用法向量求二面角

nin

【解题过程】cos<m,n>

HU-

点拨：二面角为90。时即是两平面垂直

3.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。,则直线/与平面a所成的角等于（）

A.120°

B.60°

C.30°

D.以上均错

答案:C

解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角

【解题过程】利用向量法求直线和平面所成角的定义，如图所示

点拨：注意平面的法向量和直线的方向向量的方向，线面角只能是锐角.

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）两向量数量积的定义：ab=\a\\b\cos<a,b>

（2）两向量夹角公式：cos<a,/?>=-"

（3）平面的法向量：与平面垂直的向量

2.问题探究

探究一结合实例，认识空间角中的线线角和线面角★

•活顼归纳提炼概念

我们知道在直线和直线，直线和平面，平面和平面有两种位置关系——平行和相交，其中垂直

是相交的特殊情况，而对于一般的相交，我们用角来表示它们的位置关系.其包括：直线和直

线所成的角（线线角），直线和平面所成的角（线面角），平面和平面所成的角（二面角）.

知识点1：异面直线所成的角（范围：（9G（0,^1）

（1）定义：过空间任意一点。分别作异面直线〃与〃的平行线〃'与那么直线。'与人所

成的锐角或直角，叫做异面直线。与匕所成的角.

（2）用向量法求异面直线所成角

设两异面直线以人的方向向量分别为［和

问题1：当［与1的夹角不大于90。时，异面直线〃、人所成的角。与"和族的夹角的关系？

问题2：［与否的夹角大于90。时，，异面直线a、b所成的角。与3和各的夹角的关系？

结论：异面直线々、b所成的角的余弦值为cos。=|cos<>|=上包

⑷网

知识点2、直线与平面所成的角（范围：^e［0,y］）

（1）定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.

（2）思考：设平面a的法向量为则<七区4>与。的关系？

sin夕=|cos<%AB>||据图分析可得:结论：

知识点3：二面角（范围：夕£[0,加）

思考：对于一般的两个平面，它们两个的法向量的夹角和二面角有什么关系呢？请同学们讨论

并在下图中标出.

那么：如何利用向量求二面角呢？（可抢答）

可以分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面

角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

设平面a和/的法向量分别为々和巧，二面角a-/-6的平面角大小为。，则

1.当两法向量"，n2,一个指向二面角内，一个指向二面角外时，0=<nA,n2>.

2.当两法向量勺，n2,都指向二面角内或二面角外时，乃-<〃],%>

【设计意图】通过图形和定义，让学生了解用向量法解决空间角的相关公式.

探究二用向量法求异面直线所成的角

例1如图，正三棱柱ABC-AMG的底面边长为％侧棱长为血〃，求AG和C为所成的角.

解析：【知识点】利用方向向量求异面直线所成的角

【解题过程】

如图建立空间直角坐标系A-町2,

则4（0,0,0）,G；。，后），C（-苧4g〃，。），用（0,y/2a）

AC.=(-—a9-a,42a)fCB.=(—a,-a,42a)

2222

________%

即cos(记，函>=9.色=卫

IAGIICBJ3。-2

AG和c坊所成的角为9

点拨：1.写出异面直线的方向向量的坐标.

2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角.

【答案】

类题训练：长方体A5CO—AiaCiD中，AB=AA\=2,AD=\,E为CG的中点，则异面直线

BC\与AE所成角的余弦值为（）

迎我妪口啦

入1001010u-10

答案：B

解析：【知识点】利用方向向量求异面直线所成的角

解析：建立坐标系如图,

则41。0),£(0,2,1),3(120)，Ci(0,2,2).

配产(一1,0,2),助=(-1,2,1),

会立配「一而

cos〈BCi,AE)---------一

I配小油

所以异面直线BG与AE所成角的余弦值为骞.

点拨：1.写出异面直线的方向向量的坐标.

2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角.

【设计意图】通过实例，让学生学会利用向量法求异面直线所成的角.

•活动②利用向量求直线和平面所成的角

例2.如图，四棱锥S-A5C。中，AB//CD,BC1CD,侧面SA8为等边三角形,

AB=BC=2,CD=SD=l

(I)证明：SOJL平面SAB;

(II)求A8与平面S3C所成角的正弦.

【知识点】利用方向向量求直线与平面所成的角

【解题过程】

以C为坐标原点，射线CO为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—孙工

设。(1,0,0),则4(2,2,0)、B(0,2,0).

又设S(x,y,z)则x〉0,y>0,z>0

(I)AS=(x-2,y-2,z),55=(x,iy-2,z),DS=(x-l,y,z),

由网=网得

J(j―2)2+(y_2)"+Z2=J/2+(y―2)2+z2,

故x=1.

由网=1得V+z2=l

又由18s卜2得f+(y—2)2+z2=4

即V+Z?-4),+1=0,故y=g,z=^

IC

DS=(0,-,—),DS•AS=0,DSBS=0.

22

故OS_LAS,DS1BS,又ASBS=S

所以SD_L平面SAB.

(ID设平面SBC的法向量a=(肛几p),

贝|J〃15S,4_LC8,。8s=0MCB=U

又及小转

,CB=(O,2,O)

36n

用——〃H---p=O

故,22

2n=0

取p=2得a=(-73,0,2)又48=(-2,0,0).

8s(如"A.=叵

\/\AB\-\a\7

故AB与平面SBC所成的角的正弦值为且

7

点拨：直线与平面所成的角步骤：

1.求出平面的法向量

2.求出直线的方向向量

3.求以上两个向量的夹角，（锐角）其余角为所求角

【答案】（I）略；（II）—

7

【设计意图】通过实例，让学生学会利用向量法求直线和平面所成的角.

•活利③利用法向量求二面角

例3如图，菱形A3CO的对角线AC与3。交于点O,45=5,4。=6,点工产分别在4。8上,

AE=CF=-fEF交BD于点H.将ADEF沿E尸折到ADEr位置，OD'=M.

（I）证明：07/J•平面A8CD；

（II）求二面角的正弦值.

【知识点】利用方向向量求直线与平面所成的角

【解题过程】

SAFCF

解：（1）证明：VAE=CF=-,

4fADCD

：.EF//AC.

・・•四边形ABCD为菱形，AACLBD,

1.EFA.BD,:.EFA.DH,:.EF上D'H.

VAC=6,，A0=3；

又A8=5,AOLOB,・・・O8=4,

AJ7

:.OH=——0D=\,

AD

：.DH=D'H=3,

.•.|OD'|2=|OH|2+|D'H|2,

・•・D'HLOH.

又•：OHEF=H,

：.07/_1_面48。。,

(ID建立如图坐标系”-孙z.

8(5,0,0)、C(l,3,0)>£T(0,0,3卜A(1,-3,0)、A3=(4,3⑼、AZT=(-1,3,3)、AO=(0,6,0),

设〃=(x,y,z)为平面的法向量.

n47?=0j4.r+3y=0,e

由1得1/.八取z=5得〃二(3,-4,5).

n40=0广x+3y+3z=0,

同理可得面4ZTC的法向量〃2=(3,0,1),

.IItnn7-75

••COS<77Z,KI>—1j—r;~~r---------,

1I|叫25

..A_2后

••sin0=-------•

25

小结：求二面角步骤：

1.求出两平面的法向量

2.求出两个法向量所成的角

3.确定二面角的大小:法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等

于法向量夹角的补角.

【答案】(I)略；(II)名画

25

同类训练：如图，四棱锥S-A8co中，底面A8CO为矩形，5。_1底面45。。，AD=①,

DC=SD=2,点M在侧棱SC上，ZABM=60°

(I)证明：M在侧棱SC的中点

(II)求二面角S-AM-3的余弦值.

解：分别以OA、DC.DS为x、y.z轴如图建立空间直角坐标系Q一种,

则A(V2,0,0),72,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).

(I)设M(0,a4)3>0,b>0),则

BA=(0,-2,0),BM=(-V2,a-2,b),SM=(0,a,6-2),

SC=(0,2,-2),由题得

cos<BA,BM>=—

2,即

SM//SC

一2(〃-2)

-2&一2)2+1+2=;解这个方程组

-2a=2(b-2)一

得4=1力=1即M(O』,1)

所以是侧棱SC的中点.

(II)由(I)t>M(0,1,1),MA=(>/2,-1,-1),又AS=(-0,0,2),A8=(0,2,0),

设用=(%,如马),丐=(孙力，々)分别是平面SAM,MAB的法向量,则

〃iA，A=O口[4MA=O=0=0

AS=0[丐AB=0-VZXj+2z=0[2y2=0

分别令X=%=得Z[=%=1,%=0*2=2,即

勺二(0,1,1),〃2=(加，。，2),

・・COS<九],%>=F-

观察图形二面角S-AM-B的平面角为钝角，故所求二面角的余弦值为-亚

3

小结：求二面角步骤：

1.求出两平面的法向量

2.求出两个法向量所成的角

3.确定二面角的大小:法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量及角；同进同出，二面角等

于法向量夹角的补角.

【答案】(D略；(II)

3

【设计意图】通过实例，让学生学会利用向量法求二面角.

3.课堂总结

知识梳理

(1)过空间任意一点O分别作异面直线。与b的平行线/与那么直线屋与6'所成的锐角

或直角，叫做异面直线。与人所成的角.异面直线所成的角：cos6=|cos<〃,b>|

(2)直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.直线和平面所成的角：

sin0=|cos<AB,n>|

（3）平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发

的两个半平面所组成的图形，叫做二面角.

二面第：COS0=COS<«|,n2>或850=一COS<〃|,〃2〉

重难点归纳

（1）异面直线所成的角和直线和平面所成的角的范围;

（2）二面角的范围;

（3）两平面的法向量所成的角不一定是二面角的平面角，还要判断方向，法向量的方向：一

进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.

（三）课后作业

基础型自主突破

1.在棱长为1的正方体48co—4山iCi*中，M,N分别为4B”的中点，那么直线AM

与CN所成角的余弦值为（）

A近

R迎

B-10

3

-

5

C

2

-

5

D.

咨

案D

解析：【知识点】利用向量法求异面直线所成的角.

【解题过程】

解析：以。点为坐标原点，分别以04,DC,。功所在直线为X轴，y轴，Z轴建立如图所示

的空间直角坐标系，

则4(1,0,0),M(l,*1),C(0,l,0),N(l」,1).

所以磁=(0,I，1),C^=(l,0,1).

故丽西=0x14-1x0+1x1=-,

1

晶052

所以cos（历区CAO

|砌画事乎5’

点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角

2.如图，三棱锥A-5CZ）的棱长全相等，E为4。的中点，则直线CE与BO所成角的余弦值

A*

B5

D.2

。6

D.j

答案：A

解析：【知识点】利用向量法求异面直线所成的角.

【解题过程工

解析：设AB=1,

则徐初=（屈一祀）.（劝-劝）

劝—祝Aft+配1.初

=3一呼0$60°-cos600+cos600=；.

"C°S（琵防=器=关邛选'

2

点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角.

3.已知正三棱柱ABC-ABG的侧棱长与底面边长相等，则与侧面ACG4所成角的正

弦值等于（）

R迎

B.4

c或

L.2

D坐

答案：A

解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角.

【解题过程】

解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2,0（0,0。）、Bg0,0）、A（0,

-1,0）、8（小,0,2）,则融=（#』,2）,则尻）=（一小,0,0）为侧面4CG4的法向量，由

.Al-i劭|.

sin0------------=A.

|矶囱I4

点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出直线和平面的角.

4.如图，在正方体ABC。一AIBCDI中，七为CG的中点，则直线OE与平面43G的夹角

的正弦值为.

答案:华

解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角.

【解题过程】

解析：设正方体的棱长为2,直线OE与平面的夹角为外建立如图所示的坐标系，则

。(0,0,0)、风0,2,1)、3(222),

・・・加」平面4BC】,连结DBi,・••加尸(2,2,2)是平面45cl的法向量，・・•庇=(021),・・・sin

a=C°S</fM，侬t\=山+44++24.小+y/•13

点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出直线和平面所成的

角.

5.过正方形ABCO的顶点A作线段％_L平面ABC。，若A8=B4,则平面"P与平面COP

所成的二面角为.

答案：45°

解析：【知识点】利用向量法求二面药.

【解题过程】

建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=%=1,知A(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),C(l,l,0),

P(O,Q1)由题意得，AO_L平面ABP,

设E为尸。的中点，

连结AE,贝！|AE_LPO,

又・.・8_L平面%O,：.AE±CDf

XPDC\CD=Df・・・4E_L平面CDP.

・•・助=(0,1,0)和戏=(0,y；)分别是平面ABP和平面CQP的法向量，而〈劝，戏〉=45。,

・•・平面ABP与平面CDP所成的二面角为45。.

点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角.

6.已知点E,尸分别在正方体ABC。一的棱SB,CCi±,且8£=2E8,CF=2FC\,

则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于.

答案:乎

解析：【知识点】利用向量法求二面角.

【解题过程工

延长尸E,C3相交于点G,连结AG,

DiC,

设正方体的棱长为3,则G8=8C=3,作BH_LAG于点”，连结EH,则为所求二面角

的平面角.

•：BH=*,£8=1,

殁=应

：.lanZEHB=~BH~3,

点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角.

能力型师生共研

7、如图，四棱锥P—A8CO中，必_L底面A8CO,ADBC,AB=AD=AC=3fPA=BC=4t

M为线段AO上一点，AM=2MD,N为PC的中点.

(I)证明MN平面PAB；

(II)求直线AN与平面尸MN所成角的正弦值.

答案：(I)见解析；(H)嚏

解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角.

【解题过程工

2

(I)由已知得AM=1AO=2

取3P的中点T,连接AT,TN,由加为PC中点知77V〃BC

TN=^BC=2

又AD"BC,故77V幺AM,四边形AMNT为平行四边形，于是

,.・47t平面B48,"ND平面以8,.1MN〃平面也8

(II)取8c的中点E,连接AE,由AB=AC得AE_L8C,从而AELLAO,且

以A为坐标原点，施的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A一.由题意

知：P(0,0,4),M(0,2,0),C(、G,2,0),N(坐，1，2)

战=(0,2,-4),由=(坐，1,-2),俞=(半，1,2)

*2y-4z=0

设百=(■y,z)为平面的法向量，贝"〃0”二°即.八

nPN=02x+y-2z=0

可取"=(0,2,1)

所以|cos<",宿=区吧=需

KlIAM心

点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出直线和平面所成的

角.

8如图,三棱柱ABC—AiBCi中,侧面三。为菱形,AB±BiC.

(2)若AC_LA8i,ZCBBi=60°,AB=BC,求二面角A—43一G的余弦值.

答案：见解析

解析：【知识点】利用向量法求二面角.

【解题过程】

(1)证明：连接BG,交BC于点。，连接A0.

因为侧面BBiGC为菱形，

所以BCJ_5Ci,且。为BC及8cl的中点.

又48_LBCABnBO=B,所以BiCJ_平面ABO.

由于AOu平面4B。，故BiC_LAO.

又8。=。。，故AC=4B.

(2)解；因为人C_LABi,

且。为的中点，

所以AO=CO.又因为A8=8C,

所以A80A空△BOC,

故。A_L08,从而。A,OB,08i两两互相垂直.

以。为坐标原点，仍、闻I、谈的方向为工轴、y轴、z轴的正方向，|仍|为单位长，建立如

图所示的空间直角坐标系。一xyz.

因为/CB8=60。，所以△CBB为等边三角形.

又AB=BC,OC=OA,则A（0,0,坐）、3（1,0,0）、Bi（0,喙,0）、C（0,一坐,0）^ASi=（0,坐,

-坐）、/47&1=初=（1,0,一孝）、=B^=（-1,-乎,0）.

设〃二(x,y,z)为平面的法向量.

.}V36n

[nAB=0

由《1得I3取工=1得〃=（1,6,6）.

nA[B[=0i-j

设加二(x,y,z)为平面A]B£的法向量.

nB.C.=0

由《得加二(1,-百,6).

nA}B}=0

则

所以二面角A—A出一G的余弦值为;.

点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角.

探究型多维突破

9、在如图所示的圆台中，AC是下底面圆。的直径，E尸是上底面圆0,的直径，是圆台

的一条母线.

(I)已知G、”分别为EC,/B的口点，求证：G"〃平面ABC；

(II)BftlEF=FB=-AC=2^j3A5=8C.求二面角/一8C—A的余弦值.

2，9

【知识点】利用向量法求二面角.

【解题过程】

(1)连结尸。，取尸。的中点M,连结

因为GM//E/"E/在上底面内，GM不在上底面内,

所以GM//上底面，所以GM//平面48C：

又因为MH//BC,BCu平面ABC,

MHZ平面ABC,

所以M"//平面ABC；

所以平面GHM//平面ABC,

由GHu平面GHM,所以Ga//平面ABC.

(II)连结OB,AB=BC0A1OB

以为。原点，分别以。4,08,00为苍y,z轴，

♦;EF=FB=LAC=2®AB=BC,

2

00'=^BF1-(BO-FO)1=3,

于是有A(2jJ,0,0),C(-2^,0,0),B(0,26,0),F(0,6,3),

可得平面FBC中的向量=(0,-6,3),CB=(273,20,0),

于是得平面FBC的一个法向量为X=(-6,6,1),

又平面ABC的一个法向量为4=(0,0,1),

设二面角产—8C-A为0,

1_V7

则cose=g二V7=T

H-H

二面用〜火-4的余弦值为?

点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角.

10、如图，四棱柱ABCD-A山Cl"中，侧棱4A_L底面ABC。，AB//DC.ABA.AD,AD=

CD=ltAAi=AB=2fE为棱AAi的中点.

(1)证明：BiCilCE；

(2)求二面角B\-CE-C\的正弦值；

⑶设点M在线段CiE上，且直线AM与平面4OA4所成角的正弦值为坐，求线段AM的长.

【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角.

【解题过程】

⑴证明：如图，以点A为原点，分别以A。、441、AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间

直角坐标系，

依题意得4(000)、5(0,0,2)、C(l,0,l)>3(022)、Ci(l,2,l)>E(0,1,0).

易得而ti=(L0,-l),Cfe=(-l,l,-l),于是历乙•仍=0,所以8iG_LCE

⑵解：历t=（l,-2,-1）.

设〃二（x,y,z）为平面BQ的法向量.

,[nB,C=0x-2y-2=0,^/口/、

由1得1取z=1得〃=（一3,-2,1）.

nCE=0+z=0,

由（1）知，BiCi±CE,又CCi-LBiG,可得知Ci_L平面CECi,故枇i=（l,0,一1）为平面CECi

的一个法向量.

B£n

于是cos<B£>=MM

-4_277

从而sin<〃,8£

~y[^xy[2~~>=7'

所以二面角Bi-CF-Ci的正弦值为亨.

（3）解：（0,1,0）,或i=（l/,1）,设加=/1或i=（九2,2）,0<2<1,

有硒=硅十的=a，2+1,A）.

可取油=（0,0,2）为平面ADDiAi的一个法向量.

设夕为直线4M与平面ADDiA所成的角，则

sin0=|cos（A/tf,AS>|二•独

|硒油

_2

73万+27+]

工旦2也初，旦）1/a/古仝土、

于是住+224=6'解得个（负值舍去），

所以AM=&.

点拨：直线与平面所成的角步骤：

1.求出平面的法向量

2.求出直线的方向向量

3.求以上两个向量的夹角，（锐角）其余角为所求角

答案：（1）略；（2）卑；（3）0.

自助餐

1.在正方体A8CD—A山ICIDI中，M是AB的中点，则sin〈9i,C府）的值等于（)

1

A，2

B.

15

C.亭

D.丹

答案：B

解析：【知识点】利用向量法求异面直线所成的角.

【解题过程工

以。为原点，。4、DC.OOi分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为1,易知尻i=（1,1,1）,C^=

2

故cos＜端谬=礴面=隼

IZ5B1HCWI,

从而sinv加"落=嗯^

点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角.

2.长方体43cz）—AIBGOI中，AB=AAi=2fAD=\fE为CG的中点，则异面直线BCi与

AE所成角的余弦值为（）

A迎

-10

R典

B-10

10

D啦

u-10

【知识点】利用向量法求异面直线所成的角.

【解题过程】

建立空间直角坐标系如图.

则A(l,0,0),E(0,2,l),

B(1,2.0),Ci(0,2,2).

配i=(-l,0,2),1,2,1),

cos〈箭,加〉=配=镖

阿iH硝，U

所以异面直线BG与AE所成角的余弦值为嚅.

点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角

答案：B

3.P是二面角£棱上的一点，分别在a、£平面上引射线PM、PN,如果N8PM=N

BPN=45。,/MPN=6。。,那么二面角a—AB—6的大小为（）

A.60°

B.70°

C.80。

D.90。

答案：D

解析：【知识点】利用向量法求二面角.

【解题过程】

不妨设PN=b,作ME_LA5于E,NFLABTF,

如图：

M

AB

♦：/EPM=/FPN=45。,

・••就•前=（丽一陶•（所一师）

=两•一曲办一曲尿+成用

=abcos60。一必尊?cos45。-乎〃Z?cos45°

ababab.ab八

=爹—1■一2+L

・・・就_1两，.••二面角a—AB—p的大小为90°.

点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角.

4.已知正四棱锥P—ABCQ的棱长都相等，侧棱尸B、尸。的中点分别为M、N,则截面AMN

与底面48CQ所成的二面角的余弦值是.

答案:平

解析：【知识点】利用向量法求二面免.

【解题过程】

如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为啦,

贝|「尸8=啦，OB=1,0P=\.

・・・B(1,0,0)、。(一1,0,0)、

A(0,l,0)、P(0,0,l)、

吗0,；)、N(—；,0,；)、

磁=§,-15，

硒=(-a-6)，

设〃=(x,y,z)为平面AMN的法向量.

1

-

AM-vA2

得

由

-取

NI・X-Z

A-1X

〃1

---a

1一y

12

平面ABCD的法向量加=(0,0,1),

mn2y/5

则cos<tnyn>=i—n_r=----

网〃I5

点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角.

5.如图，已知正三棱柱ABC—的所有棱长都相等，D是4G的中点，则直线4Q与平

面BQC所成角的正弦值为.

解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角.

【解题过程】

不妨设正三棱柱ABC—A\B\C\的棱K为2,建立如图所示的空间直角坐标系,

则CQ0Q),4由一1,0),用(小」⑵,

则就=

CS1=(V3,1,2),

设〃二(x,y,z)为平面BiDC的法向量.

nCD=0/r-\

由，

nCB,=0