江苏专用2020高考数学二轮复习七随机变量空间向量教学案理

专题七随机变量、空间向量

［江苏卷5年考情分析］

这两部分内容的教学课时较多，是高考的重点，近几年通常交替式考查，对于空间向量

的考查，以容易建立空间直角坐标系，计算空间角为主（2015年、2017年、2018年），难度

一般；概率题重点考查离散型随机变量及其分布列、均值与方差、n次独立重复试验的模型

及二项分布等，难度中等偏难（2017年T23、2019年T23）.既考查数学运算、逻辑推理，又

考查数学建模、数据分析等数学核心素养.

第一讲I随机变量与分布列

题型（一）

离散型随机变量的分布列及其期望

主要考查特殊事件的概率求解以及分布列与期望的求解.

［典例感悟］

［例1］（2019•南通等七市一模）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正

整数，如22,121,3553等.显然两位“回文数”共9个：11,22,33,99,现从9

个不同两位“回文数”中任取1个乘以4,其结果记为龙从9个不同两位“回文数”中任取

2个相加，其结果记为K

（1）求才为“回文数”的概率；

（2）设随机变量f表示％F两数中“回文数”的个数，求f的概率分布和数学期望

£（f）.

［解］（1）记"X是‘回文数’”为事件49个不同两位“回文数”乘以4的值依次为

44,88,132,176,220,264,308,352,396,其中“回文数”有44,88.

2

所以事件/的概率为不

（2）由题意知，随机变量f的所有可能取值为0,1,2.

9

由（1）得?（心=a

设“y是‘回文数'”为事件氏则事件4s相互独立.

根据已知条件得，户（③=错误！=错误!.

户（§=0）=户（力）-⑶=（i—

52(5、43

XX1-

HQy+Qy\yyQ=o^iT-

/=、/、/、2510

尸(J=2)=尸(冷P⑵=3X-=—

yyoi

所以随机变量f的分布列为

012

284310

P

818181

…/u、28_43,107

所以E(f)=0X—+1X—+2X—=-

olololz)

［方法技巧］

求离散型随机变量分布列及期望的关键和步骤

由于离散型随机变量的数学期望是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题

的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所

以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率.具体步骤如下:

明确随机变量的意义及其所有可能的取值阳

I定值I_

,1根据事件的种类求随机变量的概率P(X='),

直飞—

XXia?,,,

写出分布列------------(这里可用分布列性

P|力11

例表|一

质：04e41及01+22+…+0n=1检验是

否出错)

医画一片福施目羹录讦竟薮学血盲菽不一…

［演练冲关］

(2018•扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》

和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知48两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任

意选听一场.若2组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；6组2人

选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.

(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概

率;

⑵若从46两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数,

求才的分布列和数学期望£（少.

解：（1）设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件必则户（%=错误!

9191

=而，故选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为而.

⑵一可能的取值为0,1,2,3,

户（才=0）=错误！=错误！,

?（乃=1）=错误!=错误！,

户（才=2）=错误！=错误！,

产（乃=3）=错误!=错误!,

所以才的分布列为:

才0123

91231

P

50251025

所以X的数学期望£O）=0X*1X||+2XV+3XM|.

题型（二）〃次独立重复试验的模型及二项分布

主要考查对〃次独立重复试验的模型的识别以及二项分布模型公式的应用.

［典例感悟］

［例2］（2019•南京盐城二模）如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A

到出口B,每遇到一个岔路口，每位游客选择任何一条道路行进是

等可能的.现有甲、乙、丙、丁4名游客结伴到旅游景区游玩，他

们从进口力的岔路口开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行

走，最后到出口6集合，设点。是其中的一个岔路口.

⑴求甲经过点C的概率；

（2）设这4名游客中恰有才名游客经过点C,求随机变量才的分布列和数学期望.

［解］（1）设“甲经过点C”为事件M,

从进口/出发时，甲选中间的路的概率为《再从岔路到达点。的概率为今

所以选择从中间一条路走到点C的概率

326

同理，选择从最右边的路走到点。的概率废泰退

所以P(岭=/l+^=g+-=-

故甲经过点。的概率为！

0

(2)随机变量才的所有可能取值为0,1,2,3,4,

则y=0)=以义戌><(|)4=算

夕(犬=1)=己*81电3=||,

pa=2)=dx[jjx®8

27,

/(»=3)=C汉&X(|)/,

Wx=4)=c：x&)x0=白

所以才的分布列为

才01234

1632881

P

8181278181

①、“，、口,16,32,8,8,14

数学期++r望£0)x=ox—+ix—+2X—+3X—+4X—

ololZIololo

［方法技巧］

二项分布的分布列及期望问题求解三步骤

第一步先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：即一次试验中只

判断有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试

二项验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成

分布功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布

第二步若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计

求概率算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少

第三步根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望

求期望公式求期望即可

［演练冲关］

(2018•苏北四市三调)将4本不同的书随机放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中.

(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；

(2)设随机变量才表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望双少.

解：(1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中，共有4"=256种不同放

法.

记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件4

则事件A共包含A：=24个基本事件，

3

所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为正.

(2)法一：才的所有可能取值为0,1,2,3,4,

O401

户(才=0)=下=而，9(才=1)=错误!=错误!，

?(乃=2)=错误!=错误!，­(才=3)=错误！=错误!,

户(才=4)=错误!=错误!.

所以X的分布列为

01234

81272731

P

2566412864256

012797O1

所以X的数学期望为£(»=0X悬+1X含+2X粽+3X总+4X念=1.

2566412864256

1―1Q

法二：每本书放入2号抽屉的概率为2(8)=1，？(6)=1—彳=］.

根据题意，，

所以P(X=4)=d(J|•(1),k=0,1,2,3,4,

所以X的分布列为

01234

81272731

P

2566412864256

所以才的数学期望为£(»=44=1.

题型(三)

概率与其他知识的综合

主要考查与概率或期望有关的综合问题或在复杂背景下的概率与期望的综合问题.

［典例感悟］

［例3］(2018•南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2〃(〃GN*)局.根据以往比

赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为如果某人获胜的局数多于另一人，

则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为尸(〃).

⑴求尸⑵与尸(3)的值；

(2)试比较P{n)与尸(〃+1)的大小，并证明你的结论.

［解］(D若甲、乙比赛4局甲赢，则甲在4局比赛中至少胜3局，

1+c：|1

所以/⑵=窃1=W

同理A3)=c(1)6+c(1)6+c(|y=||.

⑵在2〃局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为〃+1局,

故=喷®〃+唠1岁^——FC咱2〃

=错误！•错误!错误！

=/t误！•错误!错误！

误！•错误!错误！

=箫误!，

所以尸(〃+1)=2错误!.

又错误!=错误！=错误！

=4…)z=2(〃+1)

(2/7+2)(2/?+1)2/7+1

所以错误！〉错误！，所以25)〈户5+1).

［方法技巧］

二项分布与二项式定理的交汇问题，其求解的一般思路是先利用二项分布求其户(〃)和

户(〃+1),然后利用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法、

立体几何等知识交汇命题.

［演练冲关］

1.(2019•江苏高考)在平面直角坐标系x0中，设点集4={(0,0),(1,0),(2,0),…，

5,0)},属={(0,1),(A,1)},&={(0,2),(1,2),(2,2),5,2)},〃GN*.令

凰=4U与UQ.从集合四中任取两个不同的点，用随机变量才表示它们之间的距离.

(1)当〃=1时，求X的概率分布；

(2)对给定的正整数n(n^3),求概率?(朕〃)(用〃表示).

解：(1)当〃=1时，才的所有可能取值是1,\［2,2,乖.

才的概率分布为尸(乃=1)=错误！=错误！，?(才=错误!)=错误！=错误！，

户(才=2)=错误！=错误！，?(X=错误!)=错误！=错误!.

(2)设/(a,⑹和8(c,4是从四中取出的两个点.

因为尸(收切=1—尸(冷〃)，所以仅需考虑X>n的情况.

①若b=d,则ABWn,不存在X>n的取法；

②若6=0,d=\,则48=yj(a~c)

所以所〃当且仅当力6=yjf+i,此时a=0,c=〃或a=〃，c—0,有2种取法；

③若6=0,d=2,则AB=yJ(a~c)2+4^-^7?2+4.因为当时，yj"-1)

所以X>n当且仅当4?=、端+4,此时a=0,c=〃或a=〃，c—0,有2种取法；

④若6=1,d=2,则AS=q(a—c)z+lWy^+l,所以④〃当且仅当/8=yjn?+1,

此时a=0,c=n或a=n,c—0,有2种取法.

综上，当冷〃时，■的所有可能取值是和/〃?+4,且?(才=)>+1)=错误!,P{X

=,+4)=错误!.

因此，一(辰7?)=1——4万+1)—P(X=、I寸+4)=1一错误!.

2.(2017•江苏高考)已知一个口袋中有0个白球，〃个黑球(以，〃CN*,〃N2),这些球

除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,…，

川十〃的抽屉内，其中第4次取出的球放入编号为孑的抽屉(4=1,2,3,—,m+ri).

123•••m-\~n

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率口

（2）随机变量才表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，£（用是才的数学期望，证

明：£小―、（-7^.

（加十A）（〃-1）

解：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率。为:

0=错误！=错误!.

（2）证明：随机变量X的概率分布为：

工11・・・…1

n刀+1刀+2m-\~n

P错误！错误！错误！・・・错误！.・・错误！

随机变量X的期望为：

£（少=£m~\~n,k=n7,错误！

K

=错误！Ym+n,k=n错误！•错误!.

所以£（与〈错误！£m+n,k=n错误！

=错误！k=n错误！

=错误！（1+C错误!+C错误!+…+C错误!）

=错误！（C错误！+C错误！+C错误！+…+C错误!）

=错误！（C错误！+C错误!+…+C错误!）

=♦••=错误！（C错误!+C错误!）

=错误!=错误！，

即用心《（d―7V.

<m+n）（72—1）

［课时达标训练］

A组一一大题保分练

1.（2018•南京学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色

的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球.

（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；

（2）在⑴的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量％求随机变量X的概率分布

与数学期望.

解：（1）两个球颜色不同的情况共有CMd=96（种）.

（2）随机变量才所有可能的值为0,1,2,3.

?（乃=0）=错误!=错误！，

户（才=1）=错误！=错误！，

产（乃=2）=错误!=错误!，

户（才=3）=错误！=错误!.

所以随机变量才的概率分布列为

0123

1311

P

4848

所以£（刀=0X^+1x|+2X^-+3X-=^.

4o4o4

2.（2019•苏锡常镇一模）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这

批产品的不合格率为0.05,随机变量才表示这10件产品中的不合格产品的件数.

（1）问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率一（才=2）”和“恰好有3件不合格的

概率一（乃=3）”哪个大？

请说明理由；

（2）求随机变量才的数学期望E8.

解：：批量较大，.•.可以认为随机变量入庾10,0.05）.

（1）恰好有2件不合格的概率P（乃=2）=C?oXO.052X0.958,

恰好有3件不合格的概率?（才=3）=C?oXO.053X0.957,

p（）

—=错误！=错误！>1,

1\A-o）

•1.P（J=2）>?（才=3）,即恰好有2件不合格的概率大.

（2）令0=0.05,P{X—1<）—Pk—Cwpp）10-\k=0,1,2,•••,10.

随机变量才的概率分布为

才012•・・10

PcW(l-p)10ciopCi—p)9dop2(i-p)8.・・c；y°(i-p)0

故£（少=£10,k=0kpt=10X0.05=0.5.

3.（2019•南通、泰州等七市三模）现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视

频学习两类，且这两类学习互不影响.已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，

每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分.经过抽样统计发现，文章

学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示.

表1

文章学习积分12345

11111

概率

99962

表2

视频学习积分246

111

概率

632

(1)现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；

(2)现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为八求f的概率分布及

数学期望.

解：(1)由题意知，获得的积分不低于9分的情形有：

文章学习积分3455

视频学习积分6646

因为两类学习互不影响，

所以概率P=|x|+|x|+|x|+|x|=|,

V乙O乙乙0乙乙》

所以每人每日学习积分不低于9分的概率为石.

(2)随机变量2的所有可能取值为0,1,2,3.

5

由(1)知每人每日学习积分不低于9分的概率为小则

,、⑶3

户(f=0)=㈤=砺64；

,、i5m280

P(f=i)=c3x-xM=丽

户(.f=2).”2X同乂54=丽100

心=3)0125

729,

所以随机变量s的概率分布为

0123

6480100125

p

729243243729

64,80,100,1255

所以E(f)=0义72911243S243IS729—3・

5

所以随机变量，的数学期望为

4.已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为〈，某实验小组对该种植物的种子进行发芽

0

试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独

立)，用f表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值.

(1)求随机变量f的概率分布和数学期望；

(2)求不等式f/-fx+l〉O的解集为R的概率.

解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,L2,3,4,对应的未发芽的

种子数为4,3,2,1,0,

所以f的所有可能取值为0,2,4,

P(『)=C：X。*(|)/，

40

81，

心=4)=C：x/义(|)+C；x/X®=|j.

所以随机变量f的概率分布为

024

84017

p

278181

皿.并「、口/、8,40,17148

数学期望E(f)=0X—+2X—+4X—=—

ZIololol

（2）由⑴知f的所有可能取值为0,2,4,

当4=0时，代入ff—4x+l〉0,得1〉0,对xGR恒成立，即解集为R；

当4=2时，代入f/一fx+l〉0,得21—21+1>0,

即2（x—32+；〉0,对xCR恒成立，即解集为R；

当4=4时，代入fV—fx+l〉0,得4f—4x+l>0,其解集为xwg,不满足题意.

64

所以不等式f/-fx+l>0的解集为R的概率々尸（f=0）+P（f=2）=—

ol

B组一一大题增分练

1.（2018•镇江期末）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是:

该学生各学科等级成绩彼此独立.规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级

加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分.记去表示该生的加分数,

友表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值.

（1）求X的数学期望；

（2）求友的分布列.

解：（1）记该学生有，门学科获得A等级为事件4,7=0,1,2,3,4.

X的可能取值为0,1,2,3,5.

贝—状厂

8]27273]

BPP(Ao)=—,P(A)=—,=—，0⑷=@=—,则％的分布列为

X01235

81272731

P

2566412864256

…、81,27,27.3,1257

所以£(X)=0X—+1X—+2X—+3X—+5X—.

2566412864256256

⑵”的可能取值为0,2,4,则

27

产(%=0)=尸(4)=[°。；

IZo

/\/、।/、27।315

P(%=2)=尸(4)+夕(4)=^r+z7=有；

尸(九=4)=9(4)+尸(4)

256256128,

所以％的分布列为

九024

271541

P

12832128

2.(2018•全国卷I)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户

之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取

20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的

概率都为p(oqxi),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点A.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的勿作为p的值.已

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付

25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为无求窗

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检

验？

解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为

218

f(°)=ci0p,(i—p),

所以/(p)=C^o[2p(1—p)18—18p(1—p)17]

=2C2oP(l-p)17(l-lOp).

令/(jD)=O,得0=0.1.

当0e(0,0.1)时，f'(p)〉o；

当0d(O.1,1)时，f(p)<0.

所以f(p)的最大值点为R=0.1.

⑵由⑴知，0=0.1.

①令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知h6(180,0.1),T=20X2

+25匕即才=40+25K所以£T=£(40+25D=40+25£F=490.

②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.由于以＞400,故

应该对余下的产品作检验.

3.如图，设巴，Pz,…,&为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，

现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量

s.

⑴求s=T-的概率;

(2)求S的分布列及数学期望£(S.

解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有霖种不同选法，其中S=勺的

为有一个角是30°的直角三角形(如共6X2=12种,

(5=当=错误!=错误!.

所以

(2)S的所有可能取值为乎，*，平.S=乎的为顶角是120°的等腰三角形(如

△P\P的,共6种，

所以(?=书=错误！=错误!.

S=乎的为等边三角形(如△RRR),共2种,

所以(s=¥)=错误!=错误!.

又由⑴知《S=S=错误！=错误！，

故S的分布列为

3m

S亚亚

424

331

P

105To

…m3,m3,3J319m

X=

所以=4X—+2X5+41020-

4.(2019•全国卷I)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有

效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两

只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试

验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只

数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以

乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠

未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种

药的治愈率分别记为a和£,一轮试验中甲药的得分记为X

(1)求才的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(i=0,1,…，8)表示“甲药的累计得分

为了时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则口=0,6=1,p产api+bpi+cp叶Ki=l,

2,7),其中a=RN=—l),6=户(才=0),c=P(T=D.假设。=0.5,£=0.8.

①证明：山+L加(Z=0,1,2,…，7)为等比数列；

②求"，并根据R的值解释这种试验方案的合理性.

解：(1)X的所有可能取值为一1,0,1.

P(T=-1)=(1-a)J3,尸(乃=0)=a£+(l—a)(1—£),

户(才=1)=a(1—B).

所以X的分布列为

才-101

P(1-a)£a£+(l—a)(1—£)a(1一£)

(2)①证明：由(1)得a=0.4,6=0.5,c=0.1,

因此pt-0.4RT+0.5A+0.1JD/+I,

故0.13+I—R)=0.4(pj—pi-i),

即Pi+i—pi—4(.pi—pi-i).

又因为R—M=RW0,所以｛R+I—pj(/=0,1,2,…，7)是公比为4,首项为n的等

比数列.

②由①可得

Ps-ps—pt+pi—p6-\---[-Pl-Po+Po

,、，，、，,、48—1

=(PS—R)+(。一小)H----1-(pi-P>)=-3-Pi

3

由于力=1,故n=F]，

所以P&=(°LR)+(R—R)+(P2~pi)+(Pl-po)

44-l__1_

=3.=丽，

m表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药

治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为"=三七0.0039,此时得出错误结论的概率非

乙。I

常小，说明这种试验方案合理.

第二讲I运用空间向量求角

题型(一)运用空间向量求两直线所成的角

主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角.

［典例感悟］

［例1］(2019•南京盐城一模)如图，四棱锥P485中，底面5是矩P

形，乃1，平面画/,AD=1,阳=四=镜，点£是棱阳的中点./3

(1)求异面直线EC与物所成角的余弦值;

(2)求二面角3£32的余弦值.

［解］⑴因为为，底面倒切,且底面切为矩形，所以阳AD,

力户两两垂直，

以/为原点，AB,AD,/尸所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示

的空间直角坐标系,乍C

又PA=AB=®皿=1,

所以庾嫄，0,0),C(小,1,0),2)(0,1,0),尸(0,0,P，

因为£是棱阳的中点，所以

PD=0,1,

所以cos(EC,PD)__亚

|+l+|x^/l+2

所以异面直线EC与如所成角的余弦值为挛.

(2)由(1)得言=停,

~BC=(Q,1,0),~DC=(.y[2,0,

设平面庞T的法向量为m=(矛1,yi,zi),

则错误!所以错误！

得%=0,令矛1=1,则勿=1,

所以平面皈的一个法向量为m=(l,0,1).

设平面〃比的法向量为m=(x2,.Z2).

则错误!所以错误！

得X2=0,令Z2=，5,则乃=1,

所以平面庞。的一个法向量为112=(0,1,

而|、|/\/卡

所以cos(ni,n2=\,—I,

2Vl+lX^/1+23

由图可知二面角层舐，为钝二面角，

所以二面角9舐〃的余弦值为一竽.

［方法技巧］

1.两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a"的方向向量分别为a,b,其夹角为。，则cosO=|cos.=；口：

(其中。为异面直线a,6所成)

、的角0e［o,yj,

2.用向量法求异面直线所成角的四步骤

(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

［演练冲关］

(2019•苏北三市一模)如图，在三棱锥2/6C中,为_L平面464/08

=90°,且/C=49=l,AB=2,£为劭的中点.

(1)求异面直线力£与6c所成角的余弦值；

(2)求二面角小上8的余弦值.

解：因为的，平面A6G/窈8=90°,所以可以以力为坐标原点，建口卜

立如图所示的空间直角坐标系4盯z.罗

因为47=加=1,AB=2,x

所以4(0,0,0),C(l,0,0),8(0,2,0),0(0,0,1).

因为点£为线段劭的中点，所以(),1,0

(1)定=(0,1,/=(1,-2,0).

所以cos<AE,BC)=错误！=错误！=—错误！，

4

所以异面直线AE与理所成角的余弦值为

5

⑵设平面ZCF的法向量为m=(xi,%,%),

因为ZC=(1,0,0),/£=(o,L

—*•—►1

所以m・AC=0,ni•AE=0,即荀=0且％+]Zi=0,

取％=1,得zi=-2,

所以ni=(0,1,—2)是平面42的一个法向量.

设平面小的法向量为112=(如及，z2),

因为左=(1,-2,0),茄=(0,-1,g),

所以ri2・BC=0,n2,BE=0,

即用一2再=0且一度+g@=0,取72=1,

=

得X22fZ2=2,

所以m=(2,1,2)是平面题的一个法向量.

而Z\A]•4-3亚

所以cos(ni,m〉=n_n_r=_i=----7==—^-.

\ni\\n2\45X^95

由图易知二面角4密8为钝二面角，

所以二面角4绥6的余弦值为一坐.

题型(二)

运用空间向量求直线和平面所成的角

考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角.

［典例感悟］

［例2］(2019•常州期末)如图，在空间直角坐标系0-xyz

中，已知正四棱锥?46切的局。户=2,点6,。和G4分别在x

轴和y轴上，且45=木,点〃是棱用的中点.

(1)求直线与平面为6所成角的正弦值;

(2)求二面角的余弦值.

［解］(D设直线与平面以6所成的角为a,易知4(0,-1,0),6(1,0,0),户(0,

3nt-\

2)^n7PA=(0,-1,-2),错误！=错误!.

设平面的法向量为n=(x,y,z),所以错误！即错误!令x=2,得尸一2,z=l,

所以n=(2,—2,1)是平面序6的一个法向量,

所以sina=|cos<n,AM)|=错误！=错误！=错误!.

故直线与平面序6所成角的正弦值为生益.

⑵设平面版的法向量为m=(xi,yi,zi),易知。(0,1,0),则/=(一1,1,0),

PB=30,-2),

所以错误!得错误!令荀=2,得K=2,0=1,所以m=(2,2,1)是平面皈的一个法

,„r-r-KI/\n,Ill11

向堇，所以cos〈n,ni)=1----i~r=TT7T=77.

|n|,|ni|3X39

易知二面角4处■。为钝二面角，所以二面角49C的余弦值为一去

［方法技巧］

直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为n,直线/与平面。所成的

n•QJI

角为°,两向量e与n的夹角为则有sin3仄而'0G0,—

［演练冲关］

如图，在三棱锥a'中，NAPB=90°,/用6=60°,AB=BC=CA,平面用反L平面

ABC.

(1)求直线/T与平面/回所成的角的正弦值;

(2)求二面角层/PC的平面角的余弦值.

解：⑴如图，设加的中点为2,作户。，46于点。，由//加=90°,

/9=60°得。为弱的中点，连接以

因为平面以8_L平面ABC,

平面PABQ平面ABC=AD,

所以20_L平面ABC.所以POLCD.