人教版高中数学精讲精练必修二8.6.2 空间角与空间距离（精练）（解析版）

8.6.2空间角与空间距离（精练）1．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．【答案】【解析】如图，连接，，，因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角，因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.故答案为：.2．（2022春·全国·高一期末）如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．【答案】【解析】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：连接、，因为A、B均为棱的中点，所以所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），设正方体的棱长为，在中，，,故答案为：.3．（2022·天津）如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为___________.【答案】【解析】连接，交与，所以，连接，因为平面，平面，所以，又，所以，且，平面，所以平面，所以为与平面所成角，在直角三角形中，，，所以.故答案为：.4．（2022·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角．【答案】【解析】长方体中，，，，，，，由条件，，，又与平面所成的角为，因此，，与平面所成的角为.5．（2022云南）如图，长方体中，，，，则（1）点到平面的距离为________；（2）直线到平面的距离为________；（3）平面与平面之间的距离为________.【答案】

【解析】（1）因为在长方体中，，，又，平面，平面，所以平面，因此点到平面的距离为；（2）因为在长方体中，，，又，平面，平面，所以平面，又，所以为直线与平面的公垂线，因此直线到平面的距离为；（3）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，即平面，平面，所以平面与平面之间的距离为；故答案为：；；.6．（2022甘肃）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.【答案】2【解析】如图平面ABCD平面EFGH又平面.平面ABCD与平面EFGH的距离为.故答案为：27．（2022辽宁）在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________.【答案】

5

4

3【解析】如图直线BC到面的距离为；直线到面的距离为；面到面的距离为.故答案为：5；

4；

3.8．（2022河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3．(1)证明：BC⊥PD；(2)证明：求点C到平面PDA的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】（1）∵四边形ABCD是长方形，∴BC⊥CD，∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面PDC，∵平面PDC，∴BC⊥PD；（2）取CD的中点E，连接AE和PE，∵PD＝PC，∴PE⊥CD，在Rt△PED中，．∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，∴PE⊥平面ABCD，由(1)知：BC⊥平面PDC，∵四边形ABCD是长方形，∴BC∥AD，∴AD⊥平面PDC，∵平面PDC，∴AD⊥PD，设点C到平面PDA的距离为h．连接AC，由得，，∴点C到平面PDA的距离是．9．（2022·高一课前预习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.【答案】(1)60°(2)90°【解析】（1）如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.（2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.10．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.【答案】60°【解析】如图，取AC的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角.因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.单独看△GEF的平面图，可得在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H，在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝，所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°.所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.11．（2022河北唐山）如图，在正三棱柱（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均相等，D是BC的中点，(1)求证：(2)求证：平面AC1D(3)求异面直线与所成角余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】（1），D是BC的中点，，又因为正三棱柱中平面ABC，平面ABC，平面，平面，又平面，（2）连接交于，连接则O为中点，，又平面，平面，所以平面.（3）由（2）知，（或其补角）为异面直线与所成角，设，中，，，则由余弦定理得，所以异面直线与所成角余弦值为．12．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）如图，矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，.(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）证明：因为，所以，所以，因为平面，所以平面因为平面，所以平面平面.（2）由（1）得平面，因为在中，,即所以，根据题意可做长方体如图因为由图知，所以异面直线与所成角等于直线与所成角，连接,因为,所以，设直线与所成角为，所以在中，所以异面直线与所成角的余弦值为.13．（2022·江苏）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)证明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）如图，连接BC1，AD1，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得EF∥BC1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1，又EF⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，所以EF∥平面A1ADD1；（2）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为C1D1⊥平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，所以∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成的角，由题意知AC1＝，在Rt△AD1C1中，sin∠C1AD1＝＝＝，即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为.14．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2．(1)求直线和平面ABCD所成角的大小；(2)求直线和平面ABCD所成角的正切值．【答案】(1)．(2)．【解析】（1）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线AB，∴就是直线和平面ABCD所成的角．∵，∴直线和平面ABCD所成角的大小为．（2）因为平面ABCD，∴直线在平面ABCD上的射影为直线DB，∴就是直线和平面ABCD所成的角．15．（2022·高一课时练习）如图，已知长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，求与侧面所成角的大小．【答案】30°．【解析】连接AC，，∵长方体的对角线与侧棱所成的角为45°，且，，所以是对角线与侧棱所成的角（或其补角），平面，平面，则，同理，∴，∴．∵平面，∴是直线与平面所成的角．∵，，∴，∴．∴与侧面所成角的大小为30°．16．（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，.(1)证明：平面平面；(2)设中点为，求直线与底面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证：平面平面平面面因为四边形为菱形,平面，平面

平面平面面(2)因为平面平面，平面面；四边形是矩形，所以底面在中，，即为直线与平面所成角，在中,17．（2022春·新疆·高一兵团第一师高级中学校考期末）如图，在正方体中，分别是，的中点，(1)求证∥平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）取中点，连接如图，则由中位线的性质可得，且平面，平面，故平面.又，，故四边形为平行四边形，故，同理可得平面.又，平面，故平面平面.又平面，故平面.（2）取中点，中点，连接如图.易得互相平行，又，故四边形为平行四边形，故.又平面，故平面，故与平面所成角即与平面所成角.设，，即与平面所成角的正弦值为18．（2021秋·甘肃临夏·高一临夏中学校考期末）如图，在三棱柱中，平面，E，F分别为，的中点，D为上的点，且．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】（1）证明：因为E，F分别为，的中点，所以，又平面ABC，平面ABC，故平面ABC；（2）证明：∵平面，平面，∴，∵，，∴平面，又平面，∴平面平面；（3）如图所示：过点D作垂线，垂足为H，连接，D为的中点，∵，，，∴平面，，则是二面角的平面角，∴，，，故二面角的平面角的正切值为．19．（2022春·天津·高一校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交PB于点.(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】（1）取中点，连接，在中，分别为中点，∴为的中位线，∴，且，又∵，∴∵底面，∴底面，∴；（2）∵底面，且面∴，∵底面是正方形，∴，又,面,∴面,又面∴∵，且，∴是等腰直角三角形，又是斜边的中线，∴，又,面,∴面，∵面∴,∵,又,面∴平面；（3）由（2）可知，故是平面与平面的夹角，∵∴，在中，，，，又面，∵面∴,在中，，∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小.20．（2022·高一单元测试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，E为的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)．【解析】（1）证明：如图，连接，交于于O点，连接，易知O为中点．∵E为的中点，∴．∵平面平面，∴平面．（2）因为E是的中点，所以．∵，知为等边三角形，又因为知，，∴，又，即，故．∵底面是菱形，∴，又O为等边三角形的边的中点，故，而平面，∴平面．∴．（3）如图，过点A作，垂足为M，连接．∵，O为中点，∴．又，∴．∴，故为二面角的平面角．∵，由，得．∵，在中，，∴二面角的余弦值为．1．（2022春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__．【答案】【解析】因为，平面，平面，所以平面，故点到平面的距离即为直线与平面的距离，连接交于点，因为四边形为正方形，所以⊥BD，又因为⊥平面ABCD，平面ABCD，所以⊥BD，因为，平面，所以BD⊥平面，故BO即为直线与平面的距离，因为正方体的棱长为2，所以，故直线与平面的距离为.故答案为：2．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．【答案】【解析】连接，因为∥，平面，平面，所以∥平面EAC，所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，设到平面EAC的距离为，因为正四棱柱的底面边长为2，，所以，因为E为的中点，所以，所以，所以，,因为，所以,所以，解得，故答案为：.3．（2022·高一单元测试）如图，正三棱柱中，，，N为AB的中点.(1)求证：平面；(2)求A到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）连接交于点O,连接,在正三棱柱中四边形为平行四边形，故O为的中点，又N为AB的中点，则,又平面，平面，所以平面；（2）设点A到平面的距离为d,在正三棱柱中平面,则为三棱锥的高，则，因为平面,所以，则，又平面,平面,故,又平面，所以平面,平面，所以,正三棱柱中，，则,故，故由，可得，解得，故A到平面的距离为.4．（2021·高一课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，∴∥，=∴四边形是平行四边形.∴.又平面，平，∴平面.∵∥，=∴四边形是平行四边形.∴.又平向，平面，∴AE∥平面.又∵，∴平面平面.（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，∵正方体的棱长为2，∴，，∴的面积∴三棱锥的体积，.又三棱锥的体积.由可得，解得.∴平面与平面之间的距离为.5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角A﹣BC﹣P的大小；(4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)45°(4)能，证明见解析【解析】(1)在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．(2)连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB，因为PB⊂平面PGB．所以AD⊥PB．(3)由（2）可得PB⊥AD，BG⊥AD，∵AD∥BC，所以PB⊥BC，BG⊥BC，所以∠PBG为二面角A﹣BC﹣P的平面角因为PG＝BG＝，所以∠PBG＝45°；(4)当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB∴FE∥平面PGB在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBEBEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB∴DE∥平面PGBEF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．6．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；(2)若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）证明：因为PD＝DC＝1，且E为PC的中点，所以DE⊥PC，又因为二面角P－CD－A为直二面角，所以平面PCD⊥平面ABCD，因为BC⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，平面ABCD，所以BC⊥平面PCD，因为平面PCD，所以BC⊥DE.因为BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB.（2）解：在中，，，由余弦定理可得，因为所以∠PDC＝120°，过点P作PH⊥CD的延长线于H，如图，因为二面角P－CD－A为直二面角，平面平面，平面，所以平面，在中，，过H点作HG∥DA，且HG与BA的延长线交于G点．因为所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以在中，，所以，设点C到平面PAB的距离为h，则，解得，设PC与平面PAB所成的角为θ，，即PC与平面PAB所成角的正弦值为.7．（2022·高一单元测试）如图①，在梯形中，，，如图②，将沿边翻折至，使得平面平面，过点作一平面与垂直，分别交于点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）如图②，因为平面，且平面，所以又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面（2）由（1）知平面平面，所以，在直角三角形中，，由等面积代换得，，即，又因为平面平