4.3 对数透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第一册）

2021-2021学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第四章指数函数与对数函数4.3对数【知识导学】考点一对数的有关概念对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.考点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．考点三对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．大重难点技巧：对数的运算考点四：对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．考点五：换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．技巧方法：对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．【考题透析】透析题组一：指数式与对数式的互化1．（2021·江苏·高一课时练习）若，则（）A．81 B． C． D．32．（2020·上海市川沙中学高一期中）设，则=（）A．3 B．-3 C．1 D．-13．（2021·全国·高一专题练习）若，则x，y，z之间满足（）A． B．C． D．透析题组二：对数运算性质的应用4．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的是（）A． B． C． D．5．（2021·河北张家口·高一期末）已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．（2021·上海·高一专题练习）对于a>0且a≠1，下列说法正确的是（）①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①② B．②③④C．② D．②③透析题组三：对数换底公式的应用7．（2020·全国·高一课时练习）计算log2·log3·log5＝（）A．8 B．6C．－8 D．－68．（2021·全国·高一专题练习）已知，则（）A． B． C． D．9．（2021·全国·高一专题练习）设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有（）A． B． C． D．透析题组四：对数的计算化简10．（2021·江苏·高一课时练习）计算下列各式的值：（1）lg＋lg；（2）log345－log35；（3）(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2；（4）log535－2log5＋log57－log51.8；（5）lg－lg＋lg；（6）lg52＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.11．（2021·江苏·高一课时练习）不用计算器，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.12．（2021·江苏·高一课时练习）解下列方程：（1）；（2）；（3）.【考点同练】一、单选题13．（2021·江苏·高一课时练习）若，，则下列各式中，恒等的是（）A． B．C． D．14．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的是（）A． B． C． D．15．（2021·全国·高一课时练习）下列各式运算错误的是（）A． B．C． D．16．（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）下列运算中正确的是（）A． B．C． D．17．（2021·全国·高一专题练习）已知某物种经过年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：，当时，的值表示年年初的种群数量．若年后，该物种的种群数量不超过年初种群数量的，则的最小值为（）（参考值：）A． B． C． D．18．（2021·全国·高一专题练习）对于a>0，且a≠1，下列说法中，正确的是（）①若M=N，则logaM=logaN；②若logaM=logaN，则M=N；③若logaM2=logaN2，则M=N；④若M=N，则logaM2=logaN2.A．①③ B．②④C．② D．①②③④19．（2021·江苏·高一课时练习）已知函数则（）A．1 B．2 C． D．20．（2021·江苏·高一课时练习）已知函，且，则（）A． B． C．11 D．1321．（2020·上海奉贤·高一期中）若，下列运算正确的是（）A． B．C． D．22．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．或123．（2020·江苏泰州·高一期中）已知，，则可以用和表示为（）A． B．C． D．二、多选题24．（2021·全国·高一单元测试）下列各式化简运算结果为1的是（）A． B．C．且 D．25．（2020·福建·莆田第七中学高一月考）若，且，，，且，则下列各式不恒成立的是（）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④26．（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是()A．与lg1＝0 B．＝与log27＝－C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝527．（2021·浙江·高一单元测试）下列各式正确的是（）A．设，则 B．已知，则C．若，，则 D．三、填空题28．（2021·江苏·高一课时练习）根据对数的定义，写出下列各对数的值（，）：_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________，_________.29．（2021·全国·高一课时练习）___________.30．（2021·全国·高一课时练习）已知，，则___________.31．（2021·江苏省如东高级中学高一月考）已知，则的值为___________．32．（2021·云南·沧源佤族自治县民族中学高一期末）设函数则_________．四、解答题33．（2021·江苏·高一课时练习）求下列各式中x的值：（1）logx3＝；（2）log64x＝－；（3）－lne2＝x；（4）；（5）log5[log3(log2x)]＝0.34．（2021·江苏·高一课时练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：（1）；（2）（，，）.35．（2021·江苏·高一课时练习）利用对数的换底公式，计算下列各式的值：（1）；（2）.36．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知且，求证：.（2）已知a，b，，且，求证：.【答案精讲】1．D【详解】解：因为，所以，即，所以，故选：D.2．C【详解】因为，所以，则，所以，故选：C3．B【详解】，，.故选：B4．C【详解】对于A：由对数恒等式可知：错误，故A错误；对于B：由对数恒等式可知：，故B错误；对于C：由对数恒等式可知：，故C正确；对于D：由对数恒等式可知：，故D错误；故选：C5．D【详解】由题意，知，因为，所以.又有两个实根、，所以，解得.故选：D.6．C【详解】①中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确．所以只有②正确.故选：C7．C【详解】原式.故选：C8．A【详解】因为，所以，，，所以．故选：A．9．B【详解】设3a=4b=6c=k，则a=log3k，b=log4k，c=log6k，∴，同理，，而，∴，即．故选：B10．（1）；（2）2；（3）1；（4）2；（5）；（6）3.【详解】（1）原式＝lg(×)＝lg＝lg10＝.（2）原式＝＝log39＝2log33＝2.（3）原式＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.（4）原式＝log55＋log57－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝1＋2log53－2log53＋1＝2.（5）原式＝(lg32－lg49)－＋lg(5×49)＝(5lg2－2lg7)－2lg2＋lg5＋lg7＝lg2－lg7－2lg2＋lg5＋lg7＝(lg2＋lg5)＝.（6）原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋lg5×lg2＋lg5＋(lg2)2＝2＋lg2(lg5＋lg2)＋lg5＝3.11．（1）2；（2）1；（3）1.【详解】（1）；（2）；（3）；12．（1）；（2）；（3）.解：（1）由得，且，解得，检验：当，，所以方程的解为；（2）由得，且，即，所以，解得或，检验：当，，不满足真数大于0，故舍去，当，，所以方程的解为：；（3）由得，且，即，且，解得（舍去），所以方程的解为：.13．D【详解】对于A：，故选项A不正确；对于B：，故选项B不正确；对于C：，故选项C不正确；对于D：，故选项D正确；故选：D.14．C【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：C15．C，A对，，B对，，C错，，D对.故选：C16．B对于A，所以，故A错；对于B，，故B正确；对于C，，故C错；对于D，，故D错.故选：B.17．B【详解】由题意可知，年年初的种群数量为，由，即，可得，即，故，因为，因此，的最小值为.故选：B．18．C【详解】对于①，当M=N≤0时，logaM，logaN都没有意义，故不成立；对于②，logaM=logaN，则必有M>0，N>0，M=N，故正确；对于③，当M，N互为相反数且不为0时，也有logaM2=logaN2，但此时M≠N，故错误；对于④，当M=N=0时，logaM2，logaN2都没有意义，故错误.综上，只有②正确.故选:C19．D【详解】由已知.故选：D.20．C【详解】令，则，因为，所以，则，又因为，则，故选：C.21．A【详解】由，，，，知：对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故错误；对于，，故错误．故选：．22．B【详解】，.∴.∵，∴，解之得:或.∵，∴，∴.∴.23．C【详解】故选：C.24．AD【详解】解：对于A选项，原式；对于B选项，原式；对于C选项，原式；对于D选项，原式.故选：AD.25．AC【详解】若x<0，则①错误；易知，则,所以，②正确；若x<0，y<0，则③错误；∵，∴，∴，④正确.故选：AC.26．ABD【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD.27．ABC【详解】对于A，，故A对对于B，，故B对对于C，，，，故C对对于D，，故D错故选：ABC28．20101【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）故答案为：2；；；0；1；；0；129．##【详解】原式.故答案为：30．【详解】.故答案为：31．【详解】因为，所以，所以.故答案为：32．9【详解】∵∴，，∴，故答案为：933．（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.【详解】（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9.（2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.（3）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，解得x＝1或x＝3，又因为x＝1时，x2－2＝－1<0，舍去