4.3 对数-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

4.3对数【考点梳理】重难点技巧：对数的概念考点一对数的有关概念对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.考点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．考点三对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．重难点技巧：对数的运算考点四一对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．考点五换底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．【题型归纳】题型一：指数式与对数式的互化1．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的是（

）A．①② B．②④C．①③ D．③④2．（2021·江苏·高一专题练习）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．123．（2021·全国·高一单元测试）将（且）转化为对数形式，其中错误的是（

）A．； B．；C．； D．．题型二：对数运算4．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）设，，则=（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏淮安·高一期中）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．6题型三：对数的性质应用7．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设，则（

）A． B． C． D．8．（2022·河北保定·高一期末）函数的最小值为（

）A．1 B． C． D．9．（2022·湖南·高一）下列各等式正确的为（

）A． B．C． D．（，，）题型四：、对数换底公式的应用10．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B．C． D．11．（2021·湖北黄石·高一期中）若实数a，b满足，，则（

）．A． B． C． D．12．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）；（2）.题型五：对数运算的综合13．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）化简求值（需要写出计算过程）(1)若，，求的值；(2)．14．（2022·全国·高一单元测试）计算(1)(2).15．（2022·全国·高一）计算：(1)；(2)；(3)．【双基达标】一、单选题16．（2022·江苏省射阳中学高一期中）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻.，，，估计的值约为（

）A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.489717．（2022·河南南阳·高一期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B． C． D．18．（2022·江苏·高一单元测试）已知，均为正实数，若，，则（

）A．或2 B． C． D．119．（2022·全国·）若，则实数的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．1220．（2022·全国·高一）若，则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．421．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2)．22．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)；(2)；【高分突破】一：单选题23．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则（

）A．1 B．2 C．5 D．424．（2022·全国·高一课时练习）化简的值为（

）A． B． C． D．-125．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数，则（

）A． B． C．1 D．326．（2022·全国·高一单元测试）计算：（

）A．0 B．1 C．2 D．327．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知函数，若、，，则（

）A． B． C． D．28．（2022·江苏省镇江中学高一期中）如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（

）A． B． C． D．1529．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）下列命题错误的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，二、多选题30．（2022·江苏淮安·高一期中）已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（

）A．2 B．3 C．4 D．531．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（

）A． B． C． D．32．（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（

）A． B．C．若，则 D．33．（2022·全国·高一单元测试）若，，且，则（

）A． B．C． D．34．（2022·广东汕头·高一期末）若、、均能满足使得下面式子有意义，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．35．（2022·江苏·句容碧桂园学校高一期中）下列各式正确的是（

）A．设，则B．已知，则C．若，则D．36．（2021·吉林油田高级中学高一期中）若，，且，，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题37．（2022·上海市大同中学高一期中）已知，，则可以用，表示为___________.38．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）已知，且，则的最小值为___________.39．（2022·上海大学市北附属中学高一期中）设，，则用，表示_______.40．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）若，则的最小值为________．41．（2022·全国·高一单元测试）化简____________42．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．四、解答题43．（2022·全国·高一课时练习）已知，（，且）．(1)求的值；(2)若，，且，求的值．44．（2022·全国·高一课时练习）(1)；(2)．45．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知，，计算下列式子的值：(1)；(2).46．（2022·湖南·高一课时练习）用，，，，表示下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．47．（2022·江苏南京·高一期末）已知，且．(1)若，求的值；(2)求的最小值．48．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）计算(1)(2)【答案详解】1．A【分析】根据对数的定义即可求得答案.【详解】由对数定义可知，，①正确；，②正确；对③，，错误；对④，，错误.故选：A.2．D【分析】对数式改写为指数式，再由幂的运算法则计算．【详解】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．故选：D．3．D【分析】根据对数式与指数式的关系可得答案.【详解】根据对数式与指数式的关系，若，则，即，所以A正确；若，则，即，所以B正确；若，则，即，所以C正确；由得，与已知不等，所以D错误.故选：D.4．D【分析】根据对数的运算，化简为，即可得答案.【详解】由题意知，，则，故选：D5．A【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.【详解】解：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A6．A【分析】利用对数和指数互化，可得，，再利用即可求解.【详解】由得：，，所以，故选：A7．C【分析】观察所求结构知把放到对数的真数部分作指数即可求解．【详解】解：，故选：C．8．D【分析】根据对数的运算法则，化简可得，分析即可得答案.【详解】由题意得，当时，的最小值为.故选：D9．D【分析】根据对数的运算性质判断各选项等式两边是否相等即可.【详解】A：，错误；B：，错误；C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；D：且，，，正确.故选：D10．D【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．【详解】因为，，所以．故选：D.11．C【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案.【详解】因为，所以,即，故，即，故，令，则，故，即有，所以，即，即，故，故，故选：C.12．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】利用换底公式及对数的性质即可证明【详解】证明：（1）.故.（2），【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题.13．(1)(2)【分析】（1）先取对数将表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.【详解】（1），，得（2）原式14．(1)(2)【分析】（1）根据对数的运算性质求解，（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.（1）；（2）原式＝.15．(1)0(2)3(3)1【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；（2）提公因式，逐步化简即可求解；（3）逐步将原式化成只含和形式.（1）方法一：（直接运算）原式．方法二：（拆项后运算）原式．（2）原式．（3）原式．16．C【分析】根据指数与对数式的互化，可得x的表达式，利用对数运算，结合已知可求得答案.【详解】由可得，即,故选：C.17．A【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.【详解】因为，，，所以.故选：A.18．A【分析】由换元法解出，再与方程联立求解【详解】令，则，所以，即，解得或，即或，所以或，因为，代入得或，所以，或，，所以或.故选：A19．A【分析】由换底公式对原式变型即可求解.【详解】∵,∴，∴．故选：A．20．D【分析】化简，求得关于与的等式，结合二次函数的性质求得的最大值.【详解】对等号两边同时取对数，得，即，令，则，所以，即的最大值是4（此时，对应）.故选：D21．(1)7(2)【分析】（1）利用对数的运算性质进行运算可得答案；（2）利用对数的运算性质进行运算可得答案.（1）原式；（2）原式．22．(1)(2)【分析】（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.（1）由题且，且，得且，，则，由，，化简得，则或，解得或，故不等式解集为.（2）由题，则或，解得.故不等式解集为.23．A【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案.【详解】∵，，∴，，．故选：A24．A【分析】运用对数的运算性质即可求解.【详解】解析：故选：A.25．C【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．【详解】因为，所以，，则.故选：C．26．B【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；【详解】解：；故选：B27．B【分析】计算出，可得出，由此可得出结果.【详解】，，则，，因为，因为，则，因此，.故选：B.28．C【分析】对原方程分解因式，求得两根，再求结果即可.【详解】原方程等价于因式分解得：，所以，，所以方程的两根分别为，，所以.故选：.29．A【分析】根据对数运算性质可知A错误，C正确；由知B正确；根据对数恒等式知D正确【详解】对于A，，不恒成立，原式不恒成立，A错误；对于B，当时，，，，，，B正确；对于C，由对数运算性质知：，C正确；对于D，由对数恒等式知：，D正确.故选：A.30．CD【分析】指数式化为对数式，得到，利用对数运算法则和换底公式得到，从而求出或2，分两种情况求出与，进而求出的值.【详解】因为，所以，故，设，则，故，解得：或2，当时，，故，，故；当时，，故，，故故选：CD31．ABD【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：，，，其中，，故故选：ABD.32．BD【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.【详解】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；对于选项B，，故B正确；对于选项C，设，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；对于选项D，，故D正确．故选：BD．33．AB【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意，由，得，所以，且，即，．故选：AB34．ACD【分析】根据指数幂和对数的运算性质逐项运算可得答案.【详解】对于A，，正确；

对于B，，错误；对于C，，故正确；对于D，因为，所以，即，故正确.故选：ACD.35．ABC【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.【详解】对于A，，故A对；对于B，，故B对；对于C，，，，故C对；对于D，，故D错．故选：ABC．36．BD【分析】根据指数幂、对数的运算法则判断选项求解.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误．根据指数运算公式可知D选项正确，故选：BD37．【分析】利用对数的运算性质和换底公式计算即可.【详解】由，得，因为，所以，故答案为：.38．3【分析】由条件得.后利用基本不等式可得答案.【详解】由题，则，得.又.则.当且仅当时取等号.故答案为:39．【分析】根据对数的运算性质计算可得.【详解】解：因为，，所以；故答案为：40．