4.4 数学归纳法-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4数学归纳法【考点梳理】考点一数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)

P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．结论：P(n)为真．3.数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．【题型归纳】题型一：数学归纳法证明恒等式1．（2022·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（

）A．1 B． C． D．2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．3．（2019·河南·南阳中学高二阶段练习（理））已知，，使等式对都成立，（1）猜测，，的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.题型二：数学归纳法证明整除问题4．（2021·河南·高二阶段练习（理））用两种方法证明：能被49整除．5．（2018·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：(1)能被264整除；(2)能被整除（其中n，a为正整数）6．（2017·江苏南通·高二期中）用数学归纳法证明：（）能被9整除.题型三：数学归纳法证明数列问题7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．(1)求，，，并猜想的通项公式；(2)证明（1）中的猜想．8．（2022·全国·高二课时练习）设数列满足，，且．(1)计算，，猜测的通项公式，并加以证明．(2)求证：．9．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法加以证明.题型四：数学归纳法证明不等式10．（2021·全国·高二单元测试）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列.记.（1）求数列和的通项；（2）当时，比较与大小并证明结论.11．（2019·山西吕梁·高二期末（理））给出下列不等式：，，，，（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.12．（2019·江苏常州·高二期中（理））（1）是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.（2）求证：对任意的，.【双基达标】一、单选题13．（2022·上海市松江区第四中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立14．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（

）A． B． C． D．15．（2022·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项 C．k项 D．1项16．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（

）A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立17．（2022·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．18．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，．(1)当时，试比较与1的大小；(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．【高分突破】一：单选题19．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+120．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明1＋a＋a2＝(a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（

）A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a421．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝”．在验证n＝1时，左端计算所得项为（

）A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a422．（2022·全国·高二课时练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（

）A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立23．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（

）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k24．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（

）A．a1＋(k－1)d B．C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d25．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（

）A． B．C． D．二、多选题26．（2022·全国·高二专题练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（

）A．p(k)对k＝528成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立27．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（

）A．1 B．2 C．3 D．428．（2021·全国·高二专题练习）数列满足，，则以下说法正确的为（

）A．B．C．对任意正数，都存在正整数使得成立D．29．（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（

）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立30．（2022·全国·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（

）A．过程全部正确 B．时证明正确C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确31．（2022·全国·高二课时练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数三、填空题32．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）若函数，且，则______________.33．（2022·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立．34．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．35．（2022·全国·高二专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.36．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.37．（2020·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是______________．四、解答题38．（2022·广西·桂林市第十九中学高二期中（理））设数列满足．(1)求的值并猜测通项公式；(2)证明上述猜想的通项公式．39．（2022·广西·桂林市国龙外国语学校高二）请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①②已知数列的前项和为，且，_______.(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.40．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列.(1)求，，及，，，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.41．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知数列满足，前n项和．(1)求，，的值并猜想的表达式；(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．42．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列．已知，，．(1)设，求数列的通项公式；(2)设，请用数学归纳法证明：．【答案详解】1．B【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解.【详解】当时，等式为，当时，，增加的项数为,故选:B.2．证明见解析【分析】直接用数学归纳法的步骤，一步步的证明即可.【详解】(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．则当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，即当n＝k＋1时成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立．3．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）通过举例：得到三元一次方程组求解并猜测，，；（2）代入，，的值，利用数学归纳法的常规步骤去证明等式成立即可.【详解】(1)假设存在符合题意的常数，，，在等式中，令，得①令，得②令，得③由①②③解得，于是，对于都有（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对一切正整数，（*）式都成立．（1）当时，由上述知，（*）成立．（2）假设时，（*）成立，即那么当时，，由此可知，当时，（*）式也成立．综上所述，当时题设的等式对于一切正整数都成立．【点睛】使用数学归纳法的注意事项：由到时,除等式两边变化的项外还要利用时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.4．证明见解析.【分析】分别利用二项式定理与数学归纳法进行证明即可.【详解】证明：方法一：因为为整数，所以能被49整除．方法二：（1）当时，，能被49整除．（2）假设当，能被49整除，那么，当，．因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由（1）（2）知，能被49整除．5．(1)见解析(2)见解析【分析】利用数学归纳法进行证明，注意数学归纳法的格式．（1）当时，-264能被264整除，成立；当时，假设能被264整除；当时，能被264整除，命题正确.（2）当时，能被整除，成立；当时，假设能被整除；当时，能被整除.6．详见解析.【详解】试题分析：利用数学归纳法的步骤首先验证n=1时成立，然后假设命题成立，验证等式成立即可.试题解析：（1）当时，能被9整除，所以命题成立（2）假设当时命题成立，即（）能被9整除那么，当时，由归纳假设（）能被9整除及是9的倍数所以能被9整除即时，命题成立由（1）（2）知命题对任意的均成立点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.7．(1)，，，；(2)证明见解析.【分析】(1)分别取①②代入计算出，，，并根据计算的结果猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明即可.（1）选条件①，由题意可得，同理可得，，猜想()．选条件②，由题意可得，∵，，∴，，∴，同理可得，猜想（）．（2）显然当时，猜想成立，假设当时，猜想成立，即（），当时，由，可得=（），即当时，猜想成立，综上所述，（）．8．(1)，，(2)证明见解析【分析】（1）根据递推公式，计算并猜想，利用数学归纳法证明即可.（2）由（1）得，利用放缩法当时，然后裂项相消即可证明不等式.（1）因为，，所以，．猜测．证明如下：①当时，显然成立．②假设当时成立，即，则当时，，即当时，结论成立．综上所述，．（2）由（1）知，所以，故得证．9．(1)，，；(2)证明见解析.【分析】（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.(1)因为且.所以，解得，因为，所以，解得.由，猜想：.(2)①当时，等式成立；②假设当时猜想成立，即那么，当时，由题设，得，，所以，，则.因此，，所以.这就证明了当时命题成立.由①②可知：命题对任何都成立.10．（1）；（2）；证明见解析；【分析】（1）由1，，，，，，成等比数列，结合等比数列的性质可得，，从而可求；1，，，，，，2这个数成等差数列．利用等差数列的性质可得从而可求．（2）由（1）可求，，转化比较，的大小，先取，8，9代入计算，观察与的大小，做出猜想，利用数学归纳法进行证明．【详解】（1），，，，，2成等比数列，，，．，，，，，2成等差数列，，．所以，数列的通项，数列的通项．（2），，，，要比较和的大小，只需比较与的大小，也即比较当时，与的大小．当时，，，得知，经验证，时，均有命题成立．猜想当时有．用数学归纳法证明．①当时，已验证，命题成立．②假设时，命题成立，即，那么，又当时，有，．这就是说，当时，命题成立．根据①、②，可知命题对于都成立．故当时，．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识和性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．（1）（2）见解析【分析】（1）猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，即得解；（2）递推部分，利用时结论，替换括号内部分即得证.【详解】解：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：，，，，猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，所以，不等式的一般结论为：（2）证明：①当时显然成立；

②假设时结论成立，即：成立，

当时，

即当时结论也成立.由①②可知对任意，结论都成立.【点睛】本题考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.12．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）对n进行赋值，代入，求解方程组可求,证明使用数学归纳法；（2）利用数学归纳法的步骤证明.【详解】（1）在等式中令得①；令得②；令得③；由①②③解得对于都有成立.下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.①当时，由上所述知式成立；②假设当时式成立，即，那么当时，综上：由①②得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等式对于一切正整数都成立.（2）证明：①当时，左式，右式，所以左式<右式，则时不等式成立；②假设当时不等式成立，即，那么当时，下面证明当时，.设，则所以在上单调增，所以即时，.因为，所以则因为所以由得那么时不等式也成立.综上：由①②可得对任意.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，利用数学归纳法证明等式时注意利用假设条件，利用数学归纳法证明不等式时注意放缩.13．B【分析】首先因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，则代入无意义，故需证明成立．【详解】解：若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．14．D【分析】求出时，不等式的左边，再求出当时，不等式的左边，得到当时，即可推出不等式的左边比时增加的项.【详解】当时，不等式左边等于，当时，不等式左边等于当时，不等式的左边比时增加.故选：D15．A【分析】时，左边的最后一项为，时，最后一项为，由此可得由到时，左边增加的项数．【详解】由题意，时，不等式左边，最后一项为，时，不等式左边，最后一项为，由变到时，左边增加了项,故选：A．16．C【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立．故选：C．17．(1)，；(2)见解析【分析】（1）由首项及递推关系式逐次求得，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式；（2）根据已知条件得到递推关系，利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可.(1)由可得，又，则，，则，猜想；(2)由（1）得，当时，，①当时，猜想显然成立；②假设当时成立，即；当时，，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即.18．(1)；；；；(2)当，时，有，证明见解析.【分析】（1）求出的值即得；（2）利用数学归纳法证明即得.(1)∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．(2)猜想：当，时，有．证明：①当时，猜想成立．②假设当（，）时猜想成立，．当，．∵，∴，则，即，∴当时，猜想成立.由①②知，当，时，有．19．C【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解.【详解】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时假设当时不等式成立，左边=则当时，左边=则由递推到时不等式左边增加了：共，故选：C20．B【分析】将n＝1时，代入左边即可得出选项.【详解】当n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1＋a，故选：B.21．C【分析】将n＝1代入即得.【详解】由知，当时，等式的左边是.故选：C.22．D【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选：D.23．C【分析】根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.【详解】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选：C.24．C【分析】只需把公式中的n换成k即可．【详解】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.故选:C25．B【分析】根据题意表示出和，然后代入计算即可.【详解】由题意，，，所以.故选：B.26．AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD27．CD【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明.【详解】当时，，不合要求，舍去当时，，不合要求，舍去；当时，，符合题意，当时，，符合题意，下证：当时，成立，当时，成立，假设当时，均有，解得：当时，有，因为，所以成立，由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，故选：CD28．ABCD【分析】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；对于B，将原式化简为，由得到结果；对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；对于D，利用数学归纳法可证得结论.【详解】对于A，，若，则，又，可知，，又，，A正确；对于B，由已知得：，，B正确；对于C，由及A中结论得：，，，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；对于D，（i）当时，由已知知：成立，（ii）假设当时，成立，则，又，即，，综上所述：当时，，D正确.故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.29．AD【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD30．BD【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.31．BC【分析】A将初始值代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.【详解】A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求；C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.故选：BC.32．【分析】由，可得与表达式，又，得到，可得：，即可解出原式.【详解】可得.又∴，.∴.则=故答案为：33．6【分析】根据已知的命题，可以假设时成立，可得到时命题成立，故利用反证的思想可得答案.【详解】由题意可知，时，该命题不成立，那么时该命题一定不成立，否则时该命题成立，那么时，该命题也成立，故答案为：634．【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解】假设时成立，即成立，当时，，故只需证明“”成立即可．故答案为：.35．Sn＝【分析】根据Sn＝n2an，首先求出S1，S2，S3，S4，观察即可求解.【详解】S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.故答案为：Sn＝36．k＋1【分析】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要