3.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

3.2基本不等式【考点梳理】考点一：基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．考点二：用基本不等式求最值用基本不等式eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)求最值应注意x，y是正数；(①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.【题型归纳】题型一：由基本不等式比较不等式的大小1．已知，，若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．对于，，下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．3．已知，均为正数，且，则（

）A． B．C． D．题型二：基本不等式求积的最大值4．已知，且，则的最大值为（

）A．2 B．5 C． D．5．若则的最大值是（

）A．4 B．1 C． D．不存在6．的最大值为（

）A．9 B． C．3 D．题型三：基本不等式求和的最小值7．已知函数()，当时，取得最小值，则（

）A． B．2 C．3 D．88．若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．99．当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4题型四：二次商式的最值问题（分离常数法）10．已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．11．已知，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．712．已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12题型五：基本不等式“1”的妙用13．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．114．若实数，，满足，以下选项中正确的有（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为15．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8题型六：基本不等式的恒成立求参数问题16．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．17．已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为（

）A．4 B．16 C．9 D．318．函数的值域（

）A． B． C． D．题型七：对勾函数最值问题19．代数式的最小值是（

）．A．4 B．2 C．k D．不能确定20．已知，则函数的最大值为（

）A．-1 B．-3 C．1 D．021．下列命题正确的是（

）A．函数的最小值是2．B．若，且，则C．函数的最小值是2D．函数的最小值是题型八：基本不等式的实际问题的应用22．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（

）A．20m B．50m C．m D．100m23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？题型九：基本不等式的综合应用24．（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求xy的最大值.25．已知均为正实数．(1)求证：．(2)若，证明：．26．已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)．【双基达标】一、单选题27．下列的四个不等式中不一定成立的有（

）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ca B．a（1-a）≤C． D．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）228．已知，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．629．的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．430．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．31．若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．32．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（

）A． B． C． D．333．（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，求的最小值．34．物流公司A拟在某城市港口建立某产品进口供货基地，该物流公司对周边商户、居民社区、道路、河道和水库、地区气候等信息进行调研后．拟在一块矩形空地上建造大型仓库（如图所示）进行产品的储存．已知需要建造的两个仓库占地面积（图示中空白部分）均为40000平方米，仓库四周及中间（阴影部分）硬化为水泥路面，方便货物运输．(1)若矩形仓库的长比宽至少多90米，但不超过300米，求仓库宽的取值范围；(2)若水泥路面宽度均为50米，求建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的最小占地面积．【高分突破】一、单选题35．已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．36．下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为137．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．4938．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．39．已知正数x，y满足，则的最小值（

）A． B． C． D．二、多选题40．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（

）A．xy的最大值是 B．的最小值为9C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为241．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为3 B．的最大值为1C．的最小值为2 D．的最小值为242．已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值3B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值243．下列说法正确的是(

)A．已知0＜x，则x(1﹣2x)的最大值为B．当时，的最大值是1C．若，，则的取值范围是D．若，，则44．下列说法正确的有（

）A．若，则的最大值是-1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是三、填空题45．已知，的最小值为____________.46．若正数a，b满足，则的最小值是__．47．已知正数满足，则的最小值为__________．48．如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为__________；解答题49．（1）已知命题：，成立，命题：对，，都有成立.若命题和命题有且仅有一个命题是真命题，求实数的取值范围.（2）已知，，求证：.50．国内某博物馆正式开幕．为方便顾客，在休息区的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域（阴影部分），已知下方是两个相同的矩形．在休闲区域四周各留下1m宽的小路，若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1：2．问如何设计休息区域，可使总休闲区域面积最大?51．已知集合．(1)设，求的取值范围；(2)对任意，证明：．参考答案：1．C【分析】已知，，且，由判断A选项是否一定成立；由判断B选项是否一定成立;由判断C选项是否一定成立;由结合基本不等式判断D选项是否一定成立;【详解】，，且当且仅当时取等号，故A不一定成立；，当且仅当时取等号，故B不一定成立；，当且仅当时取等号，故C一定成立；，且当且仅当时取等号，故D不一定成立；故选：C2．A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】对于A，令a＝－，b＝－，则＋＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，当且仅当取等号，不成立；对于B，>0,>0，所以＋≥2，当且仅当取等号，成立；对于C，st＝(－s)(－t)≤，当且仅当取等号，成立；对于D，，当且仅当取等号，成立．故选：A3．C【分析】由基本不等式判断C．ABD可通过举反例说明、【详解】正数满足，若满足已知，但，，若满足已知，但，，则，所以，，所以，，即，当且仅当时等号成立．故选：C．4．D【分析】直接由基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D5．A【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：A6．B【分析】利用基本不等式求目标式的最大值即可，注意等号成立的条件.【详解】∵，则，．∴由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立．故选：B．7．C【分析】通过题意可得，然后由基本不等式即可求得答案【详解】解：因为，所以，所以,当且仅当即时，取等号，所以y的最小值为1，所以，所以，故选：C8．C【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C9．B【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．10．D【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解.【详解】解：因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.11．A【分析】化简

为，利用均值不等式求解即可.【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立，所以

的最大值为故选：A12．B【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为，且为正实数所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.13．B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．14．D【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.【详解】实数，，，整理得，当且仅当时取，故选项A错误；(，当且仅当时取，故选项B错误；，，，当且仅当时取，但已知,故不等式中的等号取不到，，故选项C错误；，，，当且仅当时取，故选项D正确，故选：D15．D【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.【详解】不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.16．B【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可.【详解】解：由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，∴，∴.故选：B.17．B【分析】先进行参变分离，进而通过基本不等式求得答案.【详解】因为，所以问题等价于恒成立.而，当且仅当时取“=”.所以.故选：B.18．D【分析】令，将原式整理成，利用对勾函数能得到在上单调递减，且没有最大值，即可得到答案【详解】解：令，所以，因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值，所以所以，故选：D19．D【分析】变形后利用基本不等式求解判断，同时结合函数单调性得结论．【详解】由已知，当且仅当即时等号成立，若，则时，，最小值为2，若，则，利用勾形函数的单调性得最小值为．故选：D．20．B【分析】由题可得，利用基本不等式可求.【详解】，，，当且仅当，即时等号成立，的最大值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．B【解析】A.取特殊值判断；B.根据，利用基本不等式判断；C.令，由对勾函数的性质判断；D.由，利用基本不等式判断.【详解】A.当时，，所以的最小值不是2，故错误；B.因为，所以，当且仅当，即取等号，故正确；C.令，由对勾函数的性质得：在上递增，所以的最小值是，故错误；D.，当且仅当，即时取等号，所以最大值是，故错误；故选：B22．B【分析】设，则，则，展开后再利用基本不等式，即可得出答案.【详解】设，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小．故选：B．23．(1)(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.（1）由题意知，当时，（万件），则，解得，∴．所以每件产品的销售价格为（元），∴2020年的利润．（2）∵当时，，∴，当且仅当即时等号成立．∴，即万元时，（万元）．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．24．（1）9；（2）.【分析】利用基本不等式可求（1）（2）的最值.【详解】（1）,因为，故，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9.（2）因为x，y是正实数，由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，故xy的最大值为.25．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将、、三式相加可证明；（2）由条件可得，然后可证明.（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），即（当且仅当时等号成立）．（2）由题可得，则左边，当且仅当，，，，即时取“＝”．故成立．26．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论.（1）证明：左边，当且仅当时取“＝”．故．（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，所以，所以，所以，①同理，当且仅当时取取“＝”，②，当且仅当时取“＝”．③①+②+③，得，当且仅当时等号成立．27．C【分析】根据均值不等式以及成立的条件，可判断ACD，根据二次函数性质可判断B【详解】由题意可知，选项A，，当且仅当时取等号，即恒成立；选项B，，即恒成立；选项C，当与异号时，不成立；选项D，恒成立故选：C28．A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为，所以可得，则，当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2．故选：A．29．C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号；故选：C30．B【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用特殊值判断B；【详解】解：对于A：因为，为非零实数，所以，则，即，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：当、异号时，故B错误；对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B31．A【分析】根据原命题为真可得，即可得出命题为假命题时m的取值范围．【详解】当原命题为真时，恒成立，即，由命题为假命题，则．故选：A.32．C【分析】利用基本不等式取等号的条件进行求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．故选：C33．（1）；（2）.【分析】（1）由，利用基本不等式可求得最小值；（2）将已知等式变为，利用基本不等式可求得的最小值，进而求得结果.【详解】（1）当时，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为；（2）由得：，（当且仅当，即，时取等号），，即的最小值为.34．(1)(2)【分析】（1）设仓库的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.（1）设仓库的宽为x米，长为y米，由面积均为40000平方米，得.因为矩形草坪的长比宽至少大90米，所以，所以，解得，又，所以.仓库宽的取值范围为：.（2）建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的面积为S平方米，由题意可得（平方米）当且仅当米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为平方米.35．C【分析】由已知可得出，将与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，，则，，所以，，所以，当且仅当时，即，时等号成立．又恒成立，所以．故选：C.36．B【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．故选：B.37．B【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B38．B【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.【详解】解：因为为正实数，=，当，即时等号成立，此时有，又因为，所以，由基本不等式可知（时等号成立），所以.故选：B.39．A【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令，，则，即，∴，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.40．BC【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC.41．ABD【分析】根据基本不等式判断．【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD42．CD【分析】对A，根据，再利用基本不等式可判断；对B，根据判断即可；对C，根据，结合基本不等式判断即可；对D，根据基本不等式，结合两次不等式取等号的条件判断即可.【详解】对于A，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最小值，故A错误；对于B，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，，，，，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：CD43．AB【分析】利用基本不等式可判断AB，利用不等式的性质可判断C，利用作差法可判断D．【详解】对于选项A，若，则1－2x＞0，2x＞0，则，当且仅当，即时，等号成立，即x(1﹣2x)的最大值为，故A正确；对于选项B，当时，，∴，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值是1，故B正确；对于选项C：∵，，∴，，∴，故C错误；对于选项D，∵，，∴，∴，故D错误；故选：AB.44．ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，，都是正数，且，所以，所