3.2.1 函数的基本性质(1)-单调性与最大(小)值-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性（第2课时函数的最大(小)值见页末）1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、函数的最大值、函数的最小值.2.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性.3.理解函数单调性的作用与实际意义,会求函数的单调区间,并判断单调性.4.理解函数的最大(小)值的作用和实际意义,会借助单调性求函数的最大(小)值.一、基础过关练题组一单调性的概念及其应用1.若函数f(x)在[a,b]上是增函数,则对任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论不正确的是()A.f(B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.x12.下列说法正确的是()A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),且x1<x2,满足f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1<x2时,有f(x1)<f(x2),则f(x)在(a,b)上单调递增C.若f(x)在区间I1上单调递增,在区间I2上也单调递增,那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增D.若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),则x1<x23.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是()4.已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图所示.根据图象写出y=f(x)的单调递减区间为.

题组二单调性的判定与证明5.函数y=6x的单调递减区间是A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.(-∞,0)和(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)6.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上()A.递减 B.递增C.先递减后递增 D.先递增后递减7.下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1①f(x)=-2x;②f(x)=-3x+1;③f(x)=x2+4x+3;④f(x)=x-18.已知函数f(x)=xx(1)求f(f(3))的值;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;(3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=xx题组三单调性的综合应用9.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是()A.f(4)>f(-π)>f(3)B.f(π)>f(4)>f(3)C.f(4)>f(3)>f(π)D.f(-3)>f(-π)>f(-4)10.已知f(x)=(3a-1)A.-∞,13 C.17,13 11.(1)若f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则a的值是;

(2)若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是.

12.函数y=f(x)在(-2,2)上为增函数,且f(2m)>f(-m+1),则实数m的取值范围是.

13.(2020北京通州高一上期末)已知函数f(x)=x2-2x-3.(1)设集合A={x|f(x)>0},B={x|f(x)=0},C={x|f(x)<0},分别指出2,3,4是A,B,C中哪个集合的元素;(2)若∃a∈R,∀x1,x2∈[a,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),求实数a的取值范围.深度解析14.已知f(x)=xx(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围.15.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足fxy(1)求f(1)的值;(2)若f(6)=1,求不等式f(x+3)-f(2)<1的解集.16.已知函数f(x)=3−ax(1)若a>0,求函数f(x)的定义域;(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.二、能力提升练题组一单调性的判定与证明1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+12.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为()A.[3,+∞) B.(-∞,2),(4,+∞)C.(2,3),(4,+∞) D.(-∞,2],[3,4]3.函数y=x2+3A.-∞,32 C.[0,+∞) D.(-∞,-3]4.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=1-x2A.12,+∞ C.-1,12 5.(多选)(2020河南省实验中学高一上期中,)定义[x]为不大于x的最大整数,对于函数f(x)=x-[x]有以下四个结论,其中正确的是()A.f(2019.67)=0.67B.在每一个区间[k,k+1)(k∈Z)上,函数f(x)都是增函数C.f-15D.y=f(x)的定义域是R,值域是[0,1)6.已知函数f(x)=2x+ax(1)若a=-2,求满足f(x)=0的x的集合;(2)若a=4,求证:f(x)在(2,+∞)上单调递增.

题组二单调性的综合应用7.函数f(x)=ax+1xA.0,12 C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)8.函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数,则a的取值范围为()A.0<a≤15 B.0≤a≤C.0<a<15 D.a>9.设函数f(x)=|x2A.[2,+∞) B.[0,3]C.[2,3] D.[2,4]10.函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D上为非减函数.设f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足:①f(0)=0;②fx3=12f(x);③f(x)+f(1-x)=1.则f13=,f111.定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),f13(1)求f(1)的值;(2)判断函数f(x)的单调性;(3)解关于x的不等式f(x)+f(x-2)>-1.函数的单调性答案全解全析基础过关练1.C由增函数的定义易知A,B,D结论正确,故选C.2.D根据函数单调性的定义和性质来判断,A、B项中的“存在”“有无穷多”与定义中的“任意”不符,C项中也不能确定对任意x1<x2,x1,x2∈(I1∪I2),都有f(x1)<f(x2),只有D项是正确的,故选D.3.B对于A,函数分别在(-∞,1)及[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不符合题意;对于C,函数分别在(-∞,1)及(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)<f(1),故C不符合题意;对于D,函数分别在(-∞,0)及(0,+∞)上单调递减,但存在x1=-1,x2=1,使f(x1)<f(x2),故D不符合题意;只有B符合增函数的定义,具有单调性,故选B.4.答案[-1,2]解析由题图可知f(x)在[-2,6]上的单调递增区间为[-2,-1]和[2,6],单调递减区间为[-1,2].5.C由函数y=6x的图象(图略),知y=66.Cy=|x+2|=x+2,易知函数在[-3,-2)上单调递减,在[-2,0]上单调递增,故选C.7.答案①③④解析由题意知f(x)在(0,+∞)上为增函数,①③④在(0,+∞)上均为增函数.8.解析(1)因为f(3)=33−1=3所以f(f(3))=f32=3(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x=x1(x由x1,x2∈(1,+∞),得(x1-1)(x2-1)>0,由x1<x2,得x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).由单调性的定义可知,f(x)=xx(3)作出函数f(x)=xx-1的图象,如图所示,由图象知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)=9.D由函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,得f(4)>f(π)>f(3)>f(-3)>f(-π)>f(-4),故选D.10.C要使f(x)在R上为减函数,必须同时满足3个条件:①g(x)=(3a-1)x+4a在(-∞,1)上为减函数;②h(x)=-x+1在[1,+∞)上为减函数;③g(1)≥h(1).所以3解得17≤a<111.答案(1)-1(2)-∞,-解析(1)∵f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[2-a,+∞),∴2-a=3,∴a=-1.(2)函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,对称轴方程为x=-2a-12,且函数在区间(-∞,2]上是减函数,∴2≤-212.答案1解析由题意知-2解得1313.解析(1)由f(x)=x2-2x-3,得f(2)=22-2×2-3=-3<0,∴2∈C;f(3)=32-2×3-3=0,∴3∈B;f(4)=42-2×4-3=5>0,∴4∈A.故2∈C,3∈B,4∈A.(2)∵f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.由∃a∈R,∀x1,x2∈[a,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),得函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,∴[a,+∞)⊆[1,+∞),因此a≥1,即a的取值范围是{a|a≥1}.解题模板解决二次函数的单调性问题,其关键是确定二次函数图象的对称轴方程,确定对称轴方程后,发现单调区间与对称轴之间的关系是解题的突破口.14.解析(1)证明:由题意知f(x)=xx任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x=2(x∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-a∵a>0,x2-x1>0,又f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1,∴实数a的取值范围为(0,1].15.解析(1)在fxy(2)∵f(6)=1,∴f(x+3)-f(2)<1=f(6),∴fx+3∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,∴x+3故不等式的解集为{x|-3<x<9}.16.解析(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤3a,即函数f(x)的定义域为-∞,(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1<a≤3.当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,且3-a×0≥0,此时a<0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].能力提升练1.C观察函数,f(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数,∴A不符合题意;f(x)=x2-3x的图象是开口向上,对称轴为直线x=32f(x)=-1xf(x)=-|x|在(0,+∞)上单调递减,∴D不符合题意.故选C.2.C作出函数f(x)=|x2-6x+8|的图象,如图所示.由图象得,函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(2,3)和(4,+∞),故选C.3.D由x2+3x≥0,得x≤-3或x≥0,即函数y=x2+3x的定义域为(-∞,-3]∪[0,+∞),又二次函数t=x2+3x图象的对称轴方程为x=-32,所以函数t=x2+3x(x∈(-∞,-3]∪[0,+∞))在区间(-∞,-3]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增,又函数y=4.D因为f(x)=1-x2+x由-x2+3x>0,得0<x<3,所以y=f(2-x)的定义域为(0,3).又t=-x2+3x=-x-322+94(0<x<3)在区间0,325.ABD在A中,f(2019.67)=2019.67-2019=0.67,故选项A正确;在B中,任取x∈[k,k+1),则x=k+t,0≤t<1,因此f(x)=k+t-k=t=x-k是增函数,故选项B正确;在C中,f-15=-15-(-1)=45,f15=15-0=在D中,显然f(x)的定义域为R,任取x∈[k,k+1)(k∈Z),则f(x)=x-k∈[0,1),故选项D正确.故选ABD.6.解析(1)当a=-2时,f(x)=2x-2x,则f(x)=2x-2(2)证明:当a=4时,f(x)=2x+4x任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+4x1=2(x1-x2)+41=2(x1-x2)+4·x=2(x1-x2)1−2∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,∴0<1x1x2<14,∴0<2∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(2,+∞)上单调递增.7.Bf(x)=ax+1x+2=a(x8.B当a=0时,f(x)=-2x+2,为减函数,符合题意;当a≠0时,f(x)=ax2+2(a-1)x+2为二次函数,由f(x)在(-∞,4]上为减函数,可知f(x)的图象开口向上,且对称轴在直线x=4的右侧,即a>0,-2(9.D作出函数y=|x2-x-2|的图象如图所示.由图象知,当x≥a时,y=|x2-x-2|是增函数,需满足a≥2,此时y=ax-6也是增函数.又f(x)在R上单调递增,所以还需满足a2-a-2≥a2-6,解得a≤4.综上,2≤a≤4,故选D.10.答案12;解析∵f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,∴f(0)+f(1-0)=1,即f(1)=1.又fx3=1∴f13=12f(1)=12.在f(x)+f(1-x)=1中,令x=1∴f12=1在fx3=12f(x)中,令x=12,得f16=12f12=14;令x=13,得f∴f19≤f18≤f16,即14≤f18≤1故f13=12,f18解题模板解决抽象函数问题的关键是“赋值”,即在已知的等式(或不等式)中取特定的未知数的值,而“赋值”要结合结论的要求,即根据结论(目标)选择应赋的值,平时学习中要积累“赋值”的经验.11.解析(1)令x=y=1,则f(1)=2f(1),可得f(1)=0.(2)取y=1x,则f(x)+f(y)=f(x)+f1x=fx·任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则fx1x2=fx1·1x2=f(x∵x1>x2>0,∴x1x2>1,则f(x1)-f(x2)=fx1x因此函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.(3)由(2)知,f(3)=-f13由f(x)+f(x-2)>-1,可得f(x(x-2))>f(3),即f(x2-2x)>f(3).由(2)知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则x2因此不等式f(x)+f(x-2)>-1的解集为(2,3).3.2.2奇偶性一、基础过关练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于()A.-1 B.1 C.0 D.22.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a))3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()4.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=.

5.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.题组二函数奇偶性的判定6.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数7.(2019四川雅安中学高一上第一次月考)下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是()A.y=|x| B.y=3-xC.y=1x D.y=-x28.若函数f(x)=1,xA.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2-1+(2)f(x)=2x

(3)f(x)=x题组三函数奇偶性的综合运用10.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则()A.m=0,n=0 B.m=-3,n=0C.m=1,n=0 D.m=3,n=011.(2020广西柳州二中高一上月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=()A.20 B.12 C.-20 D.-1212.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,)已知函数f(x)为R上的奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,则xf(x)>0的解集是.

13.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为.

14.(2020广东湛江一中高一上期中)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=.

15.(2019天津南开高一上期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域.二、能力提升练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和是()A.4 B.2 C.1 D.02.(多选)()若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是()A.f(x)+f(-x)=0 B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)·f(-x)<0 D.f(3.()f(x)是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.题组二函数奇偶性的判定4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是()A.f(x)=x3-1x B.f(x)=C.f(x)=(x-1)1+x1−5.()已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为()A.奇函数 B.偶函数C.奇函数或偶函数 D.非奇非偶函数6.()已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数7.(多选)()设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.|f(x)|g(x)是奇函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.f(x)+|g(x)|是偶函数D.|f(x)|+g(x)是偶函数题组三函数奇偶性的综合运用8.(2020河北承德一中高一上月考,)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则()A.f-3B.f(-1)<f-3C.f(2)<f(-1)<f-D.f(2)<f-39.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,2] D.[1,3]10.(2020河南郑州高一上期末,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(深度解析)A.-1 B.1 C.2 D.011.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2-1x+1A.-23 B.C.-3 D.1112.(2019四川成都高一上期末调研,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x,0≤x≤1,-1,1<13.(2019天津河西高一上期末,)(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.14.(2020安徽师大附中高一上月考,)已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0.15.(2020山东菏泽高一上期末联考,)已知函数f(x)=x2+2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在(0,p)上单调递增,试求p的最大值.16.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;(2)若f(x)是偶函数,求a的值;(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.深度解析答案全解全析基础过关练1.A因为该奇函数的定义域为{-1,2,a,b},且奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b中一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1,故选A.2.B∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),∴点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.3.B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.4.答案1x解析举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=1x5.解析(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图①所示,易知f(3)=-2.(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图②所示,易知f(1)>f(3).6.B∵x∈(-a,a),其定义域关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.7.A选项A中,函数y=|x|为偶函数,且在区间(0,1)上为增函数,故A符合题意;选项B中,函数y=3-x为非奇非偶函数,且在区间(0,1)上为减函数,故B不符合题意;选项C中,函数y=1x为奇函数,且在区间(0,1)上为减函数,故C不符合题意;选项D中,函数y=-x28.B作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.9.解析(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.10.B由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,则m=-3.11.B由题意得f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.答案(-∞,-5)∪(5,+∞)解析∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(-5)=0.可大致用图象表示:∵xf(x)>0等价于x与f(x)同号,且均不为0,∴结合图象知解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).13.答案5解析因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.14.答案1解析由题意可得f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.15.解析(1)∵x≥0时,f(x)=x2-2x,∴当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+2x,∴f(-x)=f(x)=x2+2x.故函数f(x)的解析式为f(x)=x函数f(x)的图象如图所示.(2)由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞);单调递减区间为(-∞,-1],[0,1].函数f(x)的值域为[-1,+∞).能力提升练1.D因为y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)=0的所有实数根之和为0.2.AB∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正确;f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正确;当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C不正确;当x=0时,f(3.解析(1)根据奇函数的图象关于原点对称,可得f(x)的图象如图所示.(2)xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).4.D在选项A中,f(x)=x3-1x(x≠0),f(-x)=-x3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B中,f(x)=1−x2|x-2|-25.B依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B.6.A令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.又因为f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A.7.BDA中,令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|·g(x)=h(x),∴A中函数是偶函数,A错误;B中,令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴B中函数是奇函数,B正确;C中,由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函数,可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C错误;D中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D正确.故选BD.8.D由f(x)是偶函数且在(-∞,-1]上单调递增,得f(x)在[1,+∞)上单调递减,f-32=f32,f(-1)=f(1),又因为2>32>1,所以f(2)<f9.C因为f(x)为奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=1,所以-1≤f(x-1)≤1等价于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).由函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2.故选C.10.D∵f(x)是R上的奇函数,f(1)=1,∴f(-1)=-f(1)=-1,f(0)=0.依题意得f(3)=f(-1+4)=-f(1)=-1,f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1.因此,f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.陷阱提示在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时,f(0)=0这个特殊情况,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.11.A∵f(x)+g(x)=x2-1x∴f(-x)+g(-x)=(-x)2-1-x+1-2=x2又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=x2-1-联立①②消去g(x),得f(x)=-12x+2∴f(2)=-12×2+2+1-2×2+2=-12.答案(32,+∞)解析由已知条件画出函数f(x)的图象(图中实线部分),若对任意的x∈R,不等式f(x)>f(x-2a)恒成立,则函数f(x)的图象始终在函数f(x-2a)的图象的上方.当a<0时,将函数f(x)的图象向左平移,不能满足题意,故a>0,将函数f(x)图象向右平移时的临界情况是当D点与B点重合,且临界情况不满足题意,由图可知,向右平移的2a个单位长度应大于6,即2a>6,解得a>32,故答案为(32,+∞).13.解析(1)由题知f(x)为奇函数,且在R上是增函数,则f(2x-1)+f(3)<0⇒f(2x-1)<-f(3)⇒f(2x-1)<f(-3)⇒2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1).(2)由题知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,则f(2x-1)-f(-3)<0⇒f(2x-1)<f(3)⇒f(|2x-1|)<f(3)⇒|2x-1|<3,解得-1<x<2,即不等式的解集为(-1,2).14.解析(1)因为函数f(x)=ax+又知f12=25,所以12a1+(2)证明:∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=x21+x22由于-1<x1<x2<1,所以-1<x1x2<1,即1-x1x2>0,所以(x2-x1(3)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(t-1)+f(t)<0等价于f(t-1)<-f(t)=f(-t),即f(t-1)<f(-t),又由(2)知f(x)在(-1,1)上是增函数,所以-1<t-1即原不等式的解集为t015.解析(1)因为函数f(x)=x2即x2+2a所以f(x)=x2(2)f(x)=x2+2-3x=-13x2+2x=-13·则Δf(=-=-=-13·=-13·x因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0.当x1,x2∈(0,2]时,x1x2-2<0,从而Δf(x)Δx>0;当x1,x2∈[2,+∞)时,x因此f(x)在(0,2]上是增函数,f(x)在[2,+∞)上是减函数.由题知f(x)在(0,p]上单调递增,所以p的最大值为2,即p的最大值为2.16.解析(1)我同意王鹏同学的观点.理由如下:假设f(x)是奇函数,则由f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无解,∴f(x)不可能是奇函数.(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).解题模板利用奇偶性确定函数解析式中参数的值时,选择题、填空题中可用特殊值法简化运算;解答题中要结合定义写出完整的解题过程,若用特殊值法得到参数的值仍需要进一步证明.

第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一求函数的最大(小)值1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是()A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),22.函数f(x)=1x在区间(-∞,-1]上A.有最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.既有最大值,也有最小值D.既无最大值,也无最小值3.函数y=x2-2x+3(-1≤x≤2)的值域是()A.R B.[3,6]C.[2,6] D.[2,+∞)4.函数y=x+3,xA.3 B.4 C.5 D.65.某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数的定义域);(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.6.已知不等式x2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若0<x<1,f(x)=ax+b

题组二函数最大(小)值的综合运用7.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2 B.-2 C.2或-2 D.08.若函数f(x)=kx在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为A.10 B.10或20C.20 D.无法确定9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.

10.已知函数f(x)=1a-1(1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在区间12

题组三函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用11.若∀x∈0,12A.0 B.-2 C.-52 D.-12.已知函数f(x)=-x2+4x+m,若∃x∈[0,1],f(x)=0,则m的取值范围是()A.[-4,+∞) B.[-3,+∞)C.[-3,0] D.[-4,0]13.已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2.(1)求a,b的值;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围.14.已知函数f(x)=x-1(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.15.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a.(1)若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值;(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.

能力提升练题组一求函数的最大(小)值1.函数f(x)=x+1x+2A.13 C.43 2.已知f(x)=min{x2-2x,6-x,x},则f(x)的值域是()A.(-∞,3) B.(-∞,3]C.[0,3] D.[3,+∞)3.函数f(x)=2x-x+1的最小值为A.-178 C.-198 D.-4.(多选)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是()A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5D.当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(a);当a>1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为15.已知函数f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].(1)若a=12(2)若a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.题组二函数最大(小)值的综合运用6.若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254A.(0,4] B.3C.32,3 7.若关于x的不等式|x-4|+|x+3|<a有实数解,则实数a的取值范围是()A.(7,+∞) B.[7,+∞)C.(1,+∞) D.(1,7)8.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.0,12 C.(0,3] D.[3,+∞)9.(多选)已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),则下列结论正确的是()A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)B.∃x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)C.∃x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]D.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)10.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4,设f(x)=g((1)求a,b的值;(2)若不等式f(x)-kx-4≤0在x∈[-1,0)时恒成立,求实数k的取值范围.第2课时函数的最大(小)值答案全解全析基础过关练1.C由题图可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.2.B函数f(x)=1x3.C函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2(-1≤x≤2),其图象开口向上,且对称轴方程为x=1,故当x=1时,函数取得最小值2,当x=-1时,函数取得最大值6.故值域为[2,6].4.C当x<1时,函数y=x+3单调递增,有y<4,无最大值;当x≥1时,函数y=-x+6单调递减,在x=1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.5.解析(1)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a≠0),由题中表格可得45a+所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,所以30≤x≤54,故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54].(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].所以当x=42时,Pmax=432,即当销售单价为42元时,能获得最大的日销售利润.6.解析(1)依题意可得方程x2-5ax+b=0的根为4或1,∴由根与系数的关系得4+1=5a,(2)由(1)知f(x)=1x+4∵0<x<1,∴0<1-x<1,1x>0,4∴1x+41−x=1x+41−当且仅当1−xx=4x7.C由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知,a=±2.8.C当k=0时,不符合题意;当k>0时,f(x)=kx在[2,4]上是减函数,∴f(x)min=f(4)=k当k<0时,f(x)=kx在[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)=k又∵k<0,∴k=10舍去.综上知,k=20.9.答案20解析设矩形花园的边长x的邻边长为y,则x40=40−y40,即y=40-x,由此可知,矩形花园的面积S=x·(40-x)=-x210.解析(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1a-1x=x1∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由题意及(1)知f(x)=1a-1x在区间∴f(x)max=f(4)=5,∴f(4)=1a-14=5,解得a=11.D设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对一切x∈0,12都成立,可得f(x)min≥0.因为f(x)在0,12上是减函数,所以当x∈0,12时,f(x)min=a+12,所以a+112.C∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m,f(x)min=f(0)=m,即函数f(x)的值域为[m,m+3].由方程f(x)=0有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+3≥0,解得-3≤m≤0,故选C.13.解析(1)∵f(x)=ax2-4ax+b(a>0),∴函数f(x)的图象开口向上,且图象的对称轴方程为x=2,∴f(x)在[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)=b=1,f(x)min=f(1)=b-3a=-2,∴a=b=1.(2)由f(x)>-x+m,可得x2-4x+1>-x+m即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).14.解析(1)f(x)在[3,5]上为增函数.证明:任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-1=3(x∵3≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[3,5]上为增函数.(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,∴f(x)min=f(3)=25∴25>a,即a<2故实数a的取值范围是-∞,2(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知f(x)max>a.由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,∴f(x)max=f(5)=47∴47>a,即a<4故实数a的取值范围是-∞,415.解析(1)若a=2,则f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2,∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,又f(0)=-1,f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.(2)易知函数图象的对称轴为直线x=a,①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;②当0<a<1时,函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,在区间[a,1]上单调递减,则f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合题意;③当a≥1时,函数f(x)在区间