3.3.1 抛物线及其标准方程-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第三章：圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程【考点梳理】考点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.考点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离．【题型归纳】题型一：抛物线的定义（方程、最值）1．（2021·全国高二课时练习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离（）．A． B． C． D．2．（2021·东城·北京二中高二月考）抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（）A． B．C． D．3．（2021·全国高二课时练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（2，2） C． D．题型二：抛物线的四种标准方程4．（2021·全国高二课时练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（）A． B．C．或 D．或5．（2021·吉林农安·高二期末（理））已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·四川省内江市第六中学（理））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（）A． B． C． D．题型三：抛物线焦半径的公式7．（2021·全国）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（）A．3 B． C．5 D．8．（2021·全国高二课时练习）过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（）A．3 B．2 C． D．19．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，设A和B是C上的两点，且M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到y轴的距离的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8题型四：抛物线的方程常见求法10．（2021·东城·北京二中高二月考）己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求所在的直线方程.11．（2021·哈密市第十五中学（理））根据条件求下列方程.（1）顶点在原点，准线方程是的抛物线方程；（2）已知双曲线过点并且与有共同的渐近线，求双曲线的标准方程.12．（2021·全国高二专题练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）过点P(2，-4)；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.【双基达标】一、单选题13．（2021·山西平城·大同一中高二月考）若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（）A．6 B． C．7 D．14．（2021·全国高二课时练习）在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A． B．2 C．1 D．415．（2021·全国高二课时练习）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．16．（2021·绥德中学高二月考（文））已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（）A．1 B．2 C．3 D．417．（2021·全国高二课时练习）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为（）A．9，2 B．1，18 C．9，2或1，18 D．9，18或1，218．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（）A． B． C． D．919．（2021·全国高二课时练习）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），的周长为12，则（）A．4 B． C． D．520．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线第一象限内一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（）A． B． C． D．21．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（理））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）A． B． C． D．22．（2021·全国高二课时练习）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题23．（2021·全国高二单元测试）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．824．（2020·河北易县中学高二月考）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为A． B． C． D．25．（2021·全国高二课时练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．626．（2021·全国高二专题练习）已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为A． B． C． D．27．（2021·泉州鲤城北大培文学校高二期中）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为A． B． C． D．28．（2020·高台县第一中学高二期中（文））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．29．（2020·福建省南安市柳城中学高二期中）已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为A． B． C． D．30．（2019·河南宛城·南阳中学高二月考（理））抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则A． B． C． D．二、多选题31．（2021·全国高二专题练习）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是A．2 B．6 C．4 D．832．（2020·如皋市第一中学高二月考）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹曲线是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”33．（2021·全国高二期中）已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是（）A．双曲线的离心率为 B．抛物线的准线方程是C．双曲线的渐近线方程为 D．34．（2020·广东实验中学越秀学校高二期中）设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为B．的最小值为6C．存在直线，使得、两点关于对称D．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切35．（2020·江苏高二专题练习）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（）A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x36．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（）A． B． C． D．△的面积为三、解答题37．（2021·全国高三专题练习（文））已知点，直线，动点P到点F与到直线l的距离相等，求动点P的轨迹C的方程.38．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程．39．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.（1）求三角形的面积；（2）求此抛物线方程.40．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．41．（2021·上海市新场中学高二期中）已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离.（1）求曲线的方程；（2）求直线被曲线截得线段长.42．（2021·浙江湖州·）已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于､两点，与圆交于点，点是线段的中点.（1）求抛物线的准线方程；（2）求的面积.43．（2021·广西河池·（文））已知椭圆的一个焦点与抛物线：的焦点重合，点是抛物线的准线与轴的交点．（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与曲线交于，，若的面积为72，求直线的方程．【答案详解】1．D【详解】因为抛物线所以抛物线焦点，准线方程，点到准线距离为，到轴距离，故选：D2．B【详解】因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为，由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.故选：B3．B【详解】如图所示：设点P到准线的距离为，准线方程为，所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．故选：B．4．C【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．5．B【详解】解：抛物线的准线与圆相切，可得，解得．故选：B．6．C【详解】抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，，．故选：C．7．B【详解】由抛物线方程，得其准线方程为.设，，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为．故选：B.8．C【详解】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．故选：C.9．A解：因为C的方程为y2＝4x，所以F（1，0），过A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为E，过B作准线的垂线，垂足为D，过M作准线的垂线，垂足为K，根据抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝|AE|+|BD|≥|AB|＝6，则|MK|＝（|AE|+|BD|）≥3，所以，线段MN的中点M到C的准线x＝﹣1的距离最小值为3，故点M到y轴的距离最小值为3﹣1＝2.故选：A.10．(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或.【详解】(1)因点在抛物线方程上，则，所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，由消去x得：，设，则有，于是得，解得，即直线AB：，所以所在的直线方程：或.11．（1）；（2）.【详解】(1)∵抛物线的顶点在原点，准线方程是，∴可设抛物线的方程为，且p=4，∴抛物线的标准方程为，(2)∵双曲线与双曲线有共同的渐近线，∴可设双曲线方程为，又双曲线过点，∴，∴，故双曲线的标准方程.12．（1）y2=-12x；（2）y2=8x或x2=-y；（3）y2=±2x或y2=±18x.【详解】（1）双曲线方程为，其左顶点为(-3，0)，由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则抛物线焦点为，，解得p=6，所以所求抛物线方程为为y2=-12x；（2）由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，则抛物线准线为，由抛物线定义得，又(-3)2=2pm，显然p，m同号，从而得或，解得p=±1或p=±9，所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.13．A【详解】设点，因为抛物线方程为x2=8y，所以其准线方程为，又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，由抛物线的定义得：，交点，所以点P的纵坐标为6，故选：A14．B解：由题意可得抛物线开口向右，焦点坐标，，准线方程，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即，解之可得.故选：B.15．D【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.故选：D16．B【详解】由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．故选：B．17．C【详解】因为点到对称轴的距离为6，所以不妨设．因为点到准线的距离为10，所以，解得或，故选：C．18．B【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，将此方程代入，整理得．设，，则，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：B．19．A【详解】因为，所以.又是抛物线上一点，所以，则是等边三角形.又的周长为12，所以，故选：A20．A【详解】抛物线焦点为，因为点到抛物线的焦点的距离为，所以点到抛物线的准线的距离为，则点的横坐标为，将代入抛物线方程得，即，所以直线的斜率为.故选：A21．A【详解】因为抛物线，所以，由抛物线的定义得：，解得，则，所以的面积为，故选：A22．B【详解】由抛物线定义，等于到准线的距离，因为，所以，又，从而，又因为在抛物线上，代入抛物线方程，解得．故抛物线方程为．故选：B23．D【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．24．B【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,如图:过点P作准线的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,设,则,解得,将代入可得,所以△的面积为=.故选B.25．B【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：，本题正确选项：26．C【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，因为是该抛物线上的两点，故，所以，又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.27．C【详解】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．28．B【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为．故选B．29．A【详解】由题意，椭圆，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，，即，则抛物线方程为，准线方程为，，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，又点在抛物线上，，不妨取点坐标，关于准线的对称点的坐标为，则，即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.30．B【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.31．AC【详解】设的横坐标为，由题意，，，解得或.故选：AC32．BCD【详解】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，把代入抛物线，消去y并整理得因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；把代入抛物线，消去y并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选：BCD．33．BC【详解】由双曲线：的实轴长为2，可得，又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，则，可知双曲线：，所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是，双曲线的渐近线方程为，所以A不正确；B、C正确，联立方程组，解得，所以，所以D不正确.故选：BC.34．BD【详解】，故，，故，错误；过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；设，，设中点则，，相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；故选：.35．BCD【详解】根据题意，作图如下：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，，，所以A不正确，焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.故选：BCD．36．BCD【详解】选项A.由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.选项B.所以，，抛物线方程为将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确选项C.当时，则，则直线的方程为：则，得，解得或所以，则，同理当时，可得，所以C正确.选项D.由上可知当时，同理当时，，所以D正确.故