湖北省十堰市郧阳区第一中学2025届高三8月联合教学质量检测数学试卷（解析版）

湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2024学年高三8月联合教学质量检测数学试卷高三数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.【详解】因为角的终边上有一点的坐标为，所以，故A，B，C错误.故选：D.2.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得，即，所以，，，即A、B、C三选项错误，D正确.故选：D3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（）A.30° B.45°C.30°或150° D.45°或135°【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求解．【详解】由正弦定理得，，又，即，又∵，∴或，故选：D．4.已知，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由的范围及同角三角函数的平方关系和商数关系得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可．【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，故选：A．5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件结合诱导公式进行角的变换，再利用二倍角公式计算作答.【详解】因，所以.故选：B6.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A.20 B.27 C.32 D.40【答案】B【解析】【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.【详解】依题意得，解得，，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以.故选：B7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即故选：D.8.已知在(0,π)上存在唯一实数x0使又任意的，均有成立，则实数ω的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简，根据任意的，均有成立求出的最大值，求出，求出，求出的范围，根据在上存在唯一实数使求出实数的取值范围.【详解】，其中，因为任意的，均有成立，所以成立，所以的最大值为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为在上存在唯一实数使，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据任意的，均有成立求出的最大值，求出.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（）A.10月测试成绩为“优秀”的学生有40人B.9月体育测试中学生的及格率为C.从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长D.12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多【答案】CD【解析】【分析】通过统计图一一分析选项即可.【详解】由图易知全体学生有人，而10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有50人，故A错误；9月体育测试中学生的及格及以上人数为人，占比为，即及格率为，故B错误；由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长，11月比10月增长，显然C、D正确.故选：CD10.下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用一次函数、反比例函数的性质逐项判断即得.【详解】对于A，函数中，，函数值随增大而减小，A不是；对于B，函数中，，函数值随的增大而增大，B是；对于C，函数的图象由函数的图象左移1个单位而得，而当时，函数的函数值随的增大而增大，因此当时，函数的函数值随的增大而增大，C是；对于D，当时，反比例函数的函数值随的增大而减小，D不是.故选：BC11.如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（）A.当点是的中点时，四边形是平行四边形B.的值为常数C.当时，D.当时，【答案】ABC【解析】【分析】根据平行四边形的判定即可求解A,根据三角形全等，即可求解B，根据三角形的边角关系，角平分线以及内角和关系即可求解CD.【详解】对于A．当点是的中点时，，，，，四边形是平行四边形，故A正确；对于B．连接，，，，，，同理可证：，，，，为等腰直角三角形，，故B正确；对于C．当时，，，，，，，，故C正确；对于D．当时，，，，，，，故D错误，故选：ABC．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设是一个随机试验中的两个事件，若，则______．【答案】【解析】【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.【详解】，将代入可以求得，，将，代入，求得故答案为：.13.已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由三角恒等变换将函数化简，再由正弦函数的图像性质可得，代入计算，即可求解.【详解】因为，当时，，由于函数在区间内恰有3个零点，则有，解得，所以的取值范围是.故答案为：14.已知函数，若，，且，则的最小值是______【答案】8【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，又，所以函数单调递增，又，所以，所以，即，所以，当且仅当，即，，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积与相应规划管理时间具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值：，，，．（1）求关于的经验回归方程；（2）调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率．参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求出样本中心点，再结合公式计算得出回归方程即可;(2)先应用条件概率求出概率，再应用n次独立重复实验求出概率即得.【小问1详解】,所以.【小问2详解】家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立,设不同意参与规划管理为事件A，设有女士不同意参与规划管理为事件B,,若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，设其中至少2家有女士不同意参与规划管理为事件C．16.为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：月工资百元男员工数1810644女员工数425411（1）完成如图所示的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；（2）估计该单位员工的月平均工资；（3）若从月工资在和内的两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差超过1000元的概率.【答案】（1）答案见解析（2）4300元（3）.【解析】【分析】（1）求出各个组的频率，最后得到各组长方形的高，最后画出频率分布直方图；（2）平均值等于各个小矩形的面积乘以组中值之和；（3）分层比得到抽取的人数后结合列举法解题即可．【小问1详解】先求出各组的频率（从左到右）分别为：，再根据各组长方形面积为频率，组距为10,求出各组高（从左到右）分别为：.画出月工资频率分布直方图如图所示：【小问2详解】，即该单位员工月平均工资估计为4300元.【小问3详解】由题中频数分布表知，月工资在组的女员工有4人，分别记为，；月工资在组的女员工有2人，分别记为.现从这6人中随机选取2人，样本空间，共15个样本点.记“这2人月工资差超过1000元”为事件，则，共8个样本点，故所求概率.17.已知函数，求：（1）函数y=fx（2）的单调递减区间；（3）求的极大值和极小值．【答案】（1）（2），（3）极大值为，极小值为【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间；（3）根据（2）可求极值.【小问1详解】由题意得：，，又，的图象在处的切线方程为，即.【小问2详解】由（1）知：，当时，f'x<0；当时，f'x∴fx的单调递减区间为，.【小问3详解】根据（2）可知，当为函数的极小值点，且，当为函数的极大值点，且，所以的极大值为，极小值为.18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．【答案】（1）答案见解析；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数导函数，再分、、三种情况，分别求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【小问1详解】函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以单调递减；当时，令，即，解得，，因为，所以，则，所以当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，此时，所以时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减．综上可得：当时在单调递减；当时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知．（ⅱ）由（1）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，所以，则，又，又，所以在上没有零点，又，则，则，，则，所以，所以在上存在一个零点，综上可得函数有且只有一个零点．19.设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．（1）若，求数列的“点”；（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．【答案】（1）3，5（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由通项公式写出数列各项，根据数列an的“点”定义确定结论；（2）利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，解不等式可得的范围，再对所得结果加以验证即可，（3）先证明若，则，结论成立，再证明若存在，使得，则数列an存在“点”，数列an的“点”由小到大依次为，结合关系完成证明.【小问1详解】因为所以，所以数列an的“点”为3，5，【小问2详解】依题意，，因为数列存在“点”，所以存在，使得，所以，即.因为，所以，所以，又随的增大而增大，所以当时，取最大值，所以，又，所以.当时，有，所以数列存在“点”，所以的取值范围为，【小问3详解】①若，则数列an不存在“点”，即.由得，，所以，②若存在，使得.下证数列an有“点”.证明:若，则2是数列an的“点”;若，因为存在