课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题六数列2等差数列及其前n项和试题文

PAGEPAGE12等差数列及其前n项和探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点等差数列的定义及通项公式①理解等差数列的概念.②驾驭等差数列的通项公式.③了解等差数列与一次函数的关系2024课标全国Ⅲ,14,5分等差数列基本量的计算求和公式★★★2024课标全国Ⅱ,17,12分等差数列基本量的计算分段函数等差数列的性质能利用等差数列的性质解决相应问题2024课标Ⅱ,5,5分等差数列性质的应用求和公式★★★等差数列的前n项和驾驭等差数列的前n项和公式2024课标全国Ⅱ,17,12分求前n项和的最值二次函数求最值★★★2024课标Ⅰ,7,5分等差数列前n项和公式等差数列的通项公式2024课标全国Ⅰ,18,12分求等差数列的通项公式及前n项和不等式的求解分析解读等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.破考点练考向【考点集训】考点一等差数列的定义及通项公式1.(2024陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从其次天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最终一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?()A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺答案C2.已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an+12=an+2A.16 B.8 C.4 D.22答案C3.(2024河南开封定位考试,17)已知数列{an}满意a1=12,且an+1=2(1)求证:数列1a(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.答案(1)证明:∵an+1=2an2+an∴1an+1-1∴数列1an是以2为首项,(2)由(1)知an=2n+3,∴bn=4(∴Sn=41=414-1考点二等差数列的性质(2024湖北宜昌模拟,6)已知数列{an}满意5an+1=25·5an,且a2+a4+a6=9,则log13A.-3 B.3 C.-13 D.答案A考点三等差数列的前n项和答案D2.(2024江西九江高三第一次十校联考,7)已知数列{an}满意2an+1=2an-1(n∈N*),a1=1,S=a1+a4+a7+…+a37,则S的值为()A.130 B.-104 C.-96 D.370答案B3.(2024福建龙岩永定模拟,10)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=3A.1813 B.6323 C.33答案D炼技法提实力【方法集训】方法1等差数列的判定与证明的方法(2024福建三明模拟,17)已知数列{an}中,an=2n-1.(1)证明:数列{an}是等差数列;(2)若数列{an}的前n项和Sn=25,求n.答案(1)证明:∵an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1,∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2.(2)由(1)得数列{an}的前n项和Sn=n+(n-1)n2×2=n方法2等差数列前n项和的最值问题的解决方法1.(2024江西高安模拟,11)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,满意a1+3a2=S6,给出下列结论:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S7最小;(4)S5=S8.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C2.(2024福建龙岩新罗模拟,12)已知等差数列{an}的公差为-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若Sn≤Sm对随意的n∈N*恒成立,则实数m=()A.7 B.6 C.5 D.4答案B3.(2024福建龙岩新罗模拟,16)等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,且S6<S7,S6>S8,给出下列结论:①数列{an}的公差d<0;②S9<S6;③S14<0;④S7肯定是Sn中的最大值.其中正确的是(填序号).

答案①②③④【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2024课标全国Ⅲ,14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.

答案1002.(2024课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.答案(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25所以{an}的通项公式为an=2n(2)由(1)知,bn=2n当n=1,2,3时,1≤2n+35当n=4,5时,2<2n+35当n=6,7,8时,3≤2n+35当n=9,10时,4<2n+35所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)考点二等差数列的性质(2024课标Ⅱ,5,5分)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5 B.7 C.9 D.11答案A考点三等差数列的前n项和1.(2024课标Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172 B.192答案B2.(2024课标全国Ⅰ,18,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.答案本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础学问的驾驭程度和应用实力,主要考查数学运算的核心素养.(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.3.(2024课标全国Ⅱ,17,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.答案(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2024浙江,8,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn}是等差数列 B.{SnC.{dn}是等差数列 D.{dn答案A2.(2024江苏,8,5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.

答案16考点二等差数列的性质(2024陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2024,则该数列的首项为.

答案5考点三等差数列的前n项和1.(2024浙江,6,4分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案C2.(2024北京,16,13分)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.答案本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础学问、基本运算,考查的学科素养为数学运算.(1)设{an}的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.所以,Sn的最小值为S6=-30.C组老师专用题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2024辽宁,9,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{2aA.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0答案D2.(2013安徽,7,5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6 B.-4 C.-2 D.2答案A3.(2024陕西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2024(x)的表达式为答案f2024(x)=x4.(2024浙江,19,14分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.答案(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故2所以m5.(2024北京,16,13分)已知等差数列{an}满意a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn}满意b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{an}的第几项相等?答案(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列{an}的第63项相等.6.(2024福建,17,12分)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b答案(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得a解得a所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=2(1=(211-2)+55=211+53=2101.7.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满意S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列1a答案(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+n(由已知可得3a1+3d=0故{an}的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1从而数列1a121-1-11+11-13+…+128.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=2π3,求a答案(1)证明:由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为sinB≠0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=2π3,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=考点二等差数列的性质1.(2024课标Ⅱ,5,5分)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1) B.n(n-1)C.n(n答案A2.(2024重庆,2,5分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5 B.8 C.10 D.14答案B3.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列ann是递增数列; p4:数列{a其中的真命题为()A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4答案D考点三等差数列的前n项和答案D2.(2024安徽,13,5分)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),则数列{an}的前9项和等于答案273.(2024重庆,16,13分)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满意q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.答案(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a1+a(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.从而{bn}的前n项和Tn=b1(1-q4.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.答案(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+21当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-21综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-【三年模拟】时间:50分钟分值:70分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(命题标准样题,4)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S5=2S4,a1=2,则a6=()A.-15 B.-13 C.13 D.15答案B2.(2024河南开封定位考试,5)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列{an}的公差为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B3.(2025届广西岑溪模拟,4)在等差数列{an}中,a2+a3=1+a4,a5=9,则a8=()A.14 B.15 C.16 D.17答案B4.(2024江西上饶二模,3)已知等差数列{an},a10=10,其前10项和S10=70,则公差d=()A.-29 B.29 C.-2答案D答案D6.(2024河北衡水中学二调,3)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对随意n>1,n∈N*,满意Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值为()A.90 B.91 C.96 D.100答案B7.(2024山西运城月考,8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=()A.12 B.14 C.16 D.18答案B8.(2024湖北黄冈八模,6)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,若SnTn=2018A.528 B.529 C.530 D.531答案D9.(2025届河南南阳模拟,7)《九章算术》是我国最重要的数学典籍,曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节”问题,题意是:有一根竹子,共九节,各节的容积依次成等差数列.已知较粗的下3节共容4升,较细的上4节共容3升.依据上述条件,这根竹子各节容积的总和是()A.20122 B.21122 C.601答案A二、填空题(共5分)10.(2024四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意