2023年新高考全国I卷数学真题

高中数学精编资源2/22023年全国统一高考数学试卷(新课标I卷)(适用地区：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江)注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={−2,−1,0,1,2},N={x|x2−x−6≥0},则M∩N=()A.{−2,−1,0,1}B.{0,1,2}C.{−2}D.{2}2.已知z=,则z−=()A.−iB.iC.0 D.1 3.已知向量a=(1,1),b=(1,−1).若(a+λb)⊥(a+μb)则()A.λ+μ=1B.λ+μ=−1C.λμ=1D.λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是()A.(−∞,−2]B.[−2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)5.设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=()A. B.C.D.6.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=()A.1 B.C.D. 7.记Sn为数列{an}的前项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件又不是必要条件8.已知sin(α−β)=,cosαsinβ=,则cos(2α+2β)=()A.B.C.−D.−二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级LP=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压,下表为不同声源的声压级声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3则()A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p211.已知函数f(x)定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点12.下列物体,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体三、填空题13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).14.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为.15.已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.16.已知双曲线C:−=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=−,则C的离心率为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A−C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.18.如图,在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2//A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P−A2C2−D2为150°,求B2P.19.已知函数f(x)=a(ex+a)−x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+.20.设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99−T99=99,求d.21.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若若命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).22.在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3.

参考答案1.答案:C解析:∵x2−x−6≥0⇔(x−3)(x+2)≥0,∴N=(−∞,−2]∪[3,+∞),又∵M={−2,−1,0,1,2},∴M∩N={−2},故选C.2.答案:A解析:∵z====−,∴=i,z−=−i−i=−i,故选A.3.答案:D解析:由题意得a+λb=(1+λ,1−λ),a+μb=(1+μ,1−μ),∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)∙(a+μb)=0即(1+λ)(1+μ)+(1−λ)(1−μ)=0,整理得λμ=−1,故选D.4.答案:D解析:∵y=2x在R上是单调增函数,∴函数y=x(x−a)=(x−)2−在(0,1)上单调递减,∴≥1⇒a∈[2,+∞),故选D.5.答案:A解析:由e2=e1,得=3,即=3∙,解得a=.6.答案:B解析:圆C:x2+y2−4x−1=0化简得(x−2)2+y2=5,圆心为C(2,0),r=.设∠CPA=θ,则α=2θ,如图,P(0,−2),则sinθ==,则cosθ=,所以sinα=sin2θ=2sinθcosθ=.7.答案:C解析:数列{an}为等差数列⇔an=an+b⇔Sn=⇔=an+(2a+b)为等差数列,所以甲是乙的充要条件.8.答案:B解析:已知sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=,cosαsinβ=,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1−2sin2(α+β)=1−2×()2=.9.答案:BD解析:对于选项A,如1、2、2、2、4的平均数不等于2、2、2、2的平均数,故错误;对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,所以B正确;对于选项C,x1,x2,…,x6的数据波动性更大,所以C错误;对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5−x2≤x6−x1,故正确.10.答案:ACD解析:燃油汽车L=20×lg∈[60,90],∴=10,L∈[60,90]①=10,L∈[50,60]②=10=102=100③对于A选项,由表知L≥L,所以A正确;对于B选项,②÷③,=10∈[10,101],∴<10,所以B错误;对于C选项,=10=102=100,所以C正确;对于D选项,①÷②,=10∈[100,102],∴∈[1,100],p1≤100p2所以D正确.11.答案：ABC解析:对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1)⇒f(1)=0所以B正确:对于选项C,令x=−1,y=−1,f[(−1)×(−1)]=(−1)2×f(−1)+(−1)2×f(−1)=2f(−1)⇒f(−1)=0.再令x=−1,y=x,f[(−1)×x]=x2×f(−1)+(−1)2×f(x)⇒f(−x)=f(x)所以C正确;对于选项D,函数f(x)=0为常数函数,且满足原题f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.12.答案:ABD解析:对于A选项,正方体内切球直径为1米,故A正确;对于B选项,如图,正方体内部最大的正四面体棱长为BA1=,>1.4,故B正确;对于C选项,如图,底面直径为0.01米,可忽略不计.高为1.8米,可看作高为1.8米的线段,而体对角线为<1.8,故C错误;对于D选项,如图,高为0.01米,可忽略不计,看作直径为1.2米的平面图.E、F、G、H、I、J为各棱中点,六边形EFGHIJ为正六边形,其棱长为m,其内切圆直径为FH.∴∠GFH=∠GHF=30°,∴FH=FG=GH=m,()2=>(1.2)2=1.44所以D选项正确.13.答案:64解析:若选修2门课,则需要从体育类和艺术类中各选择1门,共有CC=16种;若选修3门课,则分为两种情况,2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类,共有2CC=48种;故选课方法一共有48+16=64种.14.答案:解析:在等腰梯形A1C1AC中,AC=2,A1C1=,AA1=,则h=,V=(S+S'+)h=(1+4+)×=.15.答案:[2,3)解析:x∈[0,2π],ωx∈[0,2ωπ],则4π≤2ωπ<6π,所以2≤ω<3.16.答案:解析:设BF2=3m,则有AF2=2m,BF1=3m,AF1=2m+2a.在Rt△ABF1中,(5m)2=(3m)2+(2m+2a)2即3m2=2am+a2即a=m或a=−3m(舍),又cos∠AF2F1=−cos∠BF2F1,即=−,即c2−a2−2am=−.代入a=m,有e=.17.答案:见解析解析:(1)因为A+B+C=π,A+B=3C,所以A+B+C=4C=π,解得C=,所以2sin(A−C)=sin(A+C),即2sinAcosC−2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,化简得sinAcosC=3cosAsinC,所以sinA=3cosA,因为sin2A+cos2A=1,0<A<π,解得sinA=.(2)由sinA=得,cosA=,所以sinB=,由正弦定理==得,==,解得AC=2,BC=3,得AB边上的高为h,由三角形的面积公式,AC∙BC∙sinC=AB∙h,解得h=6.18.答案:见解析解析:(1)作A2E⊥BB1于E,D2F⊥CC1于F;则A2E//D2F,在口A2EFD2中,又C2F=B2E=1,则C2B2//EF//A2D2,得证.(2)如图建系,设P(0,0,h),又C2(2,0,3),A2(0,2,1),D2(2,2,2),则=(2,0,1),=(2,−2,2),=(0,−2,h−1),平面A2D2C2的法向量n1=(1,−1,−2),平面A2C2P的法向量n2=(h−3,h−1,2),则=|cos150°|,则h=1或h=3,所以B2P=1.19.答案:见解析解析:(1)f′(x)=aex−1,当a≤0时,f′(x)<0在R上恒成立,f(x)在R上单调递减;当a>0时,令f′(x)=0,x=−lna,在(−∞,−lna)上f′(x)<0,在(−lna,+∞)上f′(x)>0；所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递减,在(−lna,+∞)上单调递增;综上所述:当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(−∞,−lna)上单调递减,在(−lna,+∞)上单调递增.(2)由(1)可得,当a>0时,当x=−lna时,最小值f(x)min=f(−lna)=1+a2+lna,要证f(x)>2lna+成立,即证最小值f(x)min=1+a2+lna>2lna+,即证a2−lna−>0,令h(a)=a2−lna−,则h′(a)=2a−=,令h′(a)=0,解得a=,当a∈(0,)时,h′(a)<0,h(a)单调递减,当a∈(,+∞)时,h′(a)>0,h(a)单调递增,所以当a=时,最小值h(a)min=+−=>0,所以当a>0时,f(x)>2lna+成立.20.答案:见解析解析:(1)由3a2=3a1+a3,得a1=d;又S3+T3=a1+a2+a3+b1+b2+b3=6d+=21,即2d2−7d+3=0,所以d=3,故an=3n.(2)由题意得,设,则anbn=n2+n,即(pn+q)(sn+t)=n2+n,由此可得:psn2+(tp+sq)n+tq=n2+n,显然tq=0,q=0或t=0;当t=0时,bn=sn,显然与题意不符,所以q=0,又因为等差数列{an}的公差为d,即p=d,an=dn,所以bn===,则S99−T99=(a1−b1)+(a2−b2)+(a3−b3)+…+(a99−b99)=[(d−)n−]=99,即(d−)×−99×=99,可得d=.21.答案:见解析解析:(1)第1次投篮有两种情况:甲投篮、乙投篮,概率均为0.5.如果第1次是甲投篮,则第2次是乙投篮当且仅当甲在第1次投篮中若命中;如果第1次是乙投篮,则第2次是乙投篮当且仅当乙在第1次投篮中命中.根据全概率公式,第2次投篮的人是乙的概率:0.5×(1−0.6)+0.5×0.8=0.6(2)记Pi为第i次投篮的人是甲的概率,则1−Pi为第i次投篮的人是乙的概率.由题目可知,P1=0.5.当i≥2时,与(1)问类似,第i−1次投篮有两种情况:甲投篮、乙投篮.如果第i−1次是甲投篮,则第i次是甲投篮当且仅当甲在第i−1次投篮中命中;如果第i−1次是乙投篮,则第i次是甲投篮当且仅当乙在第i−1次投篮中若命中.根据全概率公式:Pi=Pi−1×0.6+(1−Pi−1)×(1−0.8)=0.4×Pi−1+0.2,这是一个数列递推公式,两边同时除以0.4i,整理得:−=利用累加法,等号两边同时对i从2到i求和得(注意到等号右边是一个等比数列):−=++…+=×代入P1=0.5,整理得:Pi=+×