人教版九年级上册数学22.3 实际问题与二次函数同步训练

22.3实际问题与二次函数一、课堂学习检测（本题包括3小题）1.矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．2.如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．3.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取43=7，二、综合、运用、诊断（本题包括4小题）4.如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?6.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?7.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?三、拓展、探究、思考8.已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、课堂学习检测1.【答案】y＝－x2＋3x(0＜x＜3)，图见解析．【解析】（1）根据矩形周长=2×（长+宽），可由周长为6m和宽为xm把矩形表示出来.再由矩形面积=矩形的长×矩形的宽就可列出函数关系式；（2）根据“矩形的宽大于0，而小于矩形周长的一半”可求出x的取值范围，并由此可画出函数的图像.解：由题意可得：y=（3-x）x=-x2+3x，故此函数是二次函数，自变量取值范围为：

0＜x＜3，其图象如图所示：

．2.【答案】5小时．【解析】首先在图中建立合适的坐标系（这里选择AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，也可另外建立），然后根据题目中的已知条件可得A,B,C,D四点的坐标，设出解析式，代入相应点的坐标建立方程（组），解方程（组）求得待定系数的值得到解析式，由解析式可得到顶点E的坐标，再结合题中条件可解得答案.解：如上图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则由已知得A（4，0），D（2，3），设抛物线解析式为：y=ax2+c，把A、D坐标代入解析式可得：16a+c=04a+c=3，解得：∴顶点E的坐标为（0，4），设CD与y轴的交点为点F，∴EF=4-3=1（m），∵1÷0.2=5（小时），∴水过警戒水位后5小时淹到桥拱顶.3.【答案】(1)y=−1【解析】（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．（2）先求出OC的长，根据图示可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得2=-112（x-6）2解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-h）2+k，∵h=6，k=4，∴y=a（x-6）2+4，由已知：当x=0时y=1，即1=36a+4，∴a=-112∴表达式为y=-112（x-6）2+4=-112x（2）令y=0，-112（x-6）2∴（x-6）2=48，解得：x1=43+6≈13，x2=-4∴OC≈13，如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴2=-112（x-6）2+4，解得：x1=6-26，x2=6+∴CD=|x1-x2|=46∴BD=13-6+10=17（米）．二、综合、运用、诊断4.【答案】（1）AB长为5米；（2）围成长为10米，宽为143米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为【解析】（1）由题意可知围成该花圃需要用到篱笆的宽有三条，而长只有一条，设宽AB的长为xm，则长BC为（24-3x）m，再设长方形面积为y，由矩形面积公式可得：y关于x的函数关系式，由y=45解得对应的x的值，可得答案；（2）把（1）中所得解析式配方化为顶点式，然后结合自变量的取值范围可求得y的最大值，把最大值与45比较可得结论，并进一步可由自变量的取值范围和解析式求得最大面积；解：(1)设花圃的宽AB＝x米，知BC应为(24－3x)米，故面积y与x的关系式为y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．当y＝45时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．当x2＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；当x2＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．故AB长为5米．(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∵0<24−3x≤10，∴143由抛物线y＝－3(x－4)2＋48知，在对称轴x=4的右侧，y随x的增大而减小，∴当x=143时，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值为48−3(143−4)2=462点睛：象本题这种实际问题中涉及到二次函数最值的问题，我们要在自变量取值范围内根据函数的增减性来确定其最值是在自变量取何值时取得的，再根据函数解析式来进行计算求得相应的最值，而不能直接用顶点的纵坐标代替最值.5.【答案】(1)y＝－3x2＋252x－4860；(2)当x＝42时，最大利润为432元．【解析】（1）根据：每天销售利润y（元）=单件商品利润×每天销售量、单件商品利润=商品售价-商品进价，结合题中条件可得y与x间的函数关系式；再根据单件商品利润不低于0，销售量不低于0可求得自变量的取值范围；（2）把（1）中所得函数解析式配方化为顶点式，结合自变量的取值范围和函数的增减性可求得答案；解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么m件的销售利润为y=m（x-30），

又∵m=162-3x，∴y=（x-30）（162-3x），

即y=-3x2+252x-4860，

∵x-30≥0，∴x≥30．

又∵m≥0，∴162-3x≥0，即x≤54．

∴30≤x≤54．

∴所求关系式为y=-3x2+252x-4860（30≤x≤54）．

（2）由（1）得y=-3x2+252x-4860=-3（x-42）2+432，又∵30≤x≤54，∴可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．6.【答案】（1）y＝－4x2＋64x＋30720；（2）增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．【解析】（1）生产总量=每台机器生产的产品数×机器数；（2）根据函数性质求最值．解：(1)由题意得y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720；(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，∴当x＝8时，y有最大值，为30976，即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是弄清题意，根据题意列出函数关系式.7.【答案】（1）s=1【解析】（1）由图可知：函数图象经过了点（1，-1.5）、点（2，-2）和点（5，2.5），设解析式为s=at2+bt+c，代入三点的坐标，列出方程组，就可求得a、b、c的值，从而得的解析式；（2）把s=30代入（1）中所求得的解析式，解出t的值，并结合实际意义可得答案；（3）把t=7，t=8分别代入（1）中所得的解析式，求出对应的s解：(1)设s与t的函数关系式为s＝at2＋bt＋c，图象上三点坐标分别为(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得∴a+b+c=−1.5,4a+2b+c=−2,25a+5b+c=2.5.解得∴s=(2)把s＝30代入s=解得t1＝10，t2＝－6(舍去)．即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．(3)把t＝7代入s=12t2把t＝8代入s=12t2∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(万元)．即第8个月公司获利润5.5万元．三、拓展、探究、思考8.【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)AD⊥BC，理由见解析；(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－4)．【解析】（1）由题中条件：二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，可得点C（0，-3）、点A（-1,0）、点B（3,0），把A、B两点的坐标代入解析式可求得a、b的值，就可得到解析式了；（2）把（1）中所求解析式配方化为顶点式，得到对称轴方程，就可得到D的坐标，再由A、B、C、D四点的坐标列方程组可求得直线AD和直线BC的解析式，计算两解析式中“k”的值的乘积是否为“-1”就可判断两直线是否垂直了；（3）如图，由（2）中所得AD、BC的解析式可列方程组解得P的坐标，由射线BC和射线AD互相垂直，垂足为点P，可知△APC和△PMN都是直角三角形；然后分以下两种情况讨论：①当PN=PA，M与C重合时，△APC与△PMN全等；②当PM=PA，N与D重合时，△APC与△PMN全等，并求出相应的点M、N的坐标.解：（1）∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，-3），∴OC=3，又∵OC=OB=3OA，∴OB=3，OA=1，又∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），把A、B的坐标代入解析式y＝ax2＋bx－3(a＞0)得：a−b−3=09a+3b−3=0，解得：a=1∴二次函数解析式为：y=x（2）由y=x2−2x−3∵点D和点C（0，-3）关于直线x=1对称，∴点D的坐标为（2，-3），设直线AD和直线BC的解析式分别为；y1=k1x+解得：k1=−1b∴直线AD的解析式为：y=−x−1；直线BC的解析式为：y=x−3，∴k1∴直线AD和直线BC是互相垂直的；（