考点巩固13 数列综合研究通项及求和(七大考点)2025年高考一轮复习(原卷)

高中数学精编资源2/2考点巩固卷13数列综合研究通项及求和（七大考点）考点01：已知通项公式与前项的和关系求通项问题若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．1．数列的前n项和满足，若，则的值是（

）A． B． C．6 D．72．已知数列的前n项和为，若，，则（

）A．-3 B．3 C．-2 D．23．设为数列的前项和，若，则（

）A．4 B．8 C． D．4．已知数列的前n项和满足，则.5．已知数列的前三项依次为的前项和，则．6．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为．7．已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.8．设数列的前n项和满足且成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求．9．已知数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为.10．数列的前n项和记为，已知．(1)求数列的通项公式；(2)求的和．(3)若，则为__________（等差/等比）数列，并证明你的结论．考点02：同除以指数求通项递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．11．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为.12．已知数列满足，若，，则；若，，则.13．各项均正的数列满足，则等于14．数列满足，则数列的通项公式为.15．记数列的前项和为，若，则.16．已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式；17．已知数列中，，求数列的通项公式；18．设数列的前项和为．(1)设，求证：数列是等比数列；(2)求及．19．已知列满足，且，．（1）设，证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；20．已知数列满足，.求数列的通项公式.考点03：叠加法与叠乘法求通项形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．21．已知数列满足：且，则数列的通项公式为．22．已知数列满足，，则，.23．已知数列{an}满足，a1＝1，则a2023＝25．数列满足，则.26．已知正项数列满足，则.27．已知数列满足，，，则．28．数列中，，且，则等于.29．在数列中，已知，且，则．30．数列满足，且，则数列的前2024项和为.考点04：构造数列法求通项㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出31．已知数列中，，，若，则数列的前项和.32．已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数.33．已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为.34．在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则，．35．已知数列的首项，且，则.36．在数列中，，且，则的通项公式为．37．在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值.38．记数列的前项和为，若，则.39．已知数列的前项和为，满足，则．40．已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为.41．已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（

）A． B． C． D．42．（

）A． B． C． D．43．数列的前n项和等于（

）．A． B．C． D．44．已知数列中，，.(1)证明数列为等差数列，并求；(2)求的前项和.45．已知数列的首项为，且满足.(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求.46．数列满足，（）．(1)计算，，猜想数列的通项公式并证明；(2)求数列的前n项和；.47．已知数列满足，，且对，都有．(1)设，证明数列为等差数列；(2)求数列的通项公式．(3)求数列的前n项和．48．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．49．已知数列.(1)求；(2)令为数列的前项和，求.50．已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.考点06：裂项相消求和裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．积累裂项模型：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）51．若数列满足（且），，则（

）A． B． C． D．52．数列满足，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．53．数列的前n项和为，若，则（

）A．1 B． C． D．54．已知数列满足，若，则的前2024项和为（

）A． B． C． D．55．数列的前n项和为（

）A． B． C． D．56．已知数列1，，，…，，…，其前n项和为，则正整数n的值为（

）．A．6 B．8 C．9 D．1057．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（

）A．5 B．6 C．7 D．858．数列中，，，则（

）A．51 B．40 C．41 D．5059．已知是等差数列，且，，则（

）A．15 B．26 C．28 D．3260．在各项均不相等的等差数列中，，且等比数列，数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.考点07：分组求和分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．61．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（

）A．511 B．61 C．93 D．12562．记数列的前n项和为，若，则（

）A．301 B．101 C． D．63．在数列中，，且，则其前项的和为（

）A．841 B．421 C．840 D．42064．记数列的前项和为，若，则（

）A．590 B．602 C．630 D．65065．设数列满足．设为数列的前项的和，则（

）A．110 B．120 C．288 D．30666．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（

）A．1011 B．1022 C．10