四川省绵阳市绵阳南山中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/2绵阳南山中学高2022级高一上期期末自测数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，集合，则C的子集的个数为（）A.3 B.8 C.7 D.16【答案】B【解析】【分析】根据题意得到集合，然后求子集个数即可.【详解】由题意得，所以集合的子集的个数为.故选：B.2.命题“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】A【解析】【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“，都有”的否定是“，使得”.故选：A3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解三角函数的方程，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.【详解】∵，∴，，∴且，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.已知a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】ABD采用特殊值法判断；C根据幂函数的性质进行判断.【详解】A.当时，则，故错误；B.当，时，则，故错误；C.当时，，根据幂函数的性质，单调递减，又因为，所以，，故C正确；D.当时，，故错误；故选：C5.已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再由三角函数定义得到答案.【详解】当时，，故过定点，由三角函数定义可得：，.故选：A6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的性质，得到，求出，再利用，可求出的值.【详解】函数是定义在上的奇函数，，解得，得，所以时，，则，因为为奇函数，故.故选：B7.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的图像和性质求解即可.【详解】因为，，，所以，故选：C8.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象上特殊点正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】由图象可知，所以，因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以，由(2)可得：，所以，因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列三角函数值为负数的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案.【详解】对于A，，故A为正数；对于B，，故B为负数；对于C，，故C为负数；对于D，，故D为负数；故选：BCD10.下列关于幂函数说法正确的是（）A.图像必过点 B.可能非奇非偶函数C.都是单调函数 D.图像不会位于第四象限【答案】ABD【解析】【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.【详解】幂函数的解析式为，当时，无论取何值，都有，图像必过点，A选项正确；当时，，定义域为，此函数为偶函数，当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；当时，，此函数先单调递减再单调递增，则都单调函数不成立，C选项错误；当时，无论取何值，都有，所以图像不会位于第四象限，D选项正确；故选：ABD.11.若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（）A.有最大值 B.有最小值C.的最小值是10 D.【答案】AD【解析】【分析】利用可判断A；利用可判断B；展开后再利用基本不等式可判断C，由再利用指数函数的单调性可判断D．【详解】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确；对于B，，∴，当且仅当时取到等号，∴B错误；对于C，，当且仅当即时取到等号，所以C不正确；对于D，∵，∴，∴D正确．故选：AD.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的定义域为B.将的图象经过适当的平移后所得的图象可关于原点对称C.若在上有最小值－2，则D.设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0【答案】ABD【解析】【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，结合反比例函数的单调性即可判断；对D：由函数和图象关于对称，则与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.详解】对A：要使函数有意义，只需，即，故A正确；对B：因为，所以的图象关于点成中心对称可经过平移后可关于原点对称，故B正确．对C：由B可知，当且时，，在上递减，，解得，但不合题意，舍去；当时，，在上递增，，解得，符合题意．综上得，，故C错．对D：∵，，∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，，故D正确．故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.计算：______.【答案】1【解析】【分析】根据对数运算法则运算即可.【详解】解：.故答案为：1.14.已知，则__________．【答案】##【解析】【分析】由诱导公式可化简已知等式得到；根据诱导公式和正余弦齐次式的求法可将所求式子化为关于的式子，代入的值即可得到结果.【详解】，，.故答案为：.15.已知半径为1的扇形，其面积与弧长的比值为_________________．【答案】##0.5【解析】【分析】根据扇形的面积公式求面积和弧长的比值即可.【详解】设弧长为，面积为，半径为，因为扇形面积公式为，所以.故答案为：.16.已知函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x－2，且f（a）＝g（b）＝0，给出下列结论：（1）a>b，（2）a<b，（3）g（a）<0<f（b），（4）g（a）>0>f（b），（5）a＋b＝2，则上述正确结论的序号是________．【答案】（2）（3）（5）【解析】【分析】根据根的存在性定理分别求出的范围，利用数形集合进行判断即可.【详解】因为函数y＝ex，y＝lnx，y＝x－2都是增函数，所以f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x－2都是增函数,f（0）＝e0＋0－2＝－1<0，f（1）＝e1＋1－2＝e－1>0，0<a<1，g（1）＝ln1＋1－2＝－1<0，g（2）＝ln2＋2－2＝ln2>0，1<b<2，0<a<1<b<2，故（2）正确，（1）错误；a<b，g（a）<g（b）＝0，f（a）＝0<f（b），所以g（a）<0<f（b），故（3）正确，（4）错误；令f（x）＝ex＋x－2＝0，g（x）＝lnx＋x－2＝0，则ex＝2－x，lnx＝2－x，由于函数y＝ex，y＝lnx的图象和函数y＝2－x的图象都相交，又y＝ex和y＝lnx互为反函数，且图象关于直线y＝x对称，函数y＝2－x的图象也关于直线y＝x对称，函数y＝2－x和y＝x的图象的交点为(1，1)，如图所示，所以a＋b＝2，即（5）正确．故答案为：（2）（3）（5）.【点睛】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，考查反函数的应用，考查数形结合思想与运算能力.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知点在角的终边上，且.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义可得出关于的等式，可解出的值，进而利用三角函数的定义可求得的值；（2）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得结果.【详解】（1）由三角函数的定义可得，则，解得，所以，；（2）由三角函数的定义可得，所以，.18.如图，已知全集，集合或．（1）集合C表示图中阴影区域对应的集合，求出集合C；（2）若集合，且，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简集合，求即可；（2）易判断，由端点建立不等式，可求a的取值范围．【小问1详解】，，由图可知.故；【小问2详解】因为，故，因为，所以，解得.19.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为．（1）求函数的解析式．并求的值；（2）若，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，而，根据所在象限，得出，进而求出，再代入，即可求得；（2）由，得到，根据，得，利用平方关系解得，进而可求出的值.【小问1详解】因为，且，点在第三象限，所以，由此得，【小问2详解】由于知，即由于，得，与此同时，所以由平方关系解得：，所以20.已知二次函数（a，b，c为常数）（1）若不等式的解集为或且，求函数在上的最值；（2）若b，c均为正数且函数至多一个零点，求的最小值．【答案】（1）最大值为6，最小值为（2）4【解析】【分析】（1）根据已知条件建立相应的关系式，求出即得的解析式，然后根据二次函数在闭区间上的性质求最值；（2）利用已知条件判断出的值，至多只有一个零点，所以利用判别式得出范围，写出利用基本不等式求最小值即可.【小问1详解】由的解集为或且知：所以，由对称轴为：，当时，的最大值为，最小值为.【小问2详解】由，至多只有一个零点，则，又可知所以则则的最小值为4，当且仅当时取等．21.据悉某市一号线一辆列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合中小城市的运营.日前该市运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关：当间隔时间达到或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.【答案】（1）（2）时，【解析】【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得，，采用换元并结合二次函数性质,【小问1详解】当时，设，a比例系数，由时满载可知，即，则，当时，，故当时，,故.【小问2详解】由题意可得，，化简得，，令，则，当，即时，符合题意，此时.22.已知函数，记.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据真数大于0，分别求