高等数学基础知识点归纳

第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合〔简称集〕。集合具有确定性〔给定集合的元素必须是确定的〕和互异性〔给定集合中的元素是互不一样的〕。比方“身材较高的人〞不能构成集合，因为它的元素不是确定的。⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集〔或自然数集〕。记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝〞括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的根本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊂B。⑵、相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A。⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。⑸、由上述集合之间的根本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。③、我们可以把相等的集合叫做“等集〞，这样的话子集包括“真子集〞和“等集〞。集合的根本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。〔在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。〕即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，则就称这个集合为全集。通常记作U。⑷、补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。即CUA＝｛x|x∈U，且x不属于A｝。⑸、运算公式：交换律：A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律：〔A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C〕分配律：〔A∪B)∩C=〔A∩C〕∪〔B∩C)〔A∩B)∪C=〔A∪C〕∩〔B∪C)对偶律：CU〔A∪B)=CUA∩CUBCU〔A∩B)=CUA∪CUB集合中元素的个数⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。3、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值〔或因变量〕，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了说明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，则我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。函数的有界性，单调性应与相关点集联系起来，离开了点集。这些概念是没有任何意义的。⑵、函数的单调性：如果函数在定义域区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在定义域区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。⑶、函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足，则叫做奇函数。注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。奇偶函数的定义域必关于原点对称。⑷、函数的周期性设的定义域为。假设存在，对任意的，都使得，则称函数为周期函数，称为其周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域必是无限的点集，但也不能说是全体实数，如的定义域为〔-∞，+∞〕。且kππ/2(k=0,1,2....)·偶函数=奇函数·奇函数=偶函数E偶函数·偶函数=偶函数假设以为最小正周期，则以为最小正周期4、反函数⑴、反函数的定义：假设由函数得到，则称是的反函数，为直接函数，反函数也可记为注：⑵、反函数的存在定理：假设在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).例题：，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得.假设我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线对称的。如右图所示：5、复合函数复合函数的定义：假设y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或局部在的定义域内，则，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数与函数是不能复合成一个函数的因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值〔都大于或等于2〕，使都没有定义。6、初等函数⑴、根本初等函数：我们最常用的有五种根本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：⑵、初等函数：由根本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.注：初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不能叫初等函数7、数列的极限⑴、数列的极限：设{}为一数列，如果存在常熟a，对于任意给定的正数ε(不管其多么小)，总存在正整数，使得当时，不等式都成立，则就称常数a是数列{}的极限，或者称数列收敛于a，记为或注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。在利用数列极限定义证明某个数列是否存在极限时，重要的是对于任意给定的正数，只要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N。如果知道小于某个量〔这个量是n的一个函数〕，则当这个量小于时，当然也成立假设令这个量小于来定出N比拟方便的话，就可以采用这种方法。⑵、数列的有界性：对于数列，假设存在着正数M，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，假设正数M不存在，则可说数列是无界的。⑶、收敛数列的几个重要性质：A.极限的唯一性：如果数列{}收敛，则它的极限唯一。〔根据极限的定义用反证法证明〕B.有界性：如果数列{}收敛，则它一定有界。注：数列收敛是数列有界的充分非必要条件。即数列收敛，一定有界，但数列有界不一定收敛。例：数列1，-1，1，-1，…，(-1)，…是有界的，但它是发散的。C.保号性：如果且〔或〕则存在正整数，当时，都有〔或〕推论：如果数列{}从某项起有〔或〕，且，则〔或〕注：即使从某项起有〔或〕，且，则a不一定一定为，也有可能。D.收敛数列与子数列的关系：如果数列{}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限是a。如果数列{}有俩个子数列收敛于不同的极限，则数列{}是发散的。⑷.数列存在的充分必要条件：其任一子数列的极限都为8、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取→∞内的正整数，假设自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!⑴、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数当大于某一正数时有定义，假设存在常数，对于任意给定的正数ε(不管其多么小)，总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则常数就叫做函数当时的极限，记作或〔当〕注：时的极限定义只需要将以上定义中的改为〔或〕即可。下面我们用表格把函数的极限与数列的极限比照一下：b):自变量趋向有限值时函数的极限定义：设函数在点的某一去心邻域内有定义，假设存在常数，对于任意给定的正数ε(不管其多么小)，总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则常数就叫做函数当时的极限，记作或〔当〕注：在定义中只要求在去心邻域内不等式成立，不要求在点此不等式成立，意味着时以为极限与在点是否有定义即使有定义函数值等于什么无关。自己参考数列极限引生函数的左右极限概念。注：时函数极限存在的充要条件：有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为A，其证明方法是怎样的呢？a):先任取ε＞0；b):写出不等式；c):解不等式能否得出去心邻域，假设能；d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当时，成立，因此⑵、函数的极限的性质参考数列极限的重要性质：唯一性，局部有界性，局部保号性⑶、函数极限与数列极限的关系如果极限存在，{}为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：，则相应的函数值数列{}必收敛，且。无穷小与无穷大无穷大量：设有函数，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。记为：〔表示为无穷大量，实际它是没有极限的〕同样我们可以给出当x→∞时，无穷大的定义：设有函数，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：无穷小量：以0为极限的变量叫无穷小量。〔定义参照无穷大〕注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷小的运算性质极限与无穷小的关系：，其中是在与时自变量的同一变化趋势下的无穷小量。无穷小的比拟：两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比拟。定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心邻域内不为零，a)：如果，则称是的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小，记作；b)：如果，则称和是同阶无穷小；c)：如果，则称和是等价无穷小，记作：∽(与等价)；d)：如果，则称是关于的阶无穷小注：和必须是在自变量一样变化趋势下的无穷小量.b.无穷小的比拟只是定性的，即只有阶的上下之别，没有数量上的关系如：当时，，都是无穷小量，但不存在，不能比拟其阶的上下等价无穷小的性质A.设∽，∽且存在，则.注：这个性质说明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题，但是做无穷小变换时必须分子或分母整体替换，不能分子或分母分项替换。B.与是等价无穷小的充分必要条件为：C.常用的等价无穷小有：当时∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽{且}无穷大与无穷小的关系在自变量的同一变化过程中，如果是无穷大，则为无穷下；如果是无穷小且,则为无穷大。函数极限的运算法则⑴、函数极限的运算规则假设(或)时，则,(〕推论：如果存在，而为常数,则如果存在，而为正整数，则注：数列极限也有同样的运算性质。复合函数的极限的运算法则设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心领域内有定义，假设，且存在，当时，有，则⑵极限存在准则准则一：如果数列{}，{}，{}满足以下条件从某项起，即存在，当时，有则数列{}的极限存在，且注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个准则都可以推广到函数的极限，但要注意使用的条件。⑶、两个重要的极限或注：我们要记住这两个重要的极限，在今后的解题中会经常用到它们。例题：求解答：令，则，因为则注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋势，像时，假设用代换，则。⑷.关于极限的几个重要结论〔其中〕11、函数的一重要性质——连续性反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差就叫做变量x的增量，记为：即：增量可正可负.我们再来看一个例子：函数在点的邻域内有定义，当自变量在领域内从变到时，函数相应地从变到，其对应的增量为：这个关系式的几何解释如以下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当趋向于零时，函数y对应的增量也趋向于零，即：，则就称函数在点处连续。函数连续性的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果有称函数在点处连续，且称为函数的的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数在区间(a,b]内有定义，如果左极限存在且等于，即：，则我们就称函数在点左连续.设函数在区间[a,b)内有定义，如果右极限存在且等于，即：，那末我们就称函数在点右连续.一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，假设又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。注：一个函数假设在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续函数图形是一条连续而不连续的曲线。通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到假设函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的连续点函数的连续点定义：我们把不满足函数连续性的点称之为连续点.它包括三种情形：a)：在无定义；b)：在时无极限；c)：在时有极限但不等于；下面我们通过例题来学习一下连续点的类型：例1：正切函数在处没有定义，所以点是函数的连续点，因，我们就称为函数的无穷连续点；例2：函数在点处没有定义；故当时，函数值在-1与+1之间变动无限屡次，我们就称点叫做函数的振荡连续点；例3：函数当时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点是不存在极限。我们还可以发现在点时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种连续点称为跳跃连续点；我们把上述三种连续点用几何图形表示出来如下:例4：函数在点没有定义，所以函数在点为不连续。但这里，如果补充定义：令时，则所给函数在成为连续。所以称为该函数的可去连续点。连续点的分类我们通常把连续点分成两类：如果是函数的连续点，且其左、右极限都存在，我们把称为函数的第一类连续点；不是第一类连续点的任何连续点，称为第二类连续点.第一类连续点中，左、右极限相等者称为可去连续点，不相等者称为跳跃连续点，无穷连续点和振荡连续点显然是第二类连续点。连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质：连续函数的和，差，积，商〔分母的函数值不等于0〕是连续的b)：复合函数的连续性：假设函数在点连续，函数在点连续，则复合函数在点连续；c)：反函数的连续性：假设函数在区间上单调且连续，则其反函数在相应的区间上表现一样的单调性且连续；初等函数的连续性通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：根本初等函数在它们的定义域内都是连续的〔根本初等函数包括幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数〕；一切初等函数〔根本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类〕在其定义区间内也都是连续的.注：初等函数在其定义域内不一定连续，如的定义域为，它在定义域内的任一点都不连续。初等函数只有其定义域构成区间，则其在定义区间内连续。闭区间上连续函数的性质定理1〔最值定理〕：假设函数在上连续，则它在上必有最大值和最小值。定理2〔零点定理〕：假设函数在上连续，且与异号，则在开区间内至少有一点，使定理3〔介值定理〕：假设函数在上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，，则，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得条重要的性质，下面我们来学习一下：推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。第二讲导数与微分1、导数的概念导数的定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量〔点仍在该邻域内)时，相应地函数取得增量，假设与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为函数在点处的导数。记为：，即：还可记为：，或注：因变量增量与自变量增量之比是因变量在以和为端点的区间上的平均变化率。而导数则是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。函数在点处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。假设函数在区间内每一点都可导，就称函数在区间内可导。这时函数对于区间内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。记作，，或左、右导数：前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。假设极限存在，我们就称它为函数在处的左导数。假设极限存在，我们就称它为函数在处的右导数。注：如果函数在开区间内可导。且及都存在，就说在闭区间上可导。注：函数在处的左右导数存在且相等是函数在处的可导的充分必要条件。注：函数在点可导，不能保证函数在点的邻域内可导，如在处可导且，但时它不可导。导数的几何意义：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角。注：函数在某点处的导数为无穷大，即导数不存在，不代表在该点没有切线，可能在该点有垂直于轴的切线注：曲线在点处的切线方程为：法线方程为：函数可导性与连续性的关系：如果函数在点处可导，则函数在该点必连续，但是一个函数在某点连续却不一定在该点可导。例：函数在区间内连续，但在处不可导。函数的和、差、积、商求导法则如果函数及都在点具有导数。则它们的和、差、积、商〔除分母为零的点外〕都在点具有导数。且...注：函数的和、差、积、商、复合函数可导，不能保证它们各自可导。例：,时，都可导，但及在任一点都不可导。复合函数的求导法则在学习此法则之前我们先来看一个例子!例：求解：由于，故这个解答是错误的，正确的解容许该如下：发生错误的原因是是对自变量求导，而不是对求导。下面我们给出复合函数的求导法则复合函数的求导规则如果在点处可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为或〔其中为中间变量〕反函数求导法则如果函数在区间内单调、可导且，则它的反函数在区间内也可导，且或上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。例：求的导数。解：此函数的反函数为，故则：例：求的导数解：此函数的反函数为，故则：高阶导数我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：，而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：，或。这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。下面我们给出它的数学定义：定义：函数的导数的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即：或.相应地，把的导数叫做的一阶导数。类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，，一般地导数的导数叫做n阶导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是屡次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。例：求对数函数的阶导数。解：一般地，可得莱布尼茨〔Leibniz)公式：隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.假设函数y可以用含自变量x的算式表示，像，等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.一般地，如果方程中，令在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的值存在，则我们就说方程在该区间上确定了的隐函数.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的隐函数的求导假设，求时，一般按以下步骤进展求解：a)：假设方程，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进展求导；b)：假设方程，不能化为的形式，则是方程两边对进展求导，并把看成的函数，用复合函数求导法则进展。例：，求解：此方程不易显化，故运用隐函数求导法。两边对进展求导，注