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§1.4标量场的梯度一、等值面1、等值面标量场:用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为：标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，由电位相同的点构成等位面。2、等值面方程

常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族，等值面族充满整个场空间，且不同的等值面互不相交。二、方向导数1、方向导数的定义

考虑标量场中两个等值面标量函数沿给定方向的变化率：称为标量函数在P沿方向的方向导数。2、方向导数在直角坐标系中的表示其中，是的方向余弦：3、方向导数的性质方向导数是标量场在点P处沿方向对距离的变化率。标量场中，在给定点P处沿不同方向的方向导数不相同。二、梯度

1、梯度的定义标量场的梯度：是一个矢量，其方向为标量场变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率，即2、梯度在坐标系下的表示记为在直角坐标系中的表示在圆柱坐标系中的表示在球坐标系中的表示3、梯度的性质标量场的梯度是一个矢量场。标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向增加的方向。4、梯度运算的基本公式【例题1】求证【证明】在球坐标系下：所以【例题2】求无界空间中的点电荷q所产生的电位的梯度。【解】无界空间中的点电荷q所产生的电位为：所以【例题3】求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。

【解】点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为【解】l方向的方向余弦为

【例题4】求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。

而数量场在l方向的方向导数为在点M处沿l方向的方向导数

【例题5】设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，证明：【证】因为同理所以

【例题6】求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。【解】点M处的坐标为x=

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