重庆市（非市直属校）高三第二次质量调研抽测数学理试题

[机密]2018年4月21日前高2018届高三学业质量调研抽测（第二次）[机密]2018年4月21日前理科数学试题卷理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位，则复数的虚部是A．B．C．D．2．已知集合，则A．B．C．D．3．已知，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A．B．C．D．5．在中，角所对应的边分别是，若，则角等于A．B．C．D．6．利用我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”的思路,设计的程序框图如图所示．执行该程序框图，若输入的值分别为6,9,0，则输出的A．B．C．D．7．已知实数满足如果目标函数的最大值为，则实数A．B．C．D．8．为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A．甲、丙、乙B．乙、甲、丙C．乙、丙、甲D．丙、乙、甲9．已知圆，点，两点关于轴对称．若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是A．B．C．D．10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到图象．若，且，则的最大值为A.B.C.D.11．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心的圆与双曲线在第一象限交于点，直线恰与圆相切于点，与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率为A.B.C.D.12．已知函数，在其定义域内任取两个不等实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围为A.B.C.D.二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知向量，满足，，，则与的夹角为．14．在二项式的展开式中，只有第4项的系数最大，则展开式中项的系数为（用数字作答）．15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点（点位于第一象限），与它的准线相交于点，且点的纵坐标为，，则实数________．16．在三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥的外接球表面积为________．三、解答题：共70分。解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，，且的等差中项为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，数列的前项和为，证明：.18．(本小题满分12分）据调查显示，某高校万男生的身高服从正态分布，现从该校男生中随机抽取名进行身高测量，将测量结果分成组：，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求这名男生中身高在（含）以上的人数；（Ⅱ）从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该人中身高排名（从高到低）在全校前名的人数记为，求的数学期望.（附：参考数据：若服从正态分布，则，，.）19．(本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，且，，，为中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值．20．(本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知不经过点的直线与椭圆交于两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线与轴分别交于两点，证明：．21．(本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若在上单调递减，求的取值范围；（Ⅱ）当时，函数有两个极值点，证明：．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一题计分。22.【选修44：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与曲线分别交于第一象限内的，两点，求.23.【选修45：不等式选讲】(本小题满分10分）已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）设为正实数，且，其中为函数的最大值，求证：.高2018届高三学业质量调研抽测（第二次）理科数学答案一、选择题1—5：ABDAD6—10：BBCCC11—12：BA二、填空题13.14.2015.16.三、解答题17.（1）设等比数列的公比为，由题意，得……………2分即两式相除，得，解得或，……………………4分∵,∴,解得，……………………5分所以.…………………6分（2）由（1）得，…………………7分∴，……………9分∴………11分∴.…………………12分18.（1）由频率分布直方图知，后三组频率分别为，，，………………2分人数为，，，………4分即这名男生身高在以上（含）的人数为人.………5分（2）∵，∴，而，……7分所以全校前名的身高在以上（含），这人中以上（含）的有人.……………………8分随机变量可取，，，于是，，………11分∴．………12分19.解：（1）证明：连接，，∵是等边三角形，为中点，∴，………………1分又∵，∴，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，∴，∴，…………4分又∵，∴平面，…………………5分又∵平面∴平面平面．………………………6分（2）如图建系，，，，，设，∴，设平面的法向量为，∴∴，平面的法向量不妨设为，……………………9分∴，∴，∴或（舍），…………………11分∴．……………12分20.解：（1）由可得，所以，………………2分解得，……………4分所以椭圆的方程为：.…………………5分（2）设，联立方程，得，解得，所以，，……7分∴，分子.……………10分∴,∴．…………12分21.（1）因为,由题意可知在上恒成立得，……………………2分令,，解得在单调递增，单调递减,所以,所以.………………4分(2)函数有两个极值点,即有两个不同的零点,且均为正，令,由可知在是增函数，在是减函数，……………6分且，构造，……………………7分构造函数，………………8分则,故在区间上单调减，又由于,则,即有在上恒成立，即有成立.………………10分由于,,在是减函数,所以，………………11分所以成立.………………12分22.解：（1）曲线，……………1分把，，代入，得，化简得，曲线的极坐标方程为，…………………3分曲线的极坐标方程为，所以曲线的普通方程为.…………………5分（2）依题意可设.所以，…………………6分，即，所以，……………………8分因为点在一象限，所以，即，…………9分所以.………………