山东省K12联盟高三开年迎春考试数学（理）试题

山东K12联盟2018届高三开年迎春考试数学（理科试题卷）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32.若复数，则的共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．3.在区间上随机取一个实数，使得的概率为（）A． B． C． D．4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．5.在边长为2的等边三角形中，若，则（）A． B． C． D．6.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（）A．7 B．6 C．5 D．47.已知，在的展开式中，记的系数为，则（）A． B． C． D．8.在四面体中，，，则它的外接球的面积（）A． B． C． D．9.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线：（，）与双曲线互为共轭双曲线，它们的离心率分别为、．以下说法错误的是（）A．、的渐近线方程都是 B．的最小值是2C． D．10.记函数（，）的图象按向量平移后所得图象对应的函数为，对任意的都有，则的值为（）A． B． C． D．11.函数（）在上有两个不同的零点、（），以下正确的是（）A． B．C． D．12.对于函数，以下描述正确的是（）A．， B．，C．， D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量、满足则的最大值为．14.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第1题为：今有户出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？题目的意思是：每户应交税银1斤8两12铢，若考虑贫富的差别，家最贫者交8两，户别差为3两，则户数为．（1斤两，1两铢）15.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于、两点，过、两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，若，，则抛物线的方程为．16.的面积，角、、的对边分别为、、，，，的内切圆半径等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.在矩形中，，，为线段的中点，如图1，沿将折起至，使，如图2所示．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19.为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）（指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？20.已知、分别是离心率为的椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点作的外角平分线的垂线，交于点，且（为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于、两点，问：的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．21.已知函数．（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；（2）讨论函数零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，的最小值为，求实数的值．23.选修45：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．山东K12联盟2018届高三开年迎春考试数学（理科试题卷）答案一、选择题15:610:11、12：二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（1）由，知，，所以，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以，．（2）由（1）得，，①，②①②，得．所以．18.（1）证明：在图1中连接，则，，．∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：取中点，连接，∵，∴，∵平面平面，∴平面．以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量为，平面的法向量为，由可得；由可得；则，所以二面角的余弦值为．19.解：（1）系统抽样，分段间隔，这些抽出的样本的编号依次是4号、9号、14号、19号、24号、29号，对应的样本数据依次是、56、94、48、40、221．（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2,3，，，，，随机变量的分布列为：0123所以．

（3）2016年11月指数为一级的概率，2017年11月指数为一级的概率，，说明这些措施是有效的．20.解：（1）延长交直线于点，∵为的外角平分线的垂线，∴，为的中点，∴，由椭圆的离心率，得，，∴椭圆的方程为．（2）由题意，设的方程为（，），∵直线与圆相切，∴，即，由得，设，（），则，，，又，∴，同理，∴，∴，即的周长为定值6．21.解：（1），因为在点处垂直于直线，所以，，解得或．（2）函数的定义域为，．①当时，，无零点；②当时，，得．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，∴．因为，且当时，，当→时，，，∴当时，即，，函数有两个不同的零点；当时，即时，函数有一个零点；当时，即时，函数没有零点；③当时，令，得．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，∴．当→和当→，均有，∴当时，即，时，函数有两个不同的零点；当时，即时，函数有一个零点；当时，即时，函数没有零点；综上，当或时，函数有两个不同的零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数没有零点．22.解：（1）由曲线的参数方程，