数学人教A版必修四第三章三角恒等变换3.1.2（一）

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一两角和的余弦公式思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案用－β代换cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β便可得到.梳理公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ简记符号C(α＋β)使用条件α，β都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”.知识点二两角和与差的正弦公式思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案sin(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α＋β))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cosβ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(α＋β)S(α－β)公式形式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ记忆口诀：“正余余正，符号相同”.类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°).解(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)eq\f(sin50°－sin20°cos30°,cos20°)＝.答案eq\f(1,2)解析原式＝eq\f(sin20°＋30°－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(cos20°sin30°,cos20°)＝sin30°＝eq\f(1,2).反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1计算：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x).解(1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.类型二给值求值例2已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，且0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，求cos(α＋β).解∵0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，∴eq\f(3π,4)<eq\f(3π,4)＋α<π，－eq\f(π,2)<eq\f(π,4)－β<0.又∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))＝－eq\f(12,13)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝－eq\f(4,5).∴cos(α＋β)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α＋β))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(33,65).反思与感悟(1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求cos2α与cos2β的值.解∵eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，∴0<α－β<eq\f(π,4)，π<α＋β<eq\f(3π,2).∴sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13)，cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5).∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(33,65)，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(5,13)＝－eq\f(63,65).类型三辅助角公式命题角度1用辅助角公式化简例3将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：(1)eq\r(3)sinx－cosx；(2)eq\f(\r(2),4)sin(eq\f(π,4)－x)＋eq\f(\r(6),4)cos(eq\f(π,4)－x).解(1)eq\r(3)sinx－cosx＝2(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝2(coseq\f(π,6)sinx－sineq\f(π,6)cosx)＝2sin(x－eq\f(π,6)).(2)原式＝eq\f(\r(2),2)[eq\f(1,2)sin(eq\f(π,4)－x)＋eq\f(\r(3),2)cos(eq\f(π,4)－x)]＝eq\f(\r(2),2)[sineq\f(π,6)sin(eq\f(π,4)－x)＋coseq\f(π,6)cos(eq\f(π,4)－x)]＝eq\f(\r(2),2)cos(eq\f(π,4)－x－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(2),2)cos(eq\f(π,12)－x)＝eq\f(\r(2),2)sin(x＋eq\f(5π,12)).反思与感悟一般地对于asinα＋bcosα形式的代数式，可以提取eq\r(a2＋b2)，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.跟踪训练3sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)＝.答案－eq\r(2)解析原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\f(π,12)－\f(\r(3),2)cos\f(π,12))).方法一原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,12)－sin\f(π,3)cos\f(π,12)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,12)cos\f(π,3)－cos\f(π,12)sin\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\r(2).方法二原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)sin\f(π,12)－cos\f(π,6)cos\f(π,12)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)cos\f(π,12)－sin\f(π,6)sin\f(π,12)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2coseq\f(π,4)＝－eq\r(2).命题角度2求函数值域最值例4已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－2cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求函数f(x)的值域.解f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－2cosx＝eq\r(3)sinx－cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，因为eq\f(π,2)≤x≤π，所以eq\f(π,3)≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6).所以eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))≤1.所以函数f(x)的值域为[1，2].反思与感悟(1)用辅助角公式化成一角一函数，即asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x±φ)的形式.(2)根据三角函数的单调性求其值域.跟踪训练4(1)当函数y＝sinx－eq\r(3)cosx(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝；(2)函数f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域为.答案(1)eq\f(5π,6)(2)[－eq\r(3)，eq\r(3)]解析(1)y＝2sin(x－eq\f(π,3))，∵0≤x≤2π，∴－eq\f(π,3)≤x－eq\f(π,3)≤eq\f(5π,3)，∴当x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(5π,6)时，ymax＝2.(2)f(x)＝sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\f(3,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)sin(x－eq\f(π,6))，∴f(x)∈[－eq\r(3)，eq\r(3)].1.计算eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)的值是()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)答案B解析eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)＝2eq\r(2)(eq\f(1,2)coseq\f(π,12)＋eq\f(\r(3),2)sineq\f(π,12))＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)cos\f(π,12)＋cos\f(π,6)sin\f(π,12)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝2eq\r(2)sineq\f(π,4)＝2.2.在△ABC中，已知cosA＝eq\f(5,13)，sinB＝eq\f(3,5)，则cosC等于()A.－eq\f(16,65) B.eq\f(16,65)C.－eq\f(16,65)或eq\f(16,65) D.eq\f(56,65)或eq\f(16,65)答案B解析∵cosA＝eq\f(5,13)<eq\f(1,2)＝cos60°，∴60°<A<90°，∵sinB＝eq\f(3,5)<eq\f(\r(3),2)＝sin60°，∴若B为钝角，则B>120°，A＋B>180°，矛盾，∴B为锐角，且A为锐角，sinA＝eq\f(12,13)，cosB＝eq\f(4,5).∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)×\f(4,5)－\f(12,13)×\f(3,5)))＝eq\f(16,65).3.sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A.－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案D解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝eq\f(1,2).4.已知锐角α、β满足sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，则α＋β＝.答案eq\f(3π,4)解析∵α，β为锐角，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，∴cosα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10).∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝－eq\f(\r(2),2).又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝eq\f(3π,4).5.化简：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－3x))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋3x))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋3x)).解原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－3x))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－3x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－3x))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)－coseq\f(π,4)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C(α－β)eq\o(→,\s\up7(以－β代换β))C(α＋β)eq\o(→,\s\up7(诱导公式))S(α＋β)eq\o(→,\s\up7(以－β代换β))S(α－β).(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，角α，β的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°，eq\f(1,2)＝cos60°，eq\f(\r(3),2)＝sin60°等，再如：0，eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.课时作业一、选择题1.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则sinα等于()A.eq\f(\r(2),10) B.eq\f(7\r(2),10)C.－eq\f(\r(2),10)或eq\f(7\r(2),10) D.－eq\f(7\r(2),10)答案B解析由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，得eq\f(3π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(5π,4)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5).所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋\f(4,5)))＝eq\f(7\r(2),10)，故选B.2.sin10°cos20°＋sin80°sin20°等于()A.－eq\f(\r(3),2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析sin10°cos20°＋sin80°sin20°＝sin10°cos20°＋cos10°sin20°＝sin(10°＋20°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，故选C.3.在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(\r(10),10)，则sinC等于()A.eq\f(2\r(5),5) B.－eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D.－eq\f(\r(5),5)答案A解析sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2),2)(cosB＋eq\r(1－cos2B))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)＋\f(3\r(10),10)))＝eq\f(2\r(5),5).4.已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，又sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，则sinβ等于()A.0 B.0或eq\f(24,25)C.eq\f(24,25) D.0或－eq\f(24,25)答案C解析∵0<α<eq\f(π,2)<β<π，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)或－eq\f(3,5).∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(24,25)或0.∵eq\f(π,2)<β<π，∴sinβ＝eq\f(24,25).5.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，则△ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形答案D解析∵A＝180°－(B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝2sinBcosC.又∵sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC－cosBsinC＝sin(B－C)＝0，则B＝C，故△ABC为等腰三角形.6.已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值为()A.－eq\f(2\r(3),5) B.eq\f(2\r(3),5)C.－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)答案C解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴cosαcoseq\f(π,6)＋sinαsineq\f(π,6)＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(4,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(4,5).二、填空题7.sin15°＋sin75°的值是.答案eq\f(\r(6),2)解析sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝eq\f(\r(6),2).8.已知cos(α＋eq\f(π,3))＝sin(α－eq\f(π,3))，则tanα＝.答案19.eq\f(sin27°＋cos45°sin18°,cos27°－sin45°sin18°)＝.答案1解析原式＝eq\f(sin45°－18°＋cos45°sin18°,cos45°－18°－sin45°sin18°)＝eq\f(sin45°cos18°－cos45°sin18°＋cos45°sin18°,cos45°cos18°＋sin45°sin18°－sin45°sin18°)＝tan45°＝1.10.已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，则sin(α＋eq\f(π,4))＝.答案eq\f(\r(2),3)解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosα，sinα－3)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝1－3eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα)＝1－3eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))＝－1，∴sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),3).三、解答题11.已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，求β的值.解∵α为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosα＝eq\f(2\r(5),5).∵－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)且sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，∴cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(2),2).又∵β为锐角，∴β＝eq\f(π,4).12.已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(4,5)，β是第三象限角，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))的值.解∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝eq\f(4,5)，∴sinβ＝－eq\f(4,5)，又β是第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(3,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝sinβcoseq\f(π,4)＋cosβsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).13.已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，且α，β∈(0，eq\f(π,2)).求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值.解(1)因为α，β∈(0，eq\f(π,2))，所以α－β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，又sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)>0，所以0<α－β<eq\f(π,2).所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α－β)＝eq\r(1－sin2α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),10).(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(2\r(5),