直线与圆的位置关系的实际应用 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1课时2直线与圆的位置关系的实际应用1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.(重点)2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.(难点)

2024年台风“格美”由强台风级升级为超强台风级，登陆中国台湾地区，并于26日在福建省沿海二次登陆。目前“格美”仍在进一步向中国东南内陆地区挺进，假设当前台风中心P在厦门向东300km处，并以40km/h的速度向西偏北45°方向移动.已知距离台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后厦门市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？

你能画出相应的示意图吗复习导入

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例题讲解

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思考3取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？

第一步:建立坐标系，用坐标和方程表示有关的量第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系

坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；知识归纳某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解

建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0).设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r，设这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2，把P，B两点的坐标代入圆的方程，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3<3.1，所以该船可以从桥下通过.延伸探究变式训练1.如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________m.解析

如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系.设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1m后，可设点A’(x0,-3)(x0>0)，

解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0).例4.一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处,港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?•港口xOy•轮船•轮船航线所在直线l的方程为联立直线l与圆O的方程，消去y，得由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.

这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为例题讲解解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.方法归纳2.已知台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，求B城市处于危险区内的时间．【解】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动，点B到AC的距离为则射线AC被以B为圆心，以30km为半径的圆截得的弦长为所以B城市处于危险区内的时间为t＝1(h).导入解决xOy•用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步