第一节　集　合 答案

新高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第第页第一节集合一、考情探究5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第1题,5分集合的交集一元三次不等式的解法及范围估算2023年新I卷，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2题,5分元素的性质、集合的子集无2022年新I卷，第1题,5分集合的交集根号不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集单绝对值不等式的解法2021年新I卷，第1题,5分集合的交集无2021年新Ⅱ卷，第2题,5分集合的交集、补集无2020年新I卷，第1题,5分集合的并集无2020年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集无二、课标要求1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．3.理解并会求并集、交集、补集，能用Venn图表示集合间的基本关系与基本运算．三、命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。四、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR[提醒]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包括0.2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B(或B⊇A)真子集集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉AAB(或BA)集合相等组成集合A与组成集合B的元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B[提醒](1)空集是任何集合的子集；(2)空集是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算并集交集补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形语言集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}[常用结论]1．子集的个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．2．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.五、课堂考点突破考点1集合的概念例1(1)设集合A={2,4},B={1,2},集合M=zz=xy,x∈A,y∈B,则A.3 B.5C.7 D.9(1)通过x,y的取值,确定z的取值,推出M中所含的元素.(2)由题意,3=m+2或3=2m2+m,解方程,再根据集合中元素的互异性验证即可.C[解析](1)当x=2,y=1时,z=2;当x=2,y=2时,z=1;当x=4,y=1时,z=4;当x=4,y=2时,z=2.所以M={1,2,4},所以M中所有元素之和为7.故选C.(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.

(2)由题意得m+2=3或2m2+m=3,解得m=1或m=-32.当m=1时,m+2=3,2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-32时,m+2=12,2m2+m=3,满足题意.综上,总结反思解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素是什么;二是看这些元素的限制条件是什么;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题(1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 ()A.2 B.3 C.4 D.6[解析]((1)C由8-x≥x,得x≤4,又x∈N*,所以A∩B中有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个元素.(2)设a,b∈R,已知集合1,a,ba={0,a2,a+b},则(a+b)由题意得a≠0,a≠1,则ba=0,a+b=1或a2=1,所以a考点2集合间的基本关系例2(1)[2023·云南师大附中二模]已知A={x|x=3k+2,k∈N},B={y|y=6m+5,m∈N},则集合A与集合B之间的关系为 ()A.A=B B.B⫋AC.A⫋B D.A∩B=⌀[解析](1)A={x|x=3k+2,k∈N},B={y|y=6m+5,m∈N}={y|y=3(2m+1)+2,m∈N},因为m∈N,所以2m+1∈N且为奇数,所以B⫋A.故选B.(2)[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= ()A.2 B.1 C.23 D.-(2)由A⊆B,可得0∈B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B.故选B.总结反思(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合的关系,对于含有参数的集合,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数进行分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是非空集合的真子集.(3)根据集合的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系.变式题(1)满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是 ()A.2 B.3C.4 D.8[解析](1)因为{1}⊆A⊆{1,2,3},所以集合A必须含有元素1,可能含有元素2,3,故集合A可能为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.故选C.(2)[2023·吉林模拟]已知集合A={x∈N||x|<2},B={x|ax-1=0},若B⫋A,则实数a的值为 ()A.0或1 B.12C.1 D.1.(2)集合A={x∈N||x|<2}={0,1}.对于方程ax-1=0,当a=0时,方程无解,可得集合B=⌀,满足B⫋A;当a≠0时,解得x=1a,要使得B⫋A,则需满足1a=1,可得a=1.所以实数a的值为0或1.故选考点3集合的基本运算角度1集合的运算例3(1)[2023·杭州期末]已知集合A={x|x2-1<0},B={x|lgx≤0},则A∪B= ()A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1}C.{x|-1<x<1} D.{x|-1<x≤1}(2)[2023·全国乙卷]设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}= ()A.∁U(M∪N) B.N∪(∁UM)C.∁U(M∩N) D.M∪(∁UN)(1)D(2)A[解析](1)由题意可得A={x|x2-1<0}={x|-1<x<1},B={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},所以A∪B={x|-1<x≤1}.故选D.(2)由题意得M∪N={x|x<2},所以{x|x≥2}=∁U(M∪N),故选A.总结反思对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.变式题(1)[2023·新课标Ⅰ卷]已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N= ()A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}(2)[2023·广东六校一联]已知集合U=R,A=xx-3x+1>0,B={x|y=ln(3A.[-1,3] B.(3,+∞)C.(-∞,3] D.[-1,3)(1)C(2)D[解析](1)因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}.(2)由x-3x+1>0,解得x<-1或x>3,故A=xx-3x+1>0={x|x<-1或x>3},B={x|y=ln(3-x)}={x|x<3},由图可知阴影部分表示的集合是(∁UA)∩B,因为∁UA={x|-1≤x≤3},所以(∁UA)∩B=角度2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4 B.-2 C.2 D.4(2)已知集合A={2,-2},B={x|x2-ax+4=0},若A∪B=A,则实数a的取值集合为 ()A.{a|-4<a<4} B.{a|-2<a<2}C.{-4,4} D.{a|-4≤a≤4}[思路点拨](1)思路一:先求出集合A,B,再由交集的定义得到关于a的方程,解方程可得a的值;思路二:将选项中的数代入集合B,逐个验证,得到满足题意的a的值.(2)由并集结果得到B⊆A,分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论,得到实数a的取值集合.(1)B(2)D[解析](1)方法一:A={x|-2≤x≤2},B=xx≤-a2,因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以-a2=1,所以方法二:由题意得A={x|-2≤x≤2}.若a=-4,则B={x|x≤2},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤2},不满足题意,故A错误;若a=-2,则B={x|x≤1},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤1},满足题意,故B正确;若a=2,则B={x|x≤-1},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤-1},不满足题意,故C错误;若a=4,则B={x|x≤-2},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|x=-2},不满足题意,故D错误.故选B.(2)因为A∪B=A,所以B⊆A.当B=⌀时,Δ=a2-16<0,即-4<a<4,满足题意.当B≠⌀时,若Δ=a2-16=0,则a=-4或4.当a=-4时,B={-2},满足题意;当a=4时,B={2},满足题意.若Δ=a2-16>0,则-2,2是方程x2-ax+4=0的两根,显然-2×2=-4≠4,不符合题意.综上,实数a的取值集合为{a|-4≤a≤4}.故选D.总结反思利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.变式题(1)(多选题)已知集合M={x|6x2-5x+1=0},集合P={x|ax=1},若M∩P=P,则实数a的值可能为 ()A.0 B.1C.2 D.3(2)已知集合A={x∈Z|x≥a},集合B={x∈Z|2x≤4}.若A∩B只有4个子集,则实数a的取值范围是 ()A.(-2,-1] B.[-2,-1]C.[0,1] D.(0,1]变式题(1)ACD(2)D[解析](1)由6x2-5x+1=0,得(2x-1)(3x-1)=0,解得x=12或x=13,所以M=12,13,因为M∩P=P,所以P⊆M.当P=⌀时,得a=0,满足题意;当P≠⌀时,因为P={x|ax=1}=xx=1a,所以1a=12或1a=13,解得a=2或a=3.(2)集合A={x∈Z|x≥a},集合B={x∈Z|2x≤4}={x∈Z|x≤2},由题知a<2,故A∩B={x∈Z|a≤x≤2}.因为A∩B只有4个子集,所以A∩B中的元素只能有2个,即A∩B={1,2},所以0<a≤1,故选D.角度3集合语言的运用例5(1)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56%C.46% D.42%(2)已知U是非空数集,若非空集合A1,A2满足以下三个条件,则称(A1,A2)为集合U的一种真分拆,并规定(A1,A2)与(A2,A1)为集合U的同一种真分拆.①A1∩A2=⌀;②A1∪A2=U;③Ai(i=1,2)的元素个数不是Ai中的元素.则集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆的种数是 ()A.5 B.6C.10 D.15例5[思路点拨](1)设该中学的学生总数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,根据集合A,B的关系可得答案.(2)由真分拆的定义及规定即可求解.(1)C(2)A[解析](1)设该中学的学生总数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,则card(A)=60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=46%m.故选C.(2)由题意,集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆有A1={5},A2={1,2,3,4,6};A1={1,4},A2={2,3,5,6};A1={3,4},A2={1,2,5,6};A1={4,5},A2={1,2,3,6};A1={4,6},A2={1,2,3,5}.共5种,故选A.总结反思以集合语言为背景的新定义问题,需正确理解新定义(即分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚),转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题过程中,这是破解新定义集合问题的关键所在.变式题[2023·湖南师大附中模拟]若一个非空数集F满足:对任意a,b∈F,都有a+b,a-b,ab∈F,且当b≠0时,有ab∈F,则称F①0是任何数域的元素;②若数域F有非零元素,则2024∈F;③集合P={x|x=3k,k∈Z}为数域;④有理数集为数域.其中真命题的个数为.

变式题3[解析]①当a=b时,a-b=0属于数域,故①是真命题;②若数域F有非零元素,则bb=1∈F,从而1+1=2∈F,2+1∈F,…,2023+1=2024∈F,故②是真命题;③由集合P的表示可知x是3的倍数,当a=6,b=3时,ab=63=2∉P,故③是假命题;④若F是有理数集,则“对任意a,b∈F,都有a+b,a-b,ab∈F,且当b≠0时,有ab∈F”成立,故④是真命题.综上,六、课后作业课时作业(一)[A级基础练]1．已知集合A＝{x|x∈Z，且eq\f(3,2－x)∈Z}，则集合A中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5C[因为eq\f(3,2－x)∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.]2．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝()A．[2，3]B．(－2，3]C．[1，2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[由于Q＝{x|x≤－2，或x≥2}，∁RQ＝{x|－2<x<2}，故得P∪(∁RQ)＝{x|－2<x≤3}．选B.]3．(2023·新课标Ⅰ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2B．1C．eq\f(2,3)D．－1B[由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B，舍去．当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B.综上所述，a＝1.故选B.]4．已知A，B均为R的子集，且A∩(∁RB)＝A，则下列结论中一定成立的是()A．B⊆AB．A∪B＝RC．A∩B＝∅D．A＝∁RBC[∵A∩(∁RB)＝A，∴A⊆∁RB，用Venn图表示如图：由图可知，A∩B＝∅，即C一定成立，A，B，D都不一定成立．故选C.]5．(2024·重庆市第一次质量调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－2x2≥－15}，B＝{x|x≤－3，或x≥2}，则A∩∁UB＝()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，－\f(5,2)))C．(－3，3]D．(2，3]A[因为U＝R，B＝{x|x≤－3，或x≥2}，所以∁UB＝{x|－3<x<2}，又A＝{x|x－2x2≥－15}＝{x|2x2－x－15≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)≤x≤3))))，所以A∩∁UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)≤x<2))))＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故选A.]6．(多选)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则()A．A∩B＝{0，1，2}B．A∪B＝{x|x≥0}C．(∁UA)∩B＝{－1}D．A∩B的真子集个数是7ACD[A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,2)，x∈Z))))，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x|x≥－1，x∈Z}，故B错误；∁UA＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，x∈Z))))，所以(∁UA)∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的真子集个数是23－1＝7，故D正确．]7．(多选)若集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤3}，则集合{x|x≤－3，或x≥1}＝()A．M∩NB．∁RMC．∁R(M∩N)D．∁R(M∪N)BC[因为集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤3}，所以M∩N＝{x|－3<x<1}，M∪N＝{x|x≤3}，∁RM＝{x|x≤－3，或x≥1}，所以∁R(M∩N)＝{x|x≤－3，或x≥1}，∁R(M∪N)＝{x|x>3}．故选BC.]8．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C有________个．[解析]由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，故满足条件的集合C的个数为4.[答案]49．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则用列举法表示A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝________．[解析]当a＝1，b＝3时，2a－b＝－1；当a＝1，b＝5时，2a－b＝－3；当a＝2，b＝3时，2a－b＝1；当a＝2，b＝5时，2a－b＝－1；当a＝3，b＝3时，2a－b＝3；当a＝3，b＝5时，2a－b＝1，所以A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝{－1，－3，1，3}．[答案]{－1，－3，1，3}10．(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．[解析]A∩B＝A，则A⊆B，∵B＝{x|3－m≤x≤3＋m}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋m≥4,3－m≤－2))，∴m≥5，∴mmin＝5.[答案]5[B级综合练]11．(多选)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，则()A．若A＝B，则a＝－3B．若A⊆B，则a＝－3C．若B＝∅，则a≤－6或a≥6D．若a＝3，则A∩B＝{x|－3<x<6}ABC[由已知得A＝{x|－3<x<6}，令g(x)＝x2＋ax＋a2－27.选项A，若A＝B，即－3，6是方程g(x)＝0的两个根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,a2－27＝－18，))得a＝－3，正确；选项B，若A⊆B，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－3）＝a2－3a－18≤0，,g（6）＝a2＋6a＋9≤0，))解得a＝－3，正确；选项C，当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，正确；选项D，当a＝3时，B＝{x∈R|x2＋3x－18<0}＝{x|－6<x<3}，所以A∩B＝{x|－3<x<3}，错误．故选ABC.]12．(多选)(2024·山东潍坊监测)设集合A＝{x|x＝m＋eq\r(3)n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x