2025届新高考数学热点冲刺复习 等比数列

2025届新高考数学热点冲刺复习

等比数列课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________都等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示(显然q≠0)．数学表达式为________(n≥2，q为非零常数)．(2)等比中项如果在a和b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝________．比同一个常数公比

ab

a1qn－1na1

3．等比数列的性质(1)通项公式的推广公式：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝________．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为________．(4)若等比数列{an}的前n项和为Sn，那么(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．

不能认为在任何等比数列中，都有Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列(5)当n为偶数时，S偶∶S奇＝q.am·anqm

××××

答案：B

等比等差

答案：A

答案：A

课堂互动探究案1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．问题思考·夯实技能【问题1】类比指数函数的性质，说出公比q>0的等比数列的单调性．提示：①当q>1时，若a1>0，则{an}单调递增；若a1<0，则{an}单调递减．②当0<q<1时，若a1>0，则{an}单调递减；若a1<0，则{an}单调递增．③当q＝1时，{an}不具有单调性．【问题2】任何两个实数都有等差中项和等比中项对吗？

答案：C

(2)[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为(

)A．35 B．75C．155 D．315答案：C

巩固训练1(1)[2024·河北秦皇岛模拟]一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为(

)A．1B．2C．3D．4答案：B

(2)[2024·河南开封模拟]记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2(a1＋a2)＝a2＋a3＝12，则S5＝(

)A．30B．31C．61D．62答案：D

题后师说

答案：B

(2)[2024·湖北黄冈模拟]已知数列{an}是正项等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an.若a2a5a8＝212，b1＋b2＋b3＋…＋b9＝(

)A．24 B．32C．36 D．40答案：C

题后师说在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．巩固训练3(1)[2024·河南郑州模拟]在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a3a4a5＝6，则a7a8a9的值为(

)A．48 B．72C．216 D．192答案：C

3

角度二等比数列前n项和的性质例4(1)[2024·河北沧州模拟]正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝21S10，S10＋S30＝220，则S20＝(

)A．90 B．50C．40 D．30答案：B解析：因为Sn是正项等比数列{an}的前n项和，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，又因为S30＝21S10，S10＋S30＝220，所以S10＝10，S30＝210，所以(S20－10)2＝10(210－S20)，解得S20＝50或S20＝－40(舍)．故选B.(2)已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝(

)A．11 B．12C．13 D．14答案：B

题后师说在等比数列中，当前n项和的下标成等差数列时，往往借助Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列这一性质求解，减少了运算量，提高了解题速度．

答案：D

(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．2

1．[2022·全国乙卷]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(

)A．14 B．12C．6 D.3答案：D

2．[2023·全国甲卷]已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(

)A．7 B．9C．15 D．30答案：C解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝