人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》2024年单元测试卷（B卷）

人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章随机变量及其分布》2024年单元测试卷（B卷）一、选择题1．（5分）已知离散型随机变量X的概率分布列如表：X0123P0.20.30.4c则实数c等于（）A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.762．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．3．（5分）已知4个红球，2个白球，每次随机取1个球，不放回地取两次．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为（）A． B． C． D．4．（5分）设随机变量ξ的分布列由，则a的值为（）A．1 B． C． D．5．（5分）设随机变量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，则μ的值为（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1二、多选题（多选）6．（5分）下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有（）A．随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N） D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）（多选）7．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则下列结论正确的是（）A．P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）+P（ξ＞﹣a）（a＞0） B．P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）﹣1（a＞0） C．P（|ξ|＜a）＝1﹣2P（ξ＜a）（a＞0） D．P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|≥a）（a＞0）（多选）8．（5分）下列命题中，正确的命题是（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则 B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当X＝8时概率最大三、填空题9．（5分）设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝．10．（5分）已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位．若移动n次，则当n＝4时，质子位于原点的概率为，当n＝时，质子位于6对应点处的概率最大．11．（5分）已知随机变量ξ的分布列如表所示：x﹣1012P（ξ＝x）abc若Eξ＝0，Dξ＝1，则b＝．四、解答题12．（12分）某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率．13．（12分）学校体育节，某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．14．（12分）甲，乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P（C）．15．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元．（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．16．（12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章随机变量及其分布》2024年单元测试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知离散型随机变量X的概率分布列如表：X0123P0.20.30.4c则实数c等于（）A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76【分析】利用分布列的性质即可得出．【解答】解：据题意，得0.2+0.3+0.4+c＝1，解得：c＝0.1．故选：C．【点评】本题考查了随机变量分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．【分析】由二项分布与n次独立重复实验的模型可得：P（）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝（）3（）2+（）2（）3＝，得解．【解答】解：因为X～B（5，），所以P（）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝（）3（）2+（）2（）3＝，故选：C．【点评】本题考查了二项分布与n次独立重复实验的模型，属简单题．3．（5分）已知4个红球，2个白球，每次随机取1个球，不放回地取两次．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为（）A． B． C． D．【分析】直接分析即可．【解答】解：第一次取到红球后还剩3个红球，2个白球，故第二次取到白球的概率为．故选：B．【点评】本题考查概率，属于基础题．4．（5分）设随机变量ξ的分布列由，则a的值为（）A．1 B． C． D．【分析】根据所给的随机变量的分布列和分布列的所有概率之和等于1，列出关于a的一元一次方程，得到字母的值．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列由，∴根据分布列的性质有a×＝1，∴a（）＝a×＝1，∴a＝，故选：D．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质和简单应用，本题解题的关键是根据分布列的性质得到关于字母系数的方程，利用方程思想来解题，本题是一个基础题．5．（5分）设随机变量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，则μ的值为（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1【分析】由题意结合正态分布的对称性和概率的性质整理计算即可求得最终结果．【解答】解：由题意可得：P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝P（ξ≥1）+P（ξ＜1）＝1，∴P（ξ＜0）＝P（ξ≥1），结合正态分布的对称性可得：．故选：A．【点评】本题考查正态分布的性质，概率的基本性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．二、多选题（多选）6．（5分）下列事件中随机变量ξ服从二项分布的有（）A．随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N） D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）【分析】根据已知条件，结合二项分布的定义，即可求解．【解答】解：对于A，由于每抛掷一枚骰子出现点数是3的倍数的概率都是相等的，且相互独立，故随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数服从二项分布，故A正确，对于B，对于射手某从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ，每次试验不是独立的，与其它各次试验结果有关，故不是二项分布，故B错误，对于C，有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，每一次抽取中出现次品的概率都是相等的，且相互独立，故ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）服从二项分布，故C正确，对于D，由于采用不放回抽取方法，每一次抽取中出现次品的概率相等，后一次要受前一次影响，故ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N）不服从二项分布，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了二项分布的定义，属于基础题．（多选）7．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则下列结论正确的是（）A．P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）+P（ξ＞﹣a）（a＞0） B．P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）﹣1（a＞0） C．P（|ξ|＜a）＝1﹣2P（ξ＜a）（a＞0） D．P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|≥a）（a＞0）【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：P（|ξ|＜a）＝P（﹣a＜ξ＜a），故A错误，P（|ξ|＜a）＝P（﹣a＜ξ＜a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＜﹣a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＞a）＝P（ξ＜a）﹣[1﹣P（ξ＜a）]＝2P（P（ξ＜a）﹣1，故B正确，C错误，∵P（|ξ|＜a）+P（|ξ|＞a）＝1，∴P（|ξ|＜a）＝10P（|ξ|＞a），（a＞0），故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．（多选）8．（5分）下列命题中，正确的命题是（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则 B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当X＝8时概率最大【分析】根据二项分布的性质列方程组计算p判断A，根据方差性质判断B，根据正态分布对称性判断C，根据二项分布的概率公式判断D．【解答】解：对于A，由题意可得：，两式相比可得：1﹣p＝，故p＝，故A错误；对于B，由D（aX+b）＝a2D（X）可知当a＝1时，D（X+b）＝D（X），故B正确；对于C，由ξ～N（0，1）可知P（ξ≤0）＝，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞1）＝p，∴P（﹣1＜ξ≤0）＝P（ξ≤0）﹣P（ξ＜﹣1）＝p，故C正确；对于D，＝＝，＝＝，令，解得：≤k≤，又k∈Z，故k＝8，故X＝8时，概率最大，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了随机变量的分布列及其性质，属于中档题．三、填空题9．（5分）设随机变量X～B（5，），则P（2＜X≤4）＝．【分析】利用二项分布和n次独立重复试验的模型直接求解．【解答】解：∵随机变量X～B（5，），∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查二项分布和n次独立重复试验的模型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位．若移动n次，则当n＝4时，质子位于原点的概率为，当n＝34或36时，质子位于6对应点处的概率最大．【分析】根据独立重复试验的概率公式求n＝4时质子位于原点的概率，再求质子位于6对应点处的概率表达式并求其最值．【解答】解：质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位．则第n次移动时向左移动的概率为，事件n＝4时质子位于原点等价于事件前4次移动中有且只有2次向左移动，所以事件n＝4时质子位于原点的概率为，事件第2m+6次移动后质子位于6对应点处等价于事件质子在2m+6次移动中向右移了m+6次，所以第2m+6次移动后质子位于6对应点处的概率，设，则，令可得，化简可得4m2+32m+28＞4m2+30m+56，所以m＞14，m∈N*，所以f（15）＞f（16）＞…＞f（m）＞…，令可得m＜14，m∈N*，所以f（14）＞f（13）＞…＞f（1），又，所以m＝14或m＝15，即n＝34或n＝36时，质子位于6对应点处的概率最大．故答案为：；34或36．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．11．（5分）已知随机变量ξ的分布列如表所示：x﹣1012P（ξ＝x）abc若Eξ＝0，Dξ＝1，则b＝．【分析】由分布列的性质和期望方差的定义可得a+b+c+＝1，①﹣a+c+＝0，②a+c+＝1，③联立解方程组可得．【解答】解：由分布列的性质可得a+b+c+＝1，①又可得Eξ＝﹣a+c+＝﹣a+c+＝0，②Dξ＝（﹣1﹣0）2a+（0﹣0）2b+（1﹣0）2c+（2﹣0）2×＝1，化简可得：a+c+＝1，③联立②③可解得，代入①可得b＝故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方程，涉及分布列的性质的应用，属中档题．四、解答题12．（12分）某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出ξ的分布列．（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，由此利用对立事件概率计算公式能求出男生甲或女生乙被选中的概率．【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．∴ξ的分布列为：ξ012P（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P（C）＝＝＝．∴所求概率为P（）＝1﹣P（C）＝1﹣＝．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．13．（12分）学校体育节，某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；（2）根据题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值与方差．【解答】解：（1）由已知得：P＝＝，所以，事件A发生的概率为；（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；计算＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以随机变量X的分布列为：X012P随机变量X的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝1，D（X）＝+．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．14．（12分）甲，乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P（C）．【分析】（1）由题意可知，ξ的所有可能的值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列．（2）“甲队得两分”与“乙队得1分”相互独立，分别算出“甲队得两分”的概率，乙队得1分”的概率，并相乘，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，ξ的所有可能的值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，故ξ的分布列为：ξ0123P（2）“甲队得两分”与“乙队得1分”相互独立，由（1）得，“甲队得2分”的概率P（ξ）＝，“乙队得1分”的概率为++，∴“甲队得2分，乙队得1分”的概率P（C）＝．【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及需要学生熟练掌握概率公式，属于基础题．15．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元．（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．【分析】（Ⅰ）由检测结果统计利用等可能事件概率计算公式能求出元件A、元件B为正品的概率．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．（ii）生产5件元件B所获得的利润不少于300元包含两种情况：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知元件A为正品的概率为p1＝＝，元件B为正品的概率为＝．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30．由题意可得P（X＝150）＝，P（X＝90）＝＝，P（X＝30）＝＝，P（X＝﹣30）＝＝，∴X的分布列为：X1509030﹣30PEX＝＝108．（ii）生产5件元件B所获得的利润不少于300元包含两种情况：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，∴生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率：p＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．16．（12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选