人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章 随机变量及其分布》2024年单元测试卷（A卷）

人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章随机变量及其分布》2024年单元测试卷（A卷）一、选择题1．（5分）把一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是（）A． B． C． D．2．（5分）已知离散型随机变量ξ的概率分布如表格：ξ135P0.5m0.2则其数学期望E（ξ）等于（）A．1 B．0.6 C．2+3m D．2.43．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P（B|A）＝（）A． B． C． D．4．（5分）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理，根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X（束）的统计（如表），若进这种鲜花500束，在今年节日期间销售，则期望利润是（）X200300400500P0.200.350.300.15A．544 B．706 C．1156 D．16065．（5分）甲，乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列，则有结论：（）工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的质量好一些二、多选题（多选）6．（5分）设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（）A．q＝0.1 B．E（X）＝2 C．E（Y）＝5 D．D（X）＝1.4（多选）7．（5分）随机变量X服从正态分布N（90，52），则下述正确的是（）A．E（X）＝90 B．D（X）＝5 C．P（X＞100）＝P（X＜80） D．P（X＞100）＞P（X＜100）三、填空题8．（5分）袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得2分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤9）＝．9．（5分）小王从家乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4，那么小王上学途中遇到红灯个数的数学期望为．10．（5分）某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，则m+n的值是．四、解答题11．（10分）某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽取2件．求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．12．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门]制定了下列两种可供选择的方案．方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次．方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列（2）设p＝0.1，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）13．（12分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制．根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．（Ⅰ）求中国队以3：0的比分获胜的概率；（Ⅱ）求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；（Ⅲ）假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望E（X）．14．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（38.45，50.4）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望及方差．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544．15．（12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．16．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人，从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（1）设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生中文、理科生都有”，求事件A发生的概率；（2）用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列及方差．

人教A版（2019）选择性必修第三册《第七章随机变量及其分布》2024年单元测试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣＝，故选：D．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率．2．【分析】根据所给的分布列，根据分布列中所有的概率之和是1，求出m的值，求期望即可．【解答】解：∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，∴0.5+m+0.2＝1，∴m＝0.3，∴随机变量的数学期望E（ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．故选：D．【点评】本题考查分布列的性质和方差，本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母，本题是一个基础题．3．【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A＝{两个点数都不相同}包含的基本事件数，与事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率．【解答】解：由题意事件A＝{两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6＝30，事件B：出现一个5点，有10种，∴P（B|A）＝＝，故选：A．【点评】本题考查古典概率模型及条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事事件A：两个点数互不相同，事件B：出现一个5点，以及P（B|A），比较基础．4．【分析】先求出节日期间这种鲜花需求量X的均值，再确定利润为Y与X的关系，由数学期望的性质求解即可．【解答】解：节日期间这种鲜花需求量X的均值为E（X）＝200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15＝340束，设利润为Y，则Y＝5X+1.6（500﹣X）﹣500×2.5＝3.4X﹣450，所以E（Y）＝3.4E（X）﹣450＝3.4×340﹣450＝706元．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，数学期望性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．5．【分析】根据出现废品数与出现的概率，得到甲生产废品期望和乙生产废品期望，把甲和乙生产废品的期望进行比较，得到甲生产废品期望大于乙生产废品期望，得到乙的技术要好一些．【解答】解：甲生产废品期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1，乙生产废品期望是1×0.5+2×0.2＝0.9，∴甲生产废品期望大于乙生产废品期望，故选：B．【点评】本题考查两的知识点是方差或标准差，及数学期望，根据方差说明两组数据的稳定性，这是统计中经常出现的一类问题．二、多选题6．【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质直接求解．【解答】解：由离散型随机变量的分布列的性质为：q+0.4+0.1+0.2+0.2＝1，解得q＝0.1，故A正确；E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，故B正确；E（Y）＝2E（X）+1＝2×2+1＝5，故C正确；D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．【分析】由随机变量X服从正态分布N（90，52），得正态分布曲线的对称轴为x＝μ＝90，σ＝5，判断A正确，B错误；再由正态分布曲线的对称性可得C正确，D错误．【解答】解：由随机变量X服从正态分布N（90，52），得正态分布曲线的对称轴为x＝μ＝90．即E（X）＝90，故A正确；标准差为5，故B错误；由正态分布曲线的对称性得P（X＞100）＝P（X＜80），故C正确；P（X＞100）＜P（X＜100），故D错误．故选：AC．【点评】本题考查正态分布曲线的对称性，是基础题．三、填空题8．【分析】取出的4只球中红球的可能的个数为4，3，2，1，黑球相应的个数为0，1，2，3，得分的随机变量ξ＝8，9，10，11，分别求出P（ξ＝8），P（ξ＝9）的值，并求和，即可求解．【解答】解：取出的4只球中红球的可能的个数为4，3，2，1，黑球相应的个数为0，1，2，3，∵得分的随机变量ξ＝8，9，10，11，∴P（ξ≤9）＝P（ξ＝8）+P（ξ＝9）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，属于基础题．9．【分析】由题意X服从二项分布，再利用公式求期望即可．【解答】解：设此人上班途中遇红灯的次数为X，则X～B（3，0.4），∴E（X）＝3×0.4＝1.2，故答案为：1.2．【点评】本题考查二项分布的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．10．【分析】利用相互独立事件概率加法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m+n的值．【解答】解：∵三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，∴，解得m+n＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率加法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题11．【分析】（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20种可能，所以概率为两者相除．（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为．【解答】解：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次都抽到次品”为事件B，事件A和事件B相互独立．依题意得：（1）第一次抽到次品的概率为，（2）第一次和第二次都抽到次品的概率为，（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为：．【点评】本题考查了条件概率的求法，做题时要认真分析，找到正确方法．12．【分析】（1）根据题意，某组k个人中每个人的血化验次数为X＝，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阳性的概率q＝1﹣p，求出概率，写出分布列即可；（2）根据（1）可得方案二的数学期望E（X）＝，p＝0.1，求出k＝2，3，4时化验的平均次数，求出化验次数最少的情况，与方案一对比，得出结论．【解答】解：（1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阴性的概率q＝1﹣p，所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1﹣p）k，呈阳性反应的概率为1﹣（1﹣p）k，故X＝，P（X＝）＝（1﹣p）k，P（X＝）＝1﹣（1﹣p）k，故X的分布列为：XP（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k（2）根据（1）可得方案二的数学期望E（X）＝，p＝0.1，当k＝2时，E（X）＝，此时669人需要化验总次数为462次；当k＝3时，E（X）＝，此时669人需要化验总次数为404次；当k＝4时，E（X）＝，此时669人需要化验总次数为397次；故k＝4时，化验次数最少，根据方案一，化验次数为669次，故当k＝4时，化验次数最多可以平均减少669﹣397＝272次．【点评】本题考查离散型随机变量求分布列和数学期望，考查了数学期望在实际问题中的应用，注意运算的正确性，中档题．13．【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件乘法公式列式计算即可；（Ⅱ）根据相互独立事件乘法公式列式计算即可；（Ⅲ）求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）中国队以3：0的比分获胜的概率为（）3＝．（Ⅱ）中国队在先失1局的前提下获胜有2种情况，①中国队连赢3局：（）3＝；②中国队在2﹣4局中赢2局，再赢第5局：＝，∴中国队在先失1局的前提下获胜的概率为．（Ⅲ）X的可能取值为3，4，5，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝＝，∴X的分布列为：X345PE（X）＝3×＝．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．14．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质能求出所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数．（2）①Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ＝26.5，σ≈11.95，由此能求出Z落在（38.45，50.4）内的概率．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于（10，30）内的概率为0.2+0.3＝0.5，X～B（4，），由此能求出X的分布列和数学期望及方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：（0，10]的频率为：0.010×10＝0.1，（10，20]的频率为：0.020×10＝0.2，（20，30]的频率为：0.030×10＝0.3，（30，40]的频率为：0.025×10＝0.25，（40，50]的频率为：0.015×10＝0.15，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ＝26.5，σ≈11.95，P（38.45＜Z＜50.4）＝P（26.5﹣2×11.95＜Z＜26.5+2×11.95）﹣P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）＝（0.9544﹣0.6826）÷2＝0.1359∴Z落在（38.45，50.4）内的概率是0.1359．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于（10，30）内的概率为0.2+0.3＝0.5，∴X～B（4，），X的可能取值分别为：0，1，2，3，4，，，，，，∴X的分布列为：X01234P∵X～B（4，），∴．，D（X）＝4×＝1．【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考