2024年高中数学模块综合测试卷含解析人教A版必修4

PAGEPAGE8模块综合测试卷班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310°∵310°是第四象限角∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB的长度为eq\r(3)，则该弦AB所对的弧长l为()A.eq\f(2,3)πB.eq\f(3,4)πC.eq\f(5,6)πD．π答案：A解析：设该弦AB所对的圆心角为α，由已知R＝1，∴sineq\f(α,2)＝eq\f(\f(AB,2),R)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(α,2)＝eq\f(π,3)，∴α＝eq\f(2,3)π，∴l＝αR＝eq\f(2,3)π.3．下列函数中周期为eq\f(π,2)的偶函数是()A．y＝sin4xB．y＝cos22x－sin22xC．y＝tan2xD．y＝cos2x答案：B解析：A中函数的周期T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，是奇函数．B可化为y＝cos4x，其周期为T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，是偶函数．C中T＝eq\f(π,2)，是奇函数，D中T＝eq\f(2π,2)＝π，是偶函数．故选B.4．已知向量a，b不共线，实数x，y满意(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则x－yA．3B．－3C．0D．2答案：A解析：由原式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3.))∴x－y＝3.5．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD是()A．长方形B．平行四边形C．菱形D．梯形答案：D解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|≠|eq\o(BC,\s\up6(→))|∴四边形ABCD是梯形．6．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，eq\r(2)]B．[0,2]C．[1,2]D．[eq\r(2)，2]答案：D解析：|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cosθ，因为θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以2＋2cosθ∈[2,4]，所以|a＋b|的取值范围是[eq\r(2)，2]．7．已知cosα＝－eq\f(4,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A．－eq\f(1,7)B．7C.eq\f(1,7)D．－7答案：B解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(3,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝7.8．函数f(x)＝2sineq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))的部分图象是()答案：C解析：∵f(x)＝2sineq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，∴f(π－x)＝2sineq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(π－x－\f(π,2)))＝2sineq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．解除A、B、D.9．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5,8)π))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)π＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋2kπ，\f(5,8)π＋2kπ))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)π＋2kπ，\f(π,8)＋2kπ))(k∈Z)答案：A解析：y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).由2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤π＋2kπ，(k∈Z)得eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(5,8)π＋kπ(k∈Z)时，y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))单调递减．故选A.10．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝eq\f(π,4)和x＝eq\f(5π,4)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)答案：A解析：因为直线x＝eq\f(π,4)和x＝eq\f(5π,4)是函数图象中相邻的两条对称轴，所以eq\f(5π,4)－eq\f(π,4)＝eq\f(T,2)，即eq\f(T,2)＝π，T＝2π.又T＝eq\f(2π,ω)＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线x＝eq\f(π,4)是函数图象的对称轴，所以eq\f(π,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,4)，检验知，此时直线x＝eq\f(5π,4)也为对称轴．故选A.11．若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为()A.eq\r(2)－1B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)D．2答案：C解析：|a＋b|＝eq\r(2x2＋2x＋2)≥eq\r(2).12．若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9)D．－eq\f(\r(6),9)答案：C解析：∵α＋eq\f(β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(3)＋4\r(3),9)＝eq\f(5\r(3),9).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a|＝4，a与b的夹角为eq\f(π,6)，则a在b方向上的投影为__________．答案：2eq\r(3)解析：由投影公式计算：|a|coseq\f(π,6)＝2eq\r(3).14．函数y＝2sinxcosx－1，x∈R的值域是______．答案：[－2,0]解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]．15．已知函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则f(x)的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))解析：由f(x)与g(x)的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，则f(x)的最小值为3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(3,2)，最大值为3sineq\f(π,2)＝3，所以f(x)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).16．下列推断正确的是________．(填写全部正确推断序号)①若sinx＋siny＝eq\f(1,3)，则siny－cos2x的最大值是eq\f(4,3)②函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2x))的单调增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)③函数f(x)＝eq\f(1＋sinx－cosx,1＋sinx＋cosx)是奇函数④函数y＝taneq\f(x,2)－eq\f(1,sinx)的最小正周期是π答案：①④解析：①siny－cos2x＝sin2x－sinx－eq\f(2,3)，∴sinx＝－1时，最大值为eq\f(4,3).②2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，∴kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8).③定义域不关于原点对称．④y＝taneq\f(x,2)－eq\f(1,sinx)＝－eq\f(1,tanx)，∴T＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P(－4,3)，求eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值．解：∵tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4)∴eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝eq\f(－sinα·sinα,－sinα·cosα)＝tanα＝－eq\f(3,4).18．(12分)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.(1)求tanA的值；(2)求函数f(x)＝cos2x＋tanA·sinx(x∈R)的值域．解：(1)∵m·n＝0，∴sinA－2cosA＝0.∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝2.(2)f(x)＝cos2x＋tanAsinx＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2).∵－1≤sinx≤1∴sinx＝eq\f(1,2)时，f(x)取最大值eq\f(3,2)，sinx＝－1时，f(x)取最小值－3，∴f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)．∵|c|＝2eq\r(5)，∴eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(5)，即x2＋y2＝20.①∵c∥a，a＝(1,2)∵2x－y＝0，即y＝2x，②联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－4，))∴c＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b∴(a＋2b)·(2a－b∴2|a|2＋3a·b－2|b|2∵|a|2＝5，|b|2＝eq\f(5,4)，代入上式得a·b＝－eq\f(5,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\f(5,2),\r(5)×\f(\r(5),2))＝－1.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.20．(12分)已知函数f(x)＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－sin2x.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值；(2)若对于随意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，都有f(x)≤c，求实数c的取值范围．解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))－sin2eq\f(π,12)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).(2)f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))－eq\f(1,2)(1－cos2x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋cos2x))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(3,2)cos2x))＝eq\f(\r(3),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以当2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,12)时，f(x)取得最大值eq\f(\r(3),2).所以对随意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≤c等价于eq\f(\r(3),2)≤c.故当对随意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≤c时，c的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞)).21．(12分)已知sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝eq\f(9,5)，即1＋sin2α＝eq\f(9,5)，∴sin2α＝eq\f(4,5).又2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(3,5)，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(4,3).(2)∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，于是sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25).又sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－cos2β，∴cos2β＝－eq\f(24,25).又2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sin2β＝eq\f(7,25)，又cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(2,\r(5))，∴sinα＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))))).∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β