广东省惠州市2025届高三数学第三次调研考试试题文含解析

PAGE20-广东省惠州市2025届高三数学第三次调研考试试题文（含解析）留意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必需用黑色字迹签字笔作答，答案必需写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合B，再依据并集定义求结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解实力，属基础题.2.设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】B【解析】【分析】先依据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】，所以在复平面内对应的点为，在其次象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解实力，属基础题.3.已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据韦达定理得，再依据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且，故选：D点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解实力，属基础题.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当”时，则或此时可能无意义，故不肯定成立，而当时，则或，“”成立故“”是的一个必要不充分条件．故答案选5.已知圆C：上存在两点关于直线对称，=（）A.1 B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】依据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，，，得.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解实力，属基础题.6.在中，，是直线上的一点，若，则=（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】【分析】先依据条件化以为基底向量，再依据平面对量共线定理推论确定参数.【详解】，又三点共线，所以，得.故选：B【点睛】本题考查平面对量共线定理推论，考查基本分析求解实力，属基础题.7.惠州市某学校一位班主任须要更换手机语音月卡套餐，该老师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.依据以上数据，该老师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不行能是（）A.580 B.600 C.620 D.640【答案】D【解析】【分析】先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再推断选择.【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为.故选：D【点睛】本题考查依据数据估计中位数，考查基本分析求解实力，属基础题.8.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依据偶函数求参数，再求导数，依据导数几何意义得斜率，最终依据直线垂直关系得结果.【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解实力，属基础题.9.函数在的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为，故解除A；因为，所以函数为奇函数，故解除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数探讨函数的单调性．10.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再依据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时留意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数，对随意，都有，若在上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简函数，依据正弦函数性质求最大值，解得；再依据在上的值域确定取值范围，解得结果.【详解】=，，，，，，.故选：A【点睛】本题考查协助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解实力，属中档题.12.已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时，实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，依据条件解得，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最终利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得，由已知得为两个不等实根，所以，恒成立，恒成立.令，则，当，当上单调递减，在上单调递增.故选：A【点睛】本题考查利用导数探讨不等式恒成立问题，考查综合分析求解实力，属中档题.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，其次空2分.13.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是_________.【答案】6【解析】分析】执行循环，依据推断条件推断是否接着循环，直至跳出循环输出结果.【详解】①②③结束循环，输出结果：6故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解实力，属基础题.14.已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若，，则________．【答案】（或120°）【解析】【分析】依据余弦定理干脆求解得，再依据特别角三角函数值得结果.【详解】因为，，．故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解实力，属基础题.15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为骄傲的发觉．我们来重温这个宏大发觉，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】.【解析】【分析】设球的半径为，可知圆柱高为；依据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为圆柱的表面积；球的表面积圆柱的表面积与球的表面积之比为本题正确结果：【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.16.设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．（）若，则__________．（）的最大值是__________．【答案】(1)..(2)..【解析】【分析】分析：当时，时，求出满意的面积，分别求出满意面积，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】由题意可得，当时，满意的面积为，时，满意面积为所以；如图，当取得最大值时，即时最大，当时，满意的面积为，时，满意面积为所以；最大值为．故答案为，.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事务的面积；几何概型问题还有以下几点简单造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确推断事务是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本领件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事务是否等可能性导致错误.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.（1）求公差及数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）=2，（2）272【解析】【分析】（1）依据等差数列性质得，解不等式得范围，再依据为大于0的整数得的值，最终依据等差数列通项公式得结果；（2）先依据项的正负去掉肯定值，再分别依据对应等差数列求和公式求和，即得结果.【详解】（1）设的公差为，则由题可知：.，即.解得.因为为整数，=2所以数列的通项公式为（2）当时，；当时，.=272所以数列的前20项和为272.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解实力，属中档题.18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）设，利用三角形中位线性质得，再依据线面平行判定定理得结果；（2）取的中点，结合面面垂直性质定理得平面，再依据等体积法以及利用锥体体积公式求结果.【详解】（1）连接，设，连接，则点是的中点．又因为是的中点，所以，又因为平面，平面所以平面．（2）因为四边形是菱形，且，所以．又因为，所以三角形是正三角形．取的中点，连接，则又平面⊥平面，平面，平面平面，所以平面．即是四棱锥的一条高而所以．综上，三棱锥的体积为4.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解实力，属中档基础题.19.惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量（，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为元.（1）求商店日利润关于日需求量的函数表达式.（2）依据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事务发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.【答案】（1）（2）①15.32公斤②0.4【解析】【分析】（1）依据条件列分段函数关系式，即得结果；（2）①依据组中值求平均数，②先依据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率.【详解】（1）当时当时所求函数表达式为：．（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日需求量平均数为：（公斤）②当时，，由此可令，得所以估计日利润不少于620元的概率为.【点睛】本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解实力，属中档题.20.己知函数，它的导函数为.（1）当时，求的零点；（2）若函数存在微小值点，求的取值范围.【答案】（1）是的零点；（2）【解析】【分析】（1）求得时的，由单调性及求得结果.（2）当时，，易得存在微小值点，再分当时和当时，令，通过探讨的单调性及零点状况，得到的零点及分布的范围，进而得到的极值状况，综合可得结果.【详解】（1）的定义域为，当时，，.易知为上的增函数，又，所以是的零点.（2），①当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.令，则.②当时，，所以在上单调递增.又，，所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的微小值点，符合题意.③当时，令，得.当）时，；当时，，所以.若，即当时，恒成立，即在上单调递增，无极值点，不符合题意.若，即当时，，所以，即在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的微小值点，符合题意.综上，可知，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数探讨函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有肯定的难度．21.设抛物线C:与直线交于A、B两点.（1）当取得最小值为时，求的值.（2）在（1）的条件下，过点作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且的平分线与轴平行，求证：直线MN的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析，定值.【解析】【分析】（1）先确定直线过抛物线焦点，再依据抛物线定义求，最终依据最小值求的值；（2）先确定PM、PN的斜率互为相反数，再设直线PM方程，与抛物线联立解得M坐标，类似可得N点坐标，最终利用斜率公式求结果.【详解】（1）由题意知：直线过定点，该点为抛物线焦点.联立，消去得：设，有，…，当时，，解得（2）证明：由已知可知直线PM、PN斜率存在，且互为相反数设，直线PM的方程为.联立，消去x整理得：.又4为方程的一个根，所以，得同理可得所以直线MN的斜率为定值.【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证实力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴