必修第一册湘教版第2章单元测试卷

第2章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-7x+6>0},B={x|2-x>0},则A∩B=()A.{x|x>6} B.{x|1<x<2} C.{x|x<1} D.{x|2<x<6}2.已知x>-2,则x+1x+2的最小值为(A.-12 B.-1 C.0 3.中国南宋著名数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,A.182 B.24 C.162 D.924.已知p=a+1a-2(a>2),q=-b2-2b+3(b∈R),则p,q的大小关系为(A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q5.已知p:-12<a<1,q:对任意-1≤x≤1,x2-ax-2<0,则p是q成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若正数a,b满足1a+2b=1,则2a-1+1A.2 B.322 C.52 7.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-300x+80000,为使平均处理成本最低,该厂每月处理量应为()A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨8.已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则xzy2的(A.最大值为18 B.最小值为18 C.最大值为8 D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},则下列说法正确的是()A.a<0B.ax+c>0的解集为{x|x>6}C.8a+4b+3c<0D.cx2+bx+a<0的解集为{x|-12<x<110.设0<a<b,a+b=1,则下列结论正确的是()A.a2+b2<b B.a<a2+b2C.a<2ab≤12 D.12<a2+b211.已知正实数a,b满足2a+2a+b+1b-10=0,则下列说法正确的是(A.2a+b的最大值为5+17B.2a+b的最大值为9C.2a+b的最小值为5-17D.2a+b的最小值为1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数y=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当-1≤x≤1时,y>0恒成立,则b的取值范围是.

13.若函数y=x2-2ax+4=0在(1,2]上有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是.

14.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则a2+1b的最小值为;若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|x1<x<x2},且|x1-x2|=4,则c=.(本题第一空2分,第二空3分四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)当p,q都为正数且p+q=1时,试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.

16.(15分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.

17.(15分)在弹性限度内,弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比,即d=mk,其中d是拉伸距离(单位:cm),m是物体的质量(单位:g),k是弹簧的劲度系数(单位:g/cm).弹簧的劲度系数分别为k1,k2的两个弹簧串联时,得到的弹簧的劲度系数k满足1k=1k1+1k2,并联时得到的弹簧的劲度系数k'满足k'=k1+k2.已知物体质量为20g,

18.(17分)已知关于x的一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数y=m+3m+2(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m-3)x-3m>0的解集.

19.(17分)对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab>cd，那么称点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，同时点(c，d)是点(a，b)的“下位点(1)试写出点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，判断点P(a+c2，b+d2)是否是点(a，b)(3)设正整数n满足以下条件：对集合{t|0<t<2023，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点(n，k)既是点(2023，m)的“下位点”，又是点(2024，m+1)的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由.

第2章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷参考答案1.C∵A={x|(x-1)(x-6)>0}={x|x<1或x>6},B={x|2-x>0}={x|x<2},∴A∩B={x|x<1}.2.C由x>-2得x+2>0,所以x+1x+2=x+2+1x+2-2≥2(x+2)·1x+2-3.A由题意得p=12(a+b+c)=12,S=12(12−a)(12-b)(12-c)=72(12−b)(12-c)≤62×12−b+12−c2=182,当且仅当12-4.A∵a>2,∴p=a+1a-2=a-2+1a-2+2≥2(a-2)×1a-2q=-b2-2b+3=-(b+1)2+4≤4,当且仅当b=-1时取等号.∴p≥q.故选A.5.A构造函数y=x2-ax-2,由于对任意-1≤x≤1,y<0恒成立,则(-1)2-a(-1)-2=a-1<0,12-a×1−2=−a-1<0,解得-1<a<1,∵{a|-126.A因为1a+2b=1,a,b为正数,所以0<1a<1,0<2b<1,从而a>1,b>2.又1a+2b=1可化为(a-1)(b-2)=2,故2a-1+1b-2≥22a-1×1b-27.B由题意知,平均处理成本为s=yx=12x2-300x+80000x=x2+80000x-300,其中300≤x≤600,又x2+80000x-300≥2x2·80000x-300=400-300=100,8.A由题意知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则y=x+2z,又xzy2=xz(x+2z)2=xzx2+4xz+4z2=1xz+4zx+4≤19.AD∵不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},∴a<0,-2+3=-ba,-2×3=ca,即b=-a,ax+c>0可化为ax-6a>0,即x-6<0,故ax+c>0的解集为{x|x<6},故选项B错误;8a+4b+3c=8a-4a-18a=-14a>0,故选项C错误;cx2+bx+a<0可化为-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1<0,故不等式的解集为{x|-12<x<13},故选项D故选AD.10.ABD由0<a<b,a+b=1,得0<a<12<b<1.对于A,由a+b=1得a2+b2=1-2ab=b+a-2ab=b+a(1-2b)<b,所以A正确.对于B,12<b⇒1<2b⇒a<2ab<a2+b2,所以B正确.对于C,由选项B有a<2ab,但2ab<2×(a+b2)2=12,所以C错误.对于D,a2+b2>(a+b)22=12,且a2<a,b11.BD设t=2a+b,t>0,因为2a+2a+b+1b-10所以10-t=2a+1b,所以0(2a+b)(2a+1b)=5+2ba+2ab≥当且仅当2ba=2ab,且2a+2a+b+1b-10=0,即a=b=此时t(10-t)≥9,解得1≤t≤9.故2a+b有最大值9,有最小值1.故选BD.12.{b|b>2或b<-1}依题意,函数y=-x2+2x+b2-b+1的图象的对称轴为直线x=1,函数图象开口向下,∴当-1≤x≤1时,若y>0恒成立,则当x=-1时,y=-1-2+b2-b+1>0,即b2-b-2>0,∴(b-2)(b+1)>0,解得b>2或b<-1.13.{a|2≤a<52}当方程x2-2ax+4=0的根的判别式Δ=0且1<x≤2时,有且仅有一个根,解得a=2,此时y=x2-2ax+4=0的零点为2,满足题意;若当1<x<2时函数有且仅有一个零点,设其在x=1,x=2处的函数值分别为y1,y2,则由函数图象知,y1y2<0,解得2<a<52.综上可知,a的取值范围是2≤a<14.44集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则Δ=a2-4b=0,所以a2=4b>0,因为a2+1b=4b+1b≥24b·1b=4,当且仅当4b=1b,即b=12时取等号,不等式x2+ax+b<c的解集为{x|x1<x<x2},且|x1-x2|=4,所以(x1+x2)2-4x1x2=(x1-x2)2,即a2-4(b-c)=16,化简得4c=16,解得c=4.15.(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q都为正数,所以-pq(x-y)2≤0,因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立.16.(1)∵x>0,y>0,∴2x+8y=xy≥22x·8y,即xy≥∴xy≥8,xy≥64,当且仅当x=16,y=4时等号成立,故(xy)min=64.(2)由2x+8y-xy=0,x>0,y>0,得8x+2y=则x+y=(8x+2y)(x+y)=10+2xy+8yx≥当且仅当8x+2y=1,2xy=8yx,即17.两个弹簧串联时,由d=mk知,k=md=20则1k=1k1+1k2,即120=所以20(k1+k2)=k1k2≤(k1+k2)24,故k1+k2≥80,当且仅当两个弹簧并联时,k'=k1+k2,拉伸距离为mk'=mk1+k2,要使并联时弹簧拉伸距离最大,则需k'=k1+k2最小,而k1=k2=40时,(k1+k2)min=80,故最大距离为mk'=2018.(1)不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R,所以Δ=4m2-4(m+2)≤0,化简得m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2,所以1≤m+2≤4,所以函数y=m+3m+2=m+2+3m+2-2≥2(m+2)×3当且仅当m+2=3m+2,即m=3-2时取“=所以y的最小值为23-2.(2)不等式x2+(m-3)x-3m>0,可化为(x+m)(x-3)>0,因为-1≤m≤2,所以-2≤-m≤1<3,所以该不等式的解集为(-∞,-m)∪(3,+∞).19.(1)根据题设中的定义可得点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为(3，4)和(3，7).(2)点P(a+c2，b+d2)是点(a，b)的“证明如下：∵点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，∴ab>cd又a，b，c，d均大于0，∴ad>bc，∴ad-bc>0，∴a+cb+d-ab=b(a+c∴点P(a+c2，b+d2)是点(a，b)(3)若点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，可证点Q(a+c，b+d)既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”.证明如下：∵点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，∴ab>c∵a，b，c，d均大于0，∴ad>bc，∴ad-bc>0，∴a