必修第一册苏教版第5章单元测试卷

第5章函数概念与性质单元测试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=1x2-1的定义域为(A.{x|x>1} B.{x|x<-1} C.{x|-1<x<1} D.{x|x≠±1}2.已知2≈1.41421,如果对应关系f将n对应到2的小数点后第n位上的数字,则f(2)+f(4)= ()A.5 B.6 C.3 D.23.函数y=1−x22+x2A.(-1,12] B.(-1,1) C.(-∞,12] D.(4.函数g(x)=f(x)-f(-x)+1的图象可能是() AB CD5.已知f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且在(-2,2)上为增函数,若f(2+a)+f(1-2a)>0,则实数a的取值范围为 ()A.(-12,0) B.(-∞,3) C.(-4,0) D.(-12,6.已知函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,设F(x)=x2·f(x),则对FA.是奇函数,在(-∞,+∞)上单调递减B.是奇函数,在(-∞,+∞)上单调递增C.是偶函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减7.已知定义在R上的函数y=f(x)同时满足下列三个条件:①对于任意的x∈R都有f(x+4)=f(x);②对于任意的0≤x1<x2≤2都有f(x1)<f(x2);③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称.则f(5),f(6.5),f(15.5)的大小关系为()A.f(6.5)>f(5)>f(15.5) B.f(15.5)>f(6.5)>f(5)C.f(5)>f(6.5)>f(15.5) D.f(6.5)>f(15.5)>f(5)8.已知函数f(x)=x2,x≥0,-2|x+1|+2,x<0,若存在唯一的整数x,使得(2022f(x)-2021)(x-a)<0A.{-2,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列各对函数中,图象完全相同的是()A.y=x与y=3x3 B.y=(x)2C.y=xx与y=x0 D.y=x+1x210.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12,且f(12)=0,下列结论正确的是(A.f(0)=-12 B.f(-1)=-32 C.f(x)为R上的减函数 D.f(x)+1211.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,称y=[x]为高斯函数,如:[1.2]=1,[-1.2]=-2,因而y=[x]又被称为取整函数,在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等均按“取整函数”进行计费.以下关于“取整函数”的描述,正确的是()A.∀x∈R,[2x]=2[x] B.∀x∈R,[x]+[x+12]=[2xC.∀x,y∈R,若[x]=[y],则有x-y>-1 D.方程x2=3[x]+1的解集为{7,10}三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若g(x)=x-1,f(g(x))=2xx+2,则f(1)13.已知f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是.

14.设函数f(x)=x(1)若∃x∈R且x≠0,使得f(1+x)=f(1-x)成立,则实数a的取值范围是;

(2)若函数f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是.(本题第一空2分,第二空3分)

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)用定义法证明函数f(x)=x2-1x在(0,+∞)上单调递增(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=x3+3x2+1,求g(x)的解析式.

16.(15分)如图1所示,有一块半径为2的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是☉O的直径,上底CD的端点在半圆周上,设CD=2x,梯形ABCD的周长为y.(1)求出y关于x的函数解析式;(2)求y的最大值,并指出相应的x的值.图1

17.(15分)已知函数f(x)=x+bx2-1(1)当b=2时,求f(x)的值域;(2)当b=0时,解不等式f(t-1)+f(t)<0.

18.(17分)有三个条件:①f(x+1)=f(x)+2x-1;②f(x+1)=f(1-x)且f(0)=3;③f(x)的最小值为2且f(0)=3.从这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.问题:已知二次函数f(x)满足,f(1)=2.

(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x),x∈[-1,4],求g(x)的最值.注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答计分.

19.(17分)定义：设函数f(x)的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数x∈D，有f(x)≤M，则称函数f(x)为有上界函数，M是f(x)的一个上界；有f(x)≥m，则称函数f(x)为有下界函数，m是f(x)的一个下界.(1)若函数f(x)=x2+cx-2在(0，1)上是以2为上界的有界函数，求实数c的取值范围.(2)某同学在研究函数y=x+bx(b>0)的单调性时发现该函数在(0，b]与[b，+∞)上具有单调性(i)请直接写出函数y=x+bx(b>0)在(0，b]与[b，+∞)上的单调性，不必证明(ii)若函数g(x)=x2+2ax(a>0)的定义域为[4，16]，m是函数g(x)的下界，请利用(i)的结论，求m的最大值m

第5章函数概念与性质单元测试卷参考答案1.D因为f(x)是分式,所以函数f(x)的定义域是使分母不等于零的实数,故x2-1≠0,即x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.2.C根据题意,对应关系f将n对应到2的小数点后第n位上的数字,则f(2)=1,f(4)=2,则f(2)+f(4)=3,故选C.3.A函数y=1−x22+x2=-(x∵0<3x2+2≤32,∴-14.C令h(x)=f(x)-f(-x),则g(x)=h(x)+1,g(x)的图象就是将h(x)的图象向上平移一个单位,因为h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),所以函数h(x)为奇函数,图象关于原点对称,所以g(x)=f(x)-f(-x)+1的图象关于点(0,1)对称.结合选项可知C正确.5.A∵f(2+a)+f(1-2a)>0,∴f(2+a)>-f(1-2a).又f(x)为奇函数,∴f(2+a)>f(2a-1).∵f(x)在(-2,2)上为增函数,∴-2<2+解得-12<a<0,故实数a的取值范围为(-126.B∵f(-x)=-1,x>0,0,x=0,1,x<0,∴f(-x)=-f(x∵F(x)=x2·f(x),∴F(-x)=(-x)2·f(-x)=-x2·f(x)=-F(x),∴F(x)是奇函数,可排除C,D.又F(x)=x2·f(x)=x∴F(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故选B.7.A由f(x+4)=f(x)可知,f(6.5)=f(2.5),f(5)=f(1),f(15.5)=f(3.5).因为函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,且y=f(x)的图象向左平移2个单位长度可得y=f(x+2)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则有f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),f(15.5)=f(3.5)=f(0.5).对于任意的0≤x1<x2≤2都有f(x1)<f(x2),则y=f(x)在区间[0,2]上单调递增,故f(1.5)>f(1)>f(0.5),即f(6.5)>f(5)>f(15.5).8.B作出函数f(x)的图象,如图D1所示,图D1对于(2022f(x)-2021)(x-a)<0,当2022f(x)-2021<0,即f(x)<20212022时,x-a>0,即x>a,记A={x|x>a对于f(x)<20212022,则x2<20212022,可得f(x)<20212022的整数解集为B={x∈Z|x≤-2或x=0}由题意可得,集合A∩B只有一个元素,即A∩B={0},则-2≤a<0,满足条件的整数a的取值为-2,-1.当2022f(x)-2021>0,即f(x)>20212022时,x-a<0,即x<a,记C={x|x<a对于f(x)>20212022,则x2>20212022,可得f(x)>20212022的整数解集为D={x∈Z|x≥1或x=-由题意可得,集合C∩D只有一个元素,即C∩D={-1},则-1<a≤1,满足条件的整数a的取值为0,1.综上所述,所有满足条件的整数a的取值集合为{-2,-1,0,1}.9.AC对于A,∵y=x的定义域为R,y=3x3的定义域为R,两个函数的对应关系相同,∴是同一个函数.对于B,∵y=(x)2的定义域为[0,+∞),y=|x|的定义域为R,∴两个函数不是同一个函数.对于C,∵y=xx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的对应关系相同,∴两个函数是同一个函数.对于D,y=x+1x2-1的定义域是{x|x≠±1},y=1x-1的定义域是10.ABD依题意f(x+y)=f(x)+f(y)+12,且f(12)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+12,所以f(0)=-12,故A令x=12,y=-12,则f(12-12)=f(12)+f(-即-12=0+f(-12)+12,所以f(-12令x=y=-12,得f(-12-12)=f(-12)+f(-1即f(-1)=2f(-12)+12=-2+12=-32,由于f(-1)<f(0),故C选项错误.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)+12,即-12=f(x)+f(-x)+12,即0=[f(x)+12]+[f(-x)+12],所以f(x)+12为奇函数,故11.BCD对于A,取x=12,则[2x]=[1]=1,2[x]=2[12]=0,故A错误.对于B,设[x]=x-a,a∈[0,1),所以[x]+[x+12]=[x]+[[x]+a+12]=2[x]+[a+12],[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],当a∈[0,12)时,a+12∈[12,1),2a∈[0,1),则[a+12]=0,[2a]=0,则[x]+[x+12]=2[x],[2x]=2[x],故当a∈[0,12)时,[x]+[x+12]=[2x]成立;当a∈[12,1)时,a+12∈[1,32),2a∈[1,2),则[a+12]=1,[2a]=1,则[x]+[x+12]=2[x]+1,[2x]=2[x]+1,故当a∈[12,1)时,[x]+[x+12]=[2x]成立,综上B正确.对于C,设[x]=[y]=m,则x=m+t,0≤t<1,y=m+s,0≤s<1,则|x-y|=|(m+t)-(m+s)|=|t-s|<1,因此x-y>-1,故C正确.对于D,由x2=3[x]+1知,x2一定为整数且3[x]+1≥0,所以[x]≥-13,所以[x]≥0,所以x≥0,由[x]2≤x2<([x]+1)2,得[x]2≤3[x]+1<([x]+1)2,由[x]2≤3[x]+1,解得3−132≤[x]≤3+132≈3.3,只能取0≤[x]≤3,由3[x]+1<([x]+1)2,解得[x]>1或[x]<0(舍去),故2≤[x]≤3,所以[x]=2或[x]=3,当[x]=2时,x=7,当[x]=3时,x=12.1在f(g(x))=2xx+2中,令x=2可得f(g(2))=f(1)=2×214.(-∞,-23)∪(23,+∞)因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),f(x)的图象关于直线x=2由f(0)=0得f(4)=0,又f(x)在(-∞,2]上单调递减,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以f(2-3x)>0,即2-3x<0或2-3x>4,解得x>23或x<-2因此,f(2-3x)>0的解集是(-∞,-23)∪(23,+∞14.(1)a>1f(1+x)=f(1-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.令g(x)=-x2+2x,易知其图象开口向下,对称轴方程为x=1,可画出f(x)的大致图象(图略).结合图象易知,若∃x∈R且x≠0,使得f(1+x)=f(1-x),则a>1.(2)a≤0或a=1g(x)=-x2+2x在(-∞,1)上单调递增,令h(x)=x,则h(x)在R上单调递增,令g(x)≤h(x),则x≤0或x≥1.结合图象知,若使f(x)在R上为单调函数,则a≤0或a=1.15.(1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x12-1x1-x22+1x2=(x1+x2)(x1-x2)+x1-x2x1x2因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,x1+x2+1x1x2>0,所以f(x1)<f故函数f(x)=x2-1x在(0,+∞)上单调递增(2)当x>0时,-x<0,g(-x)=(-x)3+3(-x)2+1=-x3+3x2+1,因为g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)=-g(-x)=x3-3x2-1,且g(0)=0.故g(x)=x图D216.(1)作OH垂直DC交DC于点H,可知H是DC的中点,作DN垂直AB交AB于点N,连接OD,如图D2所示.设OH=h,则h=OD2-在Rt△AND中,AD=AN2+DN2=(2-x)2+4−x2=8−4x=22−x,(2)令t=2−x,则t∈(0,2),且x=2-t2所以y=4+2(2-t2)+4t=-2(t-1)2+10,故当t=1即x=1时,y取得最大值,最大值是10.17.(1)当b=2时,可得f(x)=x+2x2设y=x2-1x+2=(x+2)2∵f(x)的定义域是(-1,1),∴1<x+2<3,根据对勾函数的性质可得23-4≤y<0,∴函数f(x)≤12即f(x)的值域为(-∞,-3+22(2)当b=0时,可得f(x)=xx2-1,则f(-x)=-xx2-1=-f(x),故任取-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=x1x12-1-x2x22-1=(x1x2+1)(x2-x1)(x1不等式f(t-1)+f(t)<0,即f(t-1)<-f(t),∴f(t-1)<f(-t),故得t-1>-t,-1<t故不等式的解集为(12,1)18.(1)选择①.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c,∵f(x+1)=f(x)+2x-1,∴ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+2)x+c-1,∴2a+b=b+2,a又二次函数f(x)的图象经过点(1,2),∴a+b+c=2,∴c=3,故f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+3.选择②.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=3,可得c=3.∵f(x+1)=f(1-x),∴二次函数f(x)