必修第一册人教A版第四章单元测试卷

第四章指数函数与对数函数单元测试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=log2(x2-3x-4)的单调递减区间为()A.(-∞,-1) B.(-∞,-32) C.(32,+∞) D.(4,2.函数f(x)=e2x+1xex(x≠3.设a=30.3,b=log3310,c=(13)-1.6,则a,b,c的大小关系是 (A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c4.对正整数a,函数φ(a)表示小于或等于a的正整数中与a互质的数的数目,此函数以其首位研究者欧拉命名,故称为欧拉函数.例如:因为1,3,5,7均和8互质,所以φ(8)=4,基于上述事实,φ[(1log710+2lg5+lg8-lg14)5]=A.8 B.12 C.16 D.245.围棋棋盘共19行19列,361个交叉点,每个交叉点上可能出现黑、白、空三种情况,因此有3361种不同的情况,我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书‘万’字五十二”种,即1000052.下列最接近3361(lg3≈0.477)()A.10-26 B.10-32 C.10-36 D.10-256.2021年,郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·(12)t5730(N0表示碳14原有的质量).经过测定,官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的22至34,据此推测青铜布币生产的时期距今约(参考数据:log23≈1A.2600年 B.3100年 C.3200年 D.3300年7.a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为ba,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为b+ma+m>ba(a>b>0,m>0).若x1=log32,x2=log1510,x3=logA.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x1<x2 D.x3<x2<x18已知f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=f2(x)+(a-2)·f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是()A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若10a=4,10b=25,则()A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab>8lg22 D.b-a<lg610.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理,简单来讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是()A.f(x)=x+1 B.f(x)=1x-x,x>0 C.f(x)=x2-x+3 D.f(x)=log11.已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,以下结论正确的是()A.a<1 B.若x1x2≠0,则1x1+1C.f(-1)=f(3) D.函数y=f(|x|)有四个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数f(x)=lnx-11−ax为奇函数,则13.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿的种植成本Q(单位:元/(100kg))与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t/天60100180种植成本Q/(元/(100kg))11684116根据上表中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b;Q=a(t-b)2+m;Q=a·bt;Q=a·logbt.利用你选取的函数,求得:西红柿的种植成本最低时的上市天数是;最低种植成本是元/(100kg).(本题第一空2分,第二空3分)

14.已知函数f(x)是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2|x-1|,0<x≤2,f(x-2)-1,x>2,则方程f四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在①g2(x)+f2(x)=g(2x),②g2(x)-f2(x)=1,③f(x)g(x)=12f(2x)这三条性质中任选一个,补充在下面的命题中,并判断命题的真假,若命题为真,请写出证明过程,若命题为假,请说明理由命题:若设函数f(x)=ex-e-x2,g(x)=ex+e-x2,则注:如果选择多个性质分别作答,按第一个解答计分.

16.(15分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物,氟化物的释放会破坏大气上层的臭氧层,使臭氧含量呈指数型函数变化,在氟化物排放量维持在某种水平时,臭氧含量Q(t)与时间t(单位:年)具有关系式Q(t)=Q0e-0.0025t,其中Q0是臭氧的初始量.(1)随着时间t的增加,臭氧的含量是增加的还是减少的?(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失?(参考数据:ln0.5≈-0.69)

17.(15分)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点;(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.

18.(17分)已知定义域为R的函数f(x)=b-2(1)求a,b的值;(2)证明f(x)为减函数;(3)若对任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

19.(17分)对于定义在区间[m，n]上的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)-g(x)|≤1成立，则称函数f(x)与g(x)在[m，n]上是“友好”的，否则称为“不友好”的.已知函数f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga1x-a(a＞0，a(1)若f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围;(2)讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是否“友好”.

第四章指数函数与对数函数单元测试卷参考答案1.A由x2-3x-4>0得(x+1)(x-4)>0,得x>4或x<-1,设t=x2-3x-4,要求f(x)的单调递减区间,即求t=x2-3x-4的单调递减区间,∵t=x2-3x-4的单调递减区间为(-∞,-1),∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1).2.Af(x)=e2x+1xex=1x(ex+e-x)(x≠0),定义域关于原点对称,则f(-x)=-1x(ex+e-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C,D,又当x>0时,f(x)3.D∵c=31.6>30.3=a>1,b=log3310<0,∴b<a<c,故选D4.C(1log710+2lg5+lg8-lg14)5=(lg7+2lg5+3lg2-lg2-lg7)5=(2lg5+2lg2)5=25=32,∵小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,共16个,∴φ[(1log710+2lg5+lg8-lg14)55.C根据题意lg3≈0.477,对于33611000052,可得lg33611000052=lg3361-lglg3-52×4≈-35.8,可得33611000052≈10-35.8,分析选项,可得C中10-36最接近6.A由题意得,22N0<N0·(12)t5730<34N0,∴22<解得2292<t<2865.结合选项可知选A.7.B因为x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,所以x1=lg2lg3,x2=lg10lg15=lg2+lg5lg3+lg5,x3=2lg2+lg52lg3+lg5,根据题意,当a>b>0,m>0时,b+ma+m>ba成立,又lg3所以lg2+lg5lg3+lg5>lg2lg3,2lg2+lg52lg3+lg5>2lg22lg3,即x2>x1,x又x2-x3=lg2+lg5lg3+lg5-2lg2+lg52lg3+lg5=lg5(lg3−lg2)(lg3+lg5)(2lg3+lg5)>0,所以x2>x3,所以x1<x3<x2,8.A若g(x)=f2(x)+(a-2)f(x)-2a=[f(x)-2][f(x)+a]有三个零点,即方程[f(x)-2][f(x)+a]=0有三个解.当f(x)=2,即|ex-1|+1=2时,得|ex-1|=1,解得ex=2或ex=0(舍去),则x=ln2,此时方程只有一个解,所以f(x)=-a有两个不同的解.作出f(x)的图象,如图D1所示,图D1由图象知,1<-a<2,即-2<a<-1,故实数a的取值范围是(-2,-1).9.AC∵10a=4,10b=25,∴a=lg4,b=lg25,∴a+b=lg4+lg25=lg100=2,b-a=lg25-lg4=lg254>lg6,ab=2lg2×2lg5=4lg2×lg5>4lg2×lg4=8lg22.故选AC10.BD四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的.对于A,当x0+1=x0时,该方程无解,故A不满足;对于B,当1x0-x0=x0,x0>0时,解得x0=22,故B满足;对于C,当x02-x0+3=x0,即(x0-1)2+2=0时,无实数根,故C不满足;对于D,画出f(x)=log12x与y=x的图象,如图D2,显然有交点,即存在一个点x0,使得f(x0)=x0,图D211.ABC根据题意,函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,即方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,为x1,x2,据此分析选项.对于A,若方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,则有(-2)2-4a>0,解得a<1,故A正确;对于B,方程x2-2x+a=0有两个不相等的实数根,为x1,x2,则有x1+x2=2,x1x2=a,则1x1+1x2=x1+x2x1x2=2a,故B正确;对于C,因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1,所以f(-1)=f(3),故C正确;对于D,当a=0时,y=f(|x|)=x212.-1因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即ln-x-11+ax=-lnx-11−ax恒成立,整理得(a2-1)x2=0恒成立,解得a=±1,经检验a=1时f(x)无意义,13.12080由题意知,随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用Q=a(t-b)2+m描述.由表中两组数据(60,116)和(100,84),以及60+1802=120可得a(60-120所以Q=0.01(t-120)2+80.故当上市天数为120时种植成本最低,最低为80元/(100kg).14.6求方程f(x)+18x2=2根的个数即求y=f(x)与函数y=-18x2+2的图象交点个数,画出两函数图象如图D图D3由图象可知两函数图象有6个交点.15.若选①,命题为真命题.证明:g2(x)+f2(x)=(ex+e-x2)2+(ex-e-x2所以g2(x)+f2(x)=g(2x)成立.若选②,命题为真命题.证明:g2(x)-f2(x)=(ex+e-x2)2-(ex-e-所以g2(x)-f2(x)=1成立.若选③,命题为真命题.证明:f(x)g(x)=(ex+e-x2)·(ex-e-x2)=e2所以f(x)g(x)=12f(2x)成立16.(1)对于函数Q(t)=Q0e-0.0025t,显然Q(t)>0.任取t1<t2,则t2-t1>0,Q(t1)Q(t2)=Q0e-0.0025t1Q0e-0.0025t2=故随着时间t的增加,臭氧的含量是减少的.(2)令Q(t)Q0=Q0e-0.0025tQ0=e-0.0025t=12,解得-0.0025t=ln1217.(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,解得2x=1或2x=-12(舍去所以x=0.故函数f(x)的零点为0.(2)若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解.令t=2x(t>0),则方程2at2-t-1=0在(0,+∞)上有解.①当a=0时,方程为t+1=0,即t=-1<0,不符合题意,应舍去.②当a≠0时,令g(t)=2at2-t-1,若方程g(t)=0在(0,+∞)上有一解,则a·g(0)<0,即-a<0,解得a>0.若方程g(t)=0在(0,+∞)上有两解,则a·g综上所述,所求实数a的取值范围是(0,+∞).18.(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=1.又f(-1)=-f(1),∴a=1.经检验a=1,b=1符合题意.∴a=b=1.(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1−2x12x1+1∵x1<x2,∴2x2-