2025届新高三新高考开学摸底考数学试卷

2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）011．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。3．已知α∈,3sin2α=cos2α+1，则tan2α=()A．a<bB．a>bC．a≤bD．a≥b内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为附：τ的值取A．311.31cm2B．300.88cm2C．322.24cm2D．332.52cm2一个平面内在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ为米 A．45(6+2)B．45(6−2A．45(6+2)B．45(6−2)C．90(3−1)D．90(3+1)两点，且BF2=2AF2，若AF1.AB=0，则双曲线E的离心率为()8．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2,f(1)=2，则下列结论正确的是()A．f(4)=12B．方程f(x)=x有解图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分样本方差为s2，s2=A．a=0.004B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25为f图象的一个对称中心x1C．2x1+x2=0D．x1+x2>0−个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出14．已知a,b为实数，若不等式2ax2+(4a+b)x+4a+b≤2x+1对任意恒成立，则3a+b的最大1513分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB丄平面ABCD,PA丄AB,AB∥CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.(1)证明：平面PAC丄平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.1615分）地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)的年份编号x(2019年对应的x值为1，2020年对应的x值为2，以此类推)与地区生年份编号x12345地区生产总值y(百亿元)(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布)，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2个，记随机变量Y为“20高于该地区的城市或地区的数量”，求Y(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为t=0.2x+2.2，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均GDP)u(万元)之间的线性回归方程u=bx+a.线性回归方程y=x+中，斜率和截距的最小二乘法估若X□N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤x≤μ+σ)≈0.68,P(μ−2σ≤x≤μ+2σ)≈0.95.1715分）已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，□OMN的重心为G. (2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1)，若点H(3,0)恰好是□ABQ的垂心，求直线l的方程.1817分）已知函数，其中e为自然对数的底数.(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.(i)求a的取值范围；(ii)证明：x+x>2.n“k阶可分拆数列”，并说明理由.Tnan+1+1成立.2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）0112345678DCCBAABC9ACDAC因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且PA丄AB,PA⊂平面PAB，所以PA丄平面ABCD2分）因为BC⊂平面ABCD，所以PA丄BC3分）且AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC，所以BC丄平面PAC4分）又BC⊂平面PBC，所以平面PAC丄平面PBC5分）设平面PAD的一个法向量n1=(x,y,z)，设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,则cosθ=θ=（2）因为t=0.2x+2.2，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：=8.4,u5==9.48分）所以=7.6，即u=0.83x+5.11.（15分）0,y0)，则N(x0,0)，因G为□OMN的重心，解得x0=,y0=3y，代入x+y=9，化简得+y2=1，又x0y0又kHQ=所以kl=7分）与+y2=1联立消去y得：13x2+8mx+4m2−4=08分）由Δ=208−16m2>0得m2<139分）+x+mx2+m−1=012分）所以4(4m2−4−24m(m−1)+13(m2−m)=0，化简得5m2+11m−16=013分）解得或m=−故直线l的方程为y=x−.（15分）又=0,g=1，当x>1时，g>0，且当x→+∞时，g所以当0<a<1时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故a的取值范围是（ii）不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，且x1又，所以g 又x12，所以x+x>2x1x2>2，得证17分）由已知得a1=1，a2=1，a3=a1:c1=m,c2=m,c3=2m,（2分）:c3=c1+c2,即c1+2=c1+c2,（3分）:对∀m∈R，当正整数k=1时，存在n=2，使得ck+n=ck+cn成立，（2）:Sn=3n−a，:当n=1时，d1=3−a5分）当n≥2时，dn=Sn−Sn−1=(3n−a)−(3n−1−a)=2.3n−16分）当n=1时，d2=d1+d1，即6=2(3−a)，解得a=07分）n−1=3−a8分）（ii）证明：an+2=an+1+an,(n∈N*)，:当1:a1=a12n+1−an−1)=anan+1−an2+a2+a3+n+3a4−a3a2)+nan+1−anan−1)=a−a2a1+anan+1=anan+111分）:a+a+a+......+a−anan+1+1=112分）由（i）知Sn=3n，所以fn=，,T−−34n−-2−:Tn−2<Tn:Tn=+Tn-2−<+Tn16分）:Tn<3<1，5*且n≥3时，Tn<a+a+a+nan+1+1成立.（17分）2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）011．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。【答案】C因为=−2i，所以4iz+1=2z，所以1=3．已知α∈,3sin2α=cos2α+1，则tan2α=()【答案】C【分析】利用二倍角的正余弦公式求出tanα,再利用二倍角的正切公式计算即得.【详解】由3sin2α=cos2α+1，得6sinαcosα=2cos2α,而α∈(0,)，即cosα>0，A．a<bB．a>bC．a≤bD．a≥b【答案】B【分析】由命题的否定为真命题，转化为a+cosa>b+cosb成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解.即a+cosa>b+cosb，所以f(x)为增函数，所以由f(a)>f(b)可知a>b，内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为附：τ的值取A．311.31cm2B．300.88cm2C．322.24cm2D．332.52cm2【详解】设该圆台的母线长为l，两底面圆半径分别为R，r（其中R>r则2R=22.5，2r=14.4，h=3.8−0.8=3，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为S1+S2≈276.75+34.56=311.31cm2.一个平面内在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ为米 A．A．45(6+2)B．45(6−2)C．90(3−1)D．90(3+1)【分析】在□ABP中，利用正弦定理求AP，进而在Rt□PAQ中求山的高度.所以山高PQ为45(6+2)米.两点，且BF2=2AF2，若AF1.AB=0，则双曲线E的离心率为()【答案】B【分析】设AF2=t，则BF2=2t，根据双曲线的定义，可得AF1和BF1，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于a，c的关系，可得双曲线的离心AF2AFBF2BF=2t，AF1AF=2a+t，BF1BF=2a+2t2+2=2⇒2a=3t，代入2+t2=2可得17a2=9c2⇒e=8．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2,f(1)=2，则下列结论正确的是()A．f(4)=12B．方程f(x)=x有解【答案】C【详解】对于A，因为函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2,f(1)=2，取x=y=1，得f(1)+f(1)=f(2)−2+2，则f(2)=4，取x=y=2，得f(2)+f(2)=f(4)−8+2，则f(4)=14，故A错误；对于B，取y=1，得f(x)+f(1)=f(x+1)−2x+2，则f(x+1)−f(x)=2x，所以f(x)−f(x−1)=2(x−1),f(x−1)−f(x−2)=2(x−2),…,f(2)−f(1)=2，以上各式相加得=x2−x，所以f(x)=x2−x+2，令f(x)=x2−x+2=x，得x2−2x+2=0，此方程无解，故B错误.对于CD，由B知f(x)=x2−x+2，所以+2=x2+是偶函数，+2=x2−2x+不是偶函数，故C正确，D错误.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到f(x+1)−f(x)=2x，再利用等差数列数列的求和公式得到f(x)=x2−x+2，从而得解.图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分样本方差为s2，s2=A．a=0.004B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25C．若f上有两个实数根，则≤a<1【详解】由题意可得T=，故A正确；令t=3x+τ,由−τ≤x≤τ得τ≤t≤2τ, 2x1C．2x1+x2=0D．x1+x2>0+x2<0可判断D.【详解】对于A，因为f(0+x)+f(0−x)=++−−+= 2+m，令ff−x1−f(x1)=−−+−−−n−m3因为m<0，所以−−m3x1f−x1−f(x1)=−−+−−−n 如下图，当x1=−时，若f则fx1−f(x2)=x13+mx1+−nx−mx2−n=(x1−x2)(x+x1x2+x+m)=可得+x1x2+x+m=0，即x2+x+m=0，解得所以2x1+x2=0；x1fx1−f(x2)=x13+mx1+−nx−mx2−n=(x1−x2)(x+x1x2+x+m)=可得x12+xx12+x2+m=0，即+x2+x+m=0，解得x2=−所以2x1+x2=0；综上所述，2x1+x2=0，故C正确；−ττ3−所以.(−.cosθ=0，又因为2=b，所以2−2.acosθ=0，所以cosθ=因为0≤θ<τ,所以θ=.3个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出【详解】设事件“甲获胜”为事件A，事件“乙摸到2号球”为事件B，1314．已知a,b为实数，若不等式2ax2+(4a+b)x+4a+b≤2x+1对任意恒成立，则3a+b的最大【答案】6【分析】先对不等式等价变换为≤2，令t=x+1得2at+构造函数=2at+从而，又3a+b=2利用不等式性质即可求解范围.则不等式2ax2+(4a+b)x+4a+b≤2x+1等价于2a(x+1)2+b(x+1)+2a≤2x+1，从而2at++b≤2，令=2at+由对勾函数的性质知令3a+b=m，则解得=−4=18=−4=18故3a+b的最大值是6.1513分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB丄平面ABCD,PA丄AB,AB∥CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.(1)证明：平面PAC丄平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且PA丄AB,PA⊂平面PAB，所以PA丄平面ABCD，且AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC，所以BC丄平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC丄平面PBC；设平面PAD的一个法向量n1=(x,y,z)，设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,则cosθ=θ=1615分）地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)的年份编号x(2019年对应的x值为1，2020年对应的x值为2，以此类推)与地区生年份编号x12345地区生产总值y(百亿元)(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布)，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2个，记随机变量Y为“20高于该地区的城市或地区的数量”，求Y(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为t=0.2x+2.2，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均GDP)u(万元)之间的线性回归方程u=bx+a.线性回归方程y=x+中，斜率和截距的最小二乘法估若X□N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤x≤μ+σ)≈0.68,P(μ−2σ≤x≤μ+2σ)≈0.95.(2)u=0.83x+5.11即u=0.83x+5.11.1715分）已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，□OMN的重心为G. (2)记（1）中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A、B两点，点Q(0,1)，若点H(3,0)恰好是□ABQ的垂心，求直线l的方程.+y2=1,y0故有：解得,y0=3y，代入x化又x0y0与+y2=1联立消去y得：13x2+8mx+4m2−4=0，由Δ=208−16m2>0得m2<13，+x+mx2+m−1所以4(4m2−4−24m(m−1)+13(m2−m)=0，化简得5m2+11m−16=0，解得m=1（舍去）或m=−（满足Δ>0故直线l的方程为y=x−.1817分）已知函数，其中e为自然对数的底数.(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.(i)求a的取值范围；(ii)证明：x+x>2.2又=0,g=1，当x>1时，g>0，且当x→+∞时，g所以当0<a<1时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故a的取值范围是（ii）不妨设x1<x2，则0<x1<1当x2当x22x1)=gx2又x12>所以2−x1<x2，即x1+x2>2，又x12，所以x+x>2x1x2，故2x+2x>x+x+2x1x2=(x1+x2)2>4，所以x+x>2，得证.所以<0，即g又，所以g所以x2>，即x1x2>1，又x12，所以x+x>2x1x2>2，得证.n“k阶可分拆数列”，并说明理由.Tnan+1+1成立.(2)（i）0ii）证明见解析（2）当n≥2时，dn=Sn−Sn−1=2.3n−1i）