（新八省专用）黄金卷：2024-2025学年高二数学第一次月考卷（含答案及解析A4）【测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1~2.4】（新八省专用）

-2025学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1~2.4。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，22．空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（

）A． B． C． D．3．在四棱柱中，，，则（

）A． B．C． D．4．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，5．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．6．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．7．如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（

）A． B．C． D．8．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中不正确的为（

）A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段B．若，则是钝角C．若，则与一定共线D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．已知圆，则（

）A．圆与直线必有两个交点B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1C．圆与圆恰有三条公切线，则D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若直线与直线平行，则直线与的距离为.13．.已知是圆上的一点，则的最小值是14．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）直线经过点与点，经过点的直线.(1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）；(2)若点到直线的距离相等，求直线的方程.16．（15分）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上.(1)若BF∥平面CDE，求CF的长；(2)若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值.17．（15分）如图，已知的方程为，点A5,0，过点A作的切线AP，P为切点.(1)求AP的长；(2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由.18．（17分）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线.(1)求边AC所在直线的斜率和边AC上的高所在直线的方程（结果写成一般式）;由．19．（17分）如图所示，在三棱柱中，，是的中点.(1)用表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DCDACDCC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDACAC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【详解】（1）分析知，斜率存在，则其斜率，其方程为，即；（5分）（2）当的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线的距离不相等，故的斜率存在且不为零，设为，则的方程为，即，（7分）又因为点A，B到直线的距离相等，所以，（9分）解得，解得或，所以直线的方程为或（13分）16．（15分）【详解】（1）记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形，，则DM⊥AC，且.因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面，平面ACD，所以DM⊥平面ABC，（3分）又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以，（5分）如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面CDE的一个法向量为，则，令，则，，则，设，，则，因为BF∥平面CDE，所以，解得，所以F为CM的中点，此时（8分）（2）若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为，设二面角为，显然二面角为锐角，则，所以，所以二面角的正弦值为（15分）17．（15分）【详解】（1）依题意，，且，而，所以（5分）（2）设，则，假设存在这样的点，使得为常数，且，则，即，将代入消去,得对恒成立，（11分），而，解得，（14分）所以存在点B，使得对于上任一点，都有为定值（15分）18．（17分）【详解】（1）因为，所以，（3分）因为，所以，所以直线的方程为：，化简得：（5分）（2）将直线变形可得：，对于取任何实数时，此方程恒成立，则，得，即直线恒过两直线及的交点，（9分）由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．

（12分）又因为过点且垂直于的直线方程是，时，直线m表示为，此时距离最大．所以，存在最大值．（17分）19．（17分）【详解】（1）（5分）（2）假设存在点，使，设，（8分）显然.因为，所以，即（11分）.设，又，即，解得，（16分）所以当时，（17分）2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1~2.4。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2【答案】D【详解】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D2．空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设三根绳子上的拉力分别为，，因为的夹角均为，所以，，，设物体的重力为，则，所以.故选：C.3．在四棱柱中，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，故A、B错误；，故C错误、D正确.故选：D.4．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】A【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然，对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底；对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底；对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底；对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底.故选：A5．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知可设点，当与平面内的直线垂直时，最小，，因为点在平面内的直线上，所以为该直线的一个方向向量，当最小时，，即，此时，所以当时，取最小值，此时点.故选：C．6．已知，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，故在上的投影向量为.故选：D7．如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，交于点，连接，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，点在上，且平面，又平面平面，平面，所以，又，所以是平行四边形，所以，所以是的中点，因为，所以，所以.故选：C.8．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，直线的倾斜角为，当时，由得到，又易知，所以，即直线l的斜率，由的图象可知，，综上，.

故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中不正确的为（

）A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段B．若，则是钝角C．若，则与一定共线D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面【答案】ABD【详解】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误；对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误；对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确；对于D，考虑三棱柱，令，满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误.故选：ABD.10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】因为点是的中点，是上的一点，且，所以，故，又，所以，故A正确，B错误，又，所以，故C正确，D错误.故选：AC．11．已知圆，则（

）A．圆与直线必有两个交点B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1C．圆与圆恰有三条公切线，则D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2【答案】AC【详解】对于A，将直线整理得，由，知，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，故A正确；对于B，圆的圆心到直线的距离为，所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B错误；对于C，将圆化成标准形式为，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，解得，故C正确；对于D，连接，因为为切点，所以，所以，且当最小时，最小，所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，所以，所以，故D错误.故选：AC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若直线与直线平行，则直线与的距离为．【答案】【详解】由于与平行，则，即，解得或，当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意；当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意；综上所述：，两直线方程分别为，所以直线与的距离为.故答案为：.13．已知是圆上的一点，则的最小值是．【答案】【详解】表示圆上的动点到点的距离，由可化为，则圆心为，半径为，点到圆心的距离为，所以点到点的距离的最小值为，即的最小值是.故答案为：.14．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为．【答案】【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，由平面，设，所以，设，所以，即，解得，所以，则，设直线的夹角为，则，所以，所以点到直线的距离为，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）直线经过点与点，经过点的直线.(1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）；(2)若点到直线的距离相等，求直线的方程.【详解】（1）分析知，斜率存在，则其斜率，其方程为，即；（2）当的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线的距离不相等，故的斜率存在且不为零，设为，则的方程为，即，又因为点A，B到直线的距离相等，所以，解得，解得或，所以直线的方程为或.16．（15分）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上.(1)若BF∥平面CDE，求CF的长；(2)若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值.【详解】（1）记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形，，则DM⊥AC，且.因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面，平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面CDE的一个法向量为，则，令，则，，则，设，，则，因为BF∥平面CDE，所以，解得，所以F为CM的中点，此时.（2）若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为，设二面角为，显然二面角为锐角，则，所以，所以二面角的正弦值为.17．（15分）如图，已知的方程为，点A5,0，过点A作的切线AP，P为切点.(1)求AP的长；(2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】（1）依题意，，且，而，所以.（2）设，则，假设存在这样的点，使得为常数，且，则，即，将代入消去,得对恒成立，，而，解得，所以存在点B，使得对于上任一点，都有为定值.18．（17分）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线.(1)求边AC所在直线的斜率和边AC上的高所在直线的方程（结果写成一般式）;(2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由．【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以直线的方程为：，化简得：.（2）将直线变形可得：，对于取任何实数时，此方程恒成立，则，得，即直线恒过两直线及的交点，由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．

又因为过点且垂直于的直线方程是，时，直线m表示为，此时距离最大．所以，存在最大值．19．（17分）如图所示，在三棱柱中，，是的中点.(1)用表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.【详解】（1）.（2）假设存在点，使，设，显然.因为，所以，即.设，又，，即，解得，所以当时，.学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页）数学第3页（共6页）数学第4页（共6页） 数学第5页（共6页）数学第6页（共6页）2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷答题卡准考证号：准考证号：姓名：_________________________________________贴条形码区此栏考生禁填缺考标记1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5．正确填涂注意事项一、选择题（每小题5分，共一、选择题（每小题5分，共40分）1[A][B][C][D]2[A][B][C][D]3[A][B][C][D]4[A][B][C][D]5[A][B][C][D]6[A][B][C][D]7[A][B][C][D]8[A][B][C][D]二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）9[A][B][C][D]10[A][B][C][D]11[A][B][C][D]三、填空题（每小题5分，共15分）12．____________________13．____________________14．____________________