高一下学期《立体几何》期末复习综合练习学生版

高一下学期《立体几何》期末复习综合练习知识点回顾直观图的斜二测画法用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．（2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图．（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示．斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．知识点诠释：（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；（2）“平面”无厚薄之分；（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．2、平面的画法：通常画平行四边形表示平面．3、平面的表示法：（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4、点、直线、平面的位置关系：（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．表面积与体积几何体的表面积1．柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.2．把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.3．计算公式圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积（二）几何体的体积圆柱的体积圆锥的体积圆台的体积球体的体积正方体的体积正方体的体积（三）几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体与球有三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.=4\*GB3④如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一个棱长为a的正四面体A1­BDC1，其体积为正方体体积的.（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.（3）棱长为a的正四面体中：=1\*GB3①斜高为a；=2\*GB3②高为a；=3\*GB3③对棱中点连线长为a；=4\*GB3④外接球的半径为a；=5\*GB3⑤内切球的半径为a；=6\*GB3⑥S表面积＝a2；=7\*GB3⑦V＝a3；=8\*GB3⑧相邻两个面的二面角：cosα＝；=9\*GB3⑨三条侧棱与底面的夹角：cosβ＝；=10\*GB3⑩正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.球“切”的处理1．解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径，.(3)在求四面体内切球的半径时,应重视分割的思想方法,即将该四面体分割为以球心为顶点,各面为底面的四个三棱锥,通过其体积关系求得半径.球外接的处理方法与技巧1．把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．2．（1）确定球心和半径解题思维流程：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．(3)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.(4)若球面上四点P,A,B,C的连线中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可构造长方体或正方体解决问题.3.球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题;球与多面体的组合,一般通过多面体的一条侧棱和球心,并结合“切点”或“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题求解.球心的确定方法1．由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到．2．构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．3．由球的性质确定球心①球的截面均为圆面；②球心和截面圆心的连线垂直于该截面，则有.几何体侧面、表面最值问题的解法思路(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式计算最值．(3)几何体表面两点间距离(路程)最小问题，“展平”处理．（八）截面最值问题的解法（1）建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值．（2）猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等考点探究斜二测画法例1、水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为（

）A．6 B．3 C． D．例2如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（

）A． B．2 C． D．直线与平面的位置关系例1、如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.例2、如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，.(1)求证：是的中点；(2)求证：平面；例3、如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点.(1)证明：平面平面；(2)证明平面，并求直线到平面的距离.直线与平面所成角例1、（线面角）已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时，．例2、（二面角）如图，直三棱柱的体积为1，，，．(1)求证：BC1⊥A1C；(2)求二面角的余弦值．表面积与体积例1、（侧面积）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为例2、（体积）在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为专题练习一、单选题1．设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则3．已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（

）A． B． C． D．4．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（

）A． B． C． D．5．如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．6．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（

）A．B．C．D．8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（

）A． B． C． D．9．已知的直观图是一个边长为4的等边三角形，则的面积是（

）A． B． C． D．10．已知球O为四棱锥的外接球，为球的直径，且，，则当面积最大时，三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题11．已知空间中两条异面直线与平面满足，当与所成的角为时，下列说法正确的是（

）A．直线与面所成的角可以为 B．直线不可能在平面内C．直线不可能垂直于平面 D．存在直线且到平面的距离相等12．如图，在正方体中，P为棱上的动点，平面，Q为垂足，则（

）．A．B．平面截正方体所得的截面可能为三角形C．当P位于中点时三棱锥的外接球半径最大D．线段的长度随线段的长度增大而增大13．如图所示，正四棱台中，，点P在四边形ABCD内，点E是AD上靠近点A的三等分点，则下列说法正确的是（

）A．平面B．该正四棱台的高为C．若，则动点P的轨迹长度是D．过点E的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为14．如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（

）A．平面B．三棱锥的体积为C．过三点的平面截正方体所得截面的面积为D．若，则点的轨迹长度为15．如图，在棱长为4的正方体中，，过的平面截正方体所得的截面为，则（

）A．的面积为B．点到平面的距离为C．在棱上存在一点，使得平面D．在棱上存在点，使得平面三、填空题16．已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为.17．如图，在长方体中，，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为.18．在△ABC中，D是边BC上一点，且，，，，将△ABD沿AD折起，使点B到达点，且，若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为．19．若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，E是的中点，现给出以下四个命题：①②平面平面③三棱锥的体积为④三棱锥的外接球的表面积为则正确命题的序号是．20．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为.四、解答题21．如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的大小．22．如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：‖平面；(2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．23．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.(1)求证：平面MAC；(2)求二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.24．如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)若点为的中点，求点到平面的距离．25．如图，四面体的每条棱长都等于2，分别是棱的中点，分别为面，面，面的重心.(1)求证：面面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)保持点位置不变，在内（包括边界）拖动点，使直线与平面平行，求点轨迹长度；26．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．27．如下左图，矩形中，，