2023年人教版高考数学总复习规范答题系列-数列综合问题

规范答题系列一一数列综合问题

［典例］(12分)(2021•全国乙卷)设E｝是首项为1的等比数列，数列｛bj满足bn=^.已知

a”3a2,9a3成等差数列.

⑴求瓜｝和限｝的通项公式；

S

(2)记Sn和Tn分别为｛aj和瓜｝的前n项和.证明：Tn<y.

♦导引助思•析考题

(1)看到设｛&」是首项为1的等比数列，想到设首项，表示其通项；然后根据已知a”3a2,

9a§成等差数列，列方程即可求得a，进而得解；

S

看到证明：想到分别求出两个数列之和，进而证得不等式.

(2)T„<乙y,

【标准答案】(1)因为a,3a2,9a3成等差数列，

所以6a2=a1+9a3，①1分

因为｛“｝是首项为1的等比数列，设其公比为q,

则6q=l+9q2,所以q=；,...........................................................................②3分

n—1

n-1

所以a,=a1q=^J,...........................................................................③4分

所以bn=^=n•8........................................................................................@5分

(2)证明：由(1)知an=(gn—1Tn

,bn=n•

km

IX1

=2

所以Sn==⑤6分

122

1-----

3

Tn=lx1目m2n

(l]+2X+•••+0•，①

2m3nn+l

T=lX+2x1-1+…+n・,②…⑥7分

n3;

2

①一②得，eT,=-

Q10n-1

所以TfF⑦9分

…Sn31mn—1n

所以TL]=-X目-2<0,…⑧11分

s

所以⑨分

Tn<乙5.............................................................................................12

♦满分点拨•悟考题

考查知识：主要是等差数列的概念，性质和通项公式等基础知识.

命题探源

核心素养：数学运算，逻辑推理

①准确利用等差数列性质转化条件，得1分；

②求出公比q,得2分.

③写出数列｛a｝的通项公式，得1分；

④写出数列｛b』的通项公式，得1分.

⑤求出出的表达式，得1分.

注意其形式也可以写为（1一目.

阅卷现场

⑥写出;T.，得1分.若末项写错，不得分.

2

⑦求出Tn，得2分；只写出两式之差鼻Tn，得1分.

O

⑧作差并准确判断，得2分；差准确，结果判错，只得1分.

⑨写出结论，得1分.不写结论不得分.

错位相减法

1.一般地，若数列｛%｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，求数列｛a.・bj的

前n项和，则可以采用错位相减法求和.一般是先将和式两边乘以等比数列

满分策略

｛bn｝的公比，然后作差求解；

2.在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步

准确写出Sn-qSn的表达式；

3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和

不等于1两种情况求解.

■跟踪训练

(2021•全国甲卷)已知数列｛a｝的各项均为正数，记Sn为｛aj的前n项和，从下面①②③中选

取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛4｝是等差数列；②数列｛4｝是等差数列；

③3a1.

【解析】①③=>②

设等差数列｛%｝的公差为d,因为az=3a“所以ai+d=3a”

贝ijd=2a”所以Sn=nai+^~彳'一d=nai+n(n-1)ai=r?ai,

所以当n22时，木n一小二=。下1—(n—1)板，

所以数列｛低｝是首项为阪，公差为6的等差数列.

①

证明：因为4>0,a2=3a.,数列｛的｝是等差数列，

所以数歹IJ｛低｝的首项为低=/，

公差为低—y/Sj=正+@2-7^=Ya】+3ai—yfai=在，

2

所以低=板+(n—1)^=ny/at,S„=a(n.

当n>2时，a=Sn—Sn_i=am2—a1(n—l)2=a1(2n—1)；

当n=l时，&,=ai(2n—1)也成立.

所以数列｛an｝的通项公式是&=a(2n-l),

—

公差为an+ian=ai(2n+l)—at(2n—1)=2用

所以数列｛an｝是公差为2a.的等差数列.

©©n③

证明：设数列｛禺｝的公差为d,因为｛aj的各项均为正.

n

所以dNO,%=ai+(n—l)d,Sn=nai+9一~»

乙

因为数歹U｛低｝是等差数列，所以退+低=2低.

此式两边平方得2，8M=4Sz—Si—S3,

将S】=ai,S2=2ai+d,S3=3a1